Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2026 examenul din vară Bacalaureat 2026 la matematică tehnologic: examenul din vară
Subiectul oficial tehnologic, examenul din vară 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Examenul din iunie 2027 apare aici →
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Determinați a 3 a_3 a 3 a 1 = 10 a_1=10 a 1 = 10 a 2 = 18 a_2=18 a 2 = 18
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 26
Criterii (după barem) Rația este r = 18 − 10 = 8 r=18-10=8 r = 18 − 10 = 8 3 p Adaugă încă o dată rația: a 3 = 18 + 8 = 26 a_3=18+8=26 a 3 = 18 + 8 = 26 2 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p Pentru f ( x ) = 2 x − 2 f(x)=2x-2 f ( x ) = 2 x − 2 f ( 4 ) − f ( 3 ) − f ( 2 ) = 0 f(4)-f(3)-f(2)=0 f ( 4 ) − f ( 3 ) − f ( 2 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calculează f ( 4 ) = 6 f(4)=6 f ( 4 ) = 6 f ( 3 ) = 4 f(3)=4 f ( 3 ) = 4 f ( 2 ) = 2 f(2)=2 f ( 2 ) = 2 3 p Diferența este 6 − 4 − 2 = 0 6-4-2=0 6 − 4 − 2 = 0 2 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați 7 3 − x = 7 4 x − 2 7^{3-x}=7^{4x-2} 7 3 − x = 7 4 x − 2 R \mathbb R R
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) Baza 7 7 7 1 1 1 3 p 3 − x = 4 x − 2 3-x=4x-2 3 − x = 4 x − 2 5 x = 5 5x=5 5 x = 5 x = 1 x=1 x = 1 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Alegi uniform o cifră naturală n ∈ { 0 , 1 , … , 9 } n\in\{0,1,\ldots,9\} n ∈ { 0 , 1 , … , 9 } 20 − 2 n < 15 20-2n<15 20 − 2 n < 15
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 7 / 10 7/10 7/10
Criterii (după barem) Inegalitatea este n > 5 / 2 n>5/2 n > 5/2 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 3,4,5,6,7,8,9 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 2 p Sunt 7 7 7 10 10 10 7 / 10 7/10 7/10 3 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p A ( 1 , 1 ) A(1,1) A ( 1 , 1 ) M ( 2 , 4 ) M(2,4) M ( 2 , 4 ) B ( a , b ) B(a,b) B ( a , b ) M M M A B AB A B a , b a,b a , b
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 3 , b = 7 a=3,\ b=7 a = 3 , b = 7
Criterii (după barem) Formula mijlocului dă 1 + a = 4 1+a=4 1 + a = 4 1 + b = 8 1+b=8 1 + b = 8 3 p Rezultă a = 3 a=3 a = 3 b = 7 b=7 b = 7 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p A B C ABC A BC A A A A B = 15 AB=15 A B = 15 B = 30 ∘ B=30^\circ B = 3 0 ∘ B C = 10 3 BC=10\sqrt3 BC = 10 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) cos 30 ∘ = A B / B C = 3 / 2 \cos30^\circ=AB/BC=\sqrt3/2 cos 3 0 ∘ = A B / BC = 3 /2 3 p B C = 15 ⋅ 2 / 3 = 10 3 BC=15\cdot2/\sqrt3=10\sqrt3 BC = 15 ⋅ 2/ 3 = 10 3 2 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
A ( x ) = ( x 1 x − 1 2 ) A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\x-1&2\end{pmatrix} A ( x ) = ( x x − 1 1 2 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A ( 4 ) = 5 \det A(4)=5 det A ( 4 ) = 5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 4 ) = ( 4 1 3 2 ) A(4)=\begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix} A ( 4 ) = ( 4 3 1 2 ) 3 p Determinantul este 4 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 = 5 4\cdot2-1\cdot3=5 4 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 = 5 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = 3 A ( 2 ) 2A(1)+A(4)=3A(2) 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = 3 A ( 2 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = ( 6 3 3 6 ) 2A(1)+A(4)=\begin{pmatrix}6&3\\3&6\end{pmatrix} 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = ( 6 3 3 6 ) 3 p 3 A ( 2 ) = 3 ( 2 1 1 2 ) 3A(2)=3\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} 3 A ( 2 ) = 3 ( 2 1 1 2 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați x , y ∈ R x,y\in\mathbb R x , y ∈ R A ( − x ) A ( x ) = A ( y ) A(-x)A(x)=A(y) A ( − x ) A ( x ) = A ( y )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 , y = − 1 x=1,\ y=-1 x = 1 , y = − 1
Criterii (după barem) Produsul este ( − x 2 + x − 1 2 − x − x 2 + x − 2 3 − x ) \begin{pmatrix}-x^2+x-1&2-x\\-x^2+x-2&3-x\end{pmatrix} ( − x 2 + x − 1 − x 2 + x − 2 2 − x 3 − x ) 3 p Elementul ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) 2 − x = 1 2-x=1 2 − x = 1 x = 1 x=1 x = 1 ( − 1 1 − 2 2 ) = A ( − 1 ) \begin{pmatrix}-1&1\\-2&2\end{pmatrix}=A(-1) ( − 1 − 2 1 2 ) = A ( − 1 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∗ y = ( 4 − x ) ( 4 − y ) + 2 x*y=(4-x)(4-y)+2 x ∗ y = ( 4 − x ) ( 4 − y ) + 2
II.2.a 5 p Arătați că 0 ∗ 3 = 6 0*3=6 0 ∗ 3 = 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește în lege: ( 4 − 0 ) ( 4 − 3 ) + 2 (4-0)(4-3)+2 ( 4 − 0 ) ( 4 − 3 ) + 2 3 p Obții 4 ⋅ 1 + 2 = 6 4\cdot1+2=6 4 ⋅ 1 + 2 = 6 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R 2 ∗ x = 2 2*x=2 2 ∗ x = 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 4 x=4 x = 4
Criterii (după barem) 2 ∗ x = 2 ( 4 − x ) + 2 2*x=2(4-x)+2 2 ∗ x = 2 ( 4 − x ) + 2 3 p Egalitatea cu 2 2 2 2 ( 4 − x ) = 0 2(4-x)=0 2 ( 4 − x ) = 0 x = 4 x=4 x = 4 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați perechile întregi ( m , n ) (m,n) ( m , n ) ( 2 m ) ∗ ( 2 n + 1 ) = 10 (2m)*(2n+1)=10 ( 2 m ) ∗ ( 2 n + 1 ) = 10
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( − 2 , 1 ) , ( 6 , 2 ) (-2,1),\ (6,2) ( − 2 , 1 ) , ( 6 , 2 )
Criterii (după barem) Ecuația devine ( 2 − m ) ( 3 − 2 n ) = 4 (2-m)(3-2n)=4 ( 2 − m ) ( 3 − 2 n ) = 4 1 1 1 − 1 -1 − 1 4 4 4 2 p Pentru 3 − 2 n = 1 3-2n=1 3 − 2 n = 1 n = 1 , m = − 2 n=1,m=-2 n = 1 , m = − 2 3 − 2 n = − 1 3-2n=-1 3 − 2 n = − 1 n = 2 , m = 6 n=2,m=6 n = 2 , m = 6 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 − 1 f(x)=3x^4-4x^3-12x^2-1 f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 − 1
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 12 x ( x + 1 ) ( x − 2 ) f\prime(x)=12x(x+1)(x-2) f ′ ( x ) = 12 x ( x + 1 ) ( x − 2 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivează: f ′ ( x ) = 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x f\prime(x)=12x^3-12x^2-24x f ′ ( x ) = 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x 3 p Scoate 12 x 12x 12 x x 2 − x − 2 = ( x + 1 ) ( x − 2 ) x^2-x-2=(x+1)(x-2) x 2 − x − 2 = ( x + 1 ) ( x − 2 ) 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați tangenta la grafic în punctul de abscisă 0 0 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = − 1 y=-1 y = − 1
Criterii (după barem) f ( 0 ) = − 1 f(0)=-1 f ( 0 ) = − 1 f ′ ( 0 ) = 0 f\prime(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 2 p Tangenta are ecuația y = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x = − 1 y=f(0)+f\prime(0)x=-1 y = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x = − 1 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați 3 x 4 + 5 ≥ 4 x 3 + 12 x 2 3x^4+5\ge4x^3+12x^2 3 x 4 + 5 ≥ 4 x 3 + 12 x 2 x ≤ 0 x\le0 x ≤ 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivata este negativă pe ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( − ∞ , 0 ] (-\infty,0] ( − ∞ , 0 ] f ( − 1 ) = − 6 f(-1)=-6 f ( − 1 ) = − 6 3 p Din f ( x ) ≥ − 6 f(x)\ge-6 f ( x ) ≥ − 6 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 5 ≥ 0 3x^4-4x^3-12x^2+5\ge0 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 5 ≥ 0 2 p Semnalează o greșeală
III.2
f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x + 1 + x e x f(x)=x+1+xe^x f ( x ) = x + 1 + x e x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 4 ( f ( x ) − x e x ) d x = 12 \int_0^4(f(x)-xe^x)\,dx=12 ∫ 0 4 ( f ( x ) − x e x ) d x = 12
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul se reduce la x + 1 x+1 x + 1 3 p [ x 2 / 2 + x ] 0 4 = 8 + 4 = 12 [x^2/2+x]_0^4=8+4=12 [ x 2 /2 + x ] 0 4 = 8 + 4 = 12 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 0 1 ( f ( x ) − x − 1 ) d x = 1 \int_0^1(f(x)-x-1)\,dx=1 ∫ 0 1 ( f ( x ) − x − 1 ) d x = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Rămâne ∫ 0 1 x e x d x \int_0^1xe^x\,dx ∫ 0 1 x e x d x ( x − 1 ) e x (x-1)e^x ( x − 1 ) e x 3 p La capete: 0 − ( − 1 ) = 1 0-(-1)=1 0 − ( − 1 ) = 1 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Pentru g ( x ) = f ′ ( x ) / f ( x ) g(x)=\sqrt{f\prime(x)}/f(x) g ( x ) = f ′ ( x ) / f ( x ) x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x ∈ [ 0 , 1 ] O x Ox O x π ( e + 1 ) / ( e + 2 ) \pi(e+1)/(e+2) π ( e + 1 ) / ( e + 2 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 f ′ ( x ) = 1 + ( x + 1 ) e x > 0 f\prime(x)=1+(x+1)e^x>0 f ′ ( x ) = 1 + ( x + 1 ) e x > 0 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] π ∫ 0 1 f ′ ( x ) / f ( x ) 2 d x \pi\int_0^1f\prime(x)/f(x)^2\,dx π ∫ 0 1 f ′ ( x ) / f ( x ) 2 d x 3 p Primitiva este − 1 / f ( x ) -1/f(x) − 1/ f ( x ) f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1 f ( 1 ) = e + 2 f(1)=e+2 f ( 1 ) = e + 2 V = π ( 1 − 1 / ( e + 2 ) ) V=\pi(1-1/(e+2)) V = π ( 1 − 1/ ( e + 2 )) 2 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.