Vectori și geometrie analitică în plan, Bac Matematică tehnologic

Bacalaureat 2026, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

$A(6,8)$ , $B(8,4)$ , iar $M$ este mijlocul lui $OA$ . Arătați că $OBM$ este isoscel.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$M(3,4)$ , deci $OM=\sqrt{9+16}=5$ .3 p
$MB=\sqrt{(8-3)^2+(4-4)^2}=5$ . Două laturi sunt egale.2 p

Bacalaureat 2026, simularea, I.55 p

I.55 p

$A(0,4)$ , $B(3,0)$ , $C(4,7)$ . Arătați că $ABC$ este dreptunghic isoscel.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\overrightarrow{AB}=(3,-4)$ și $\overrightarrow{AC}=(4,3)$ au lungimile $5$ și $5$ .2 p
Produsul scalar este $12-12=0$ , deci laturile egale sunt și perpendiculare.3 p

Bacalaureat 2026, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$ , $B(8,6)$ și $C$ , mijlocul segmentului $OB$ . Determinați distanța dintre punctele $A$ și $C$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $AC=3$

Criterii (după barem)

$C(4,3)$ 2 p
$AC=3$ 3 p

Bacalaureat 2026, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

$A(1,1)$ , $M(2,4)$ , $B(a,b)$ , iar $M$ este mijlocul lui $AB$ . Determinați $a,b$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=3,\ b=7$

Criterii (după barem)

Formula mijlocului dă $1+a=4$ și $1+b=8$ .3 p
Rezultă $a=3$ , $b=7$ .2 p

Bacalaureat 2026, varianta de rezervă, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(0,4)$ , $N(2,8)$ și $P(4,0)$ . Determinați distanța dintre mijlocul segmentului $MP$ și punctul $N$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $QN=6$

Criterii (după barem)

Mijlocul segmentului $MP$ este punctul $Q(2,2)$ 2 p
$QN=6$ 3 p

Bacalaureat 2026, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,5)$ și $B(6,8)$ . Arătați că $OB=2AB$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$OB=10$ 2 p
$AB=5$ , de unde obținem $OB=2\cdot 5=2AB$ 3 p

Bacalaureat 2026, rezerva din august, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,0)$ , $B(2,6)$ și $C$ , mijlocul segmentului $AB$ . Arătați că $OC=3\sqrt{2}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$C(3,3)$ 2 p
$OC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ 3 p

Bacalaureat 2025, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

$A(2,3)$ , $B(5,6)$ , $C(6,2)$ . Arătați ABC isoscel.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

AC²=4²+(-1)²=17, iar BC²=1²+(-4)²=17.2 p
AC și BC sunt lungimi pozitive cu pătrate egale, deci sunt egale.3 p

Bacalaureat 2025, simularea, I.55 p

I.55 p

$A(0,4)$ , $B(0,-1)$ , $C(8,3)$ și M mijlocul BC. Arătați AB=AM.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Mijlocul este M(4,1), iar AB=5.2 p
$AM=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$ , deci AB=AM.3 p

Bacalaureat 2025, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$ , $B(5,6)$ și $C(7,2)$ . Arătați că $AB=AC$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$ 2 p
$AC=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt{2}$ , deci $AB=AC$ 3 p

Bacalaureat 2025, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

$A(2,0)$ , $B(2,1)$ , $C(6,4)$ . Determinați a cu $BC=a\cdot AB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=5$

Criterii (după barem)

$AB=1$ , iar $BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$ .2 p
$5=a\cdot1$ , deci a=5.3 p

Bacalaureat 2025, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,0)$ , $B(3,2)$ și $C(a,b)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=3$ , $b=4$

Criterii (după barem)

$a=3$ 2 p
$2=\frac{0+b}{2}$ , de unde obținem $b=4$ 3 p

Bacalaureat 2024, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

A(0,5),B(4,-5),C(a,b) mijlocul AB. Determinați a,b.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=2,\ b=0$

Criterii (după barem)

Media absciselor este (0+4)/2=2.3 p
Media ordonatelor este (5-5)/2=0, deci C=(2,0).2 p

Bacalaureat 2024, simularea, I.55 p

I.55 p

A(1,3),B(5,0),C(5,5). Arătați ABC isoscel.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

AB=√(4²+(-3)²)=5.2 p
BC=5, fiind segment vertical. Prin urmare AB=BC.3 p

Bacalaureat 2024, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$ , $B(5,m)$ și $M(3,4)$ . Determinați numărul real $m$ , știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=7$

Criterii (după barem)

$3=\frac{1+5}{2}$ și $4=\frac{m+1}{2}$ 3 p
$m=7$ 2 p

Bacalaureat 2024, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

A(2,0),B(8,8),C(11,4). Arătați AB=2BC.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

AB=√(6²+8²)=10.2 p
BC=√(3²+(-4)²)=5, deci AB=2BC.3 p

Bacalaureat 2024, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ , $B(m,2)$ și $C(5,3)$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ , știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=4$

Criterii (după barem)

$m=\frac{3+5}{2}=$ 3 p
$=4$ 2 p

Bacalaureat 2024, rezerva din august, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,4)$ și $B(6,8)$ . Arătați că $OA=AB$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$ 2 p
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$ , deci $OA=AB$ 3 p

Bacalaureat 2023, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

A(-3,2),B(1,4),C(6,0). Distanța dintre mijloacele AB și OC?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 5

Criterii (după barem)

Mijloacele sunt M(-1,3) și N(3,0).2 p
MN=√(4²+(-3)²)=5.3 p

Bacalaureat 2023, simularea, I.55 p

I.55 p

A(0,5),B(2,-1),M mijlocul AB. Arătați OMB dreptunghic în O.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

M=(1,2), deci OM are vectorul (1,2), iar OB vectorul (2,-1).3 p
Produsul scalar este 1·2+2·(-1)=0. Vectorii nenuli sunt perpendiculari.2 p

Vectori și geometrie analitică în plan: Matematică tehnologic la Bacalaureat

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

Alte teme

Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?