Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2024 examenul din vară Bacalaureat 2024 la matematică tehnologic: examenul din vară
Subiectul oficial tehnologic, examenul din vară 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați ( 12 / 5 ) ( 1 / 2 + 1 / 3 ) = 2 (12/5)(1/2+1/3)=2 ( 12/5 ) ( 1/2 + 1/3 ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Suma din paranteză este 5/6. 2 p Produsul este (12/5)(5/6)=2. 3 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p f(x)=5x+1. Determinați a cu f(a)=6.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 1 a=1 a = 1
Criterii (după barem) 5a+1=6. 2 p 5a=5, deci a=1. 3 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați 4 x + 1 = 3 \sqrt{4x+1}=3 4 x + 1 = 3
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 2 x=2 x = 2
Criterii (după barem) Domeniul cere x≥-1/4. Prin pătrare 4x+1=9. 3 p 4x=8, deci x=2; radicalul devine √9=3. 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Din A={10,20,30,40,50,60,70,80,90} alegi uniform un număr. Probabilitatea să fie divizibil cu 20?
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 4 / 9 4/9 4/9
Criterii (după barem) Favorabile sunt 20,40,60,80: patru numere. 2 p Sunt nouă cazuri posibile, deci p=4/9. 3 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p A(2,0),B(8,8),C(11,4). Arătați AB=2BC.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) AB=√(6²+8²)=10. 2 p BC=√(3²+(-4)²)=5, deci AB=2BC. 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați 1 + sin 30 ∘ = 2 sin 60 ∘ cos 30 ∘ 1+\sin30^\circ=2\sin60^\circ\cos30^\circ 1 + sin 3 0 ∘ = 2 sin 6 0 ∘ cos 3 0 ∘
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Stânga este 1+1/2=3/2. 3 p Dreapta este 2·(√3/2)·(√3/2)=3/2. 2 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
A ( x ) = ( x x − 1 − 2 x 2 ) A(x)=\begin{pmatrix}x&x-1\\-2x&2\end{pmatrix} A ( x ) = ( x − 2 x x − 1 2 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R I 2 I_2 I 2
II.1.a 5 p Arătați det A ( 1 ) = 2 \det A(1)=2 det A ( 1 ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A(1) are liniile (1,0),(-2,2). 3 p Determinantul este 1·2-0=2. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați A ( 2 ) + A ( 0 ) = 2 A ( 1 ) A(2)+A(0)=2A(1) A ( 2 ) + A ( 0 ) = 2 A ( 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Suma este ( 2 0 − 4 4 ) \begin{pmatrix}2&0\\-4&4\end{pmatrix} ( 2 − 4 0 4 ) 3 p Aceasta este 2A(1), element cu element. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați x cu det ( A ( x ) + x I 2 ) = 2 \det(A(x)+xI_2)=2 det ( A ( x ) + x I 2 ) = 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { − 1 , 1 / 2 } x\in\{-1,1/2\} x ∈ { − 1 , 1/2 }
Criterii (după barem) Suma are liniile (2x,x-1),(-2x,x+2), cu determinantul 4x²+2x. 3 p 4x²+2x=2 dă (2x-1)(x+1)=0, deci x=1/2 sau -1. 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∘ y = 2 ( x + y ) − x y − 4 x\circ y=2(x+y)-xy-4 x ∘ y = 2 ( x + y ) − x y − 4
II.2.a 5 p Arătați 1 ∘ 3 = 1 1\circ3=1 1 ∘ 3 = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Formula dă 2(1+3)-3-4. 3 p 8-3-4=1. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Arătați că legea este comutativă.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Atât x+y, cât și xy sunt simetrice în cele două variabile. 2 p Formula 2(x+y)-xy-4 nu se schimbă la permutarea lor, deci legea este comutativă. 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați n naturale cu n ∘ n ≥ n − 2 n\circ n\ge n-2 n ∘ n ≥ n − 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: n ∈ { 1 , 2 } n\in\{1,2\} n ∈ { 1 , 2 }
Criterii (după barem) n∘n=4n-n²-4. Inegalitatea devine n²-3n+2≤0. 2 p (n-1)(n-2)≤0 înseamnă n∈[1,2], deci n=1 sau 2. 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( 2 x − 1 ) / x 2 f(x)=(2x-1)/x^2 f ( x ) = ( 2 x − 1 ) / x 2
III.1.a 5 p Arătați f ′ ( x ) = 2 ( 1 − x ) / x 3 f\prime(x)=2(1-x)/x^3 f ′ ( x ) = 2 ( 1 − x ) / x 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f(x)=2/x-1/x², deci f′=-2/x²+2/x³. 3 p La numitor comun rezultă 2(1-x)/x³. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați tangenta la abscisa 1.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 1 y=1 y = 1
Criterii (după barem) f(1)=1 și f′(1)=0. 2 p Tangenta este orizontală: y=1. 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați intervalele de monotonie ale lui f.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: Crescătoare pe (0,1], descrescătoare pe [1,+∞)
Criterii (după barem) Numitorul derivatei este pozitiv; semnul este cel al lui 1-x. 3 p Derivata este pozitivă pentru 0<x<1 și negativă pentru x>1, deci rezultă intervalele indicate. 2 p Semnalează o greșeală
III.2
f ( x ) = ( 2 x + 1 ) / ( x 2 + x + 1 ) f(x)=(2x+1)/(x^2+x+1) f ( x ) = ( 2 x + 1 ) / ( x 2 + x + 1 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.2.a 5 p Arătați ∫ 0 1 ( x 2 + x + 1 ) f ( x ) d x = 2 \int_0^1(x^2+x+1)f(x)\,dx=2 ∫ 0 1 ( x 2 + x + 1 ) f ( x ) d x = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) După simplificare integrandul este 2x+1. 3 p [x²+x]₀¹=2. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați ∫ 0 1 f ( x ) d x = ln 3 \int_0^1f(x)\,dx=\ln3 ∫ 0 1 f ( x ) d x = ln 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Numărătorul 2x+1 este derivata numitorului. Primitiva este ln(x²+x+1). 3 p Evaluând: ln3-ln1=ln3. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p g(x)=e^x(x²+x+1)f(x). Arătați că aria delimitată de g, Ox, x=0,x=1 este e+1.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) g(x)=(2x+1)e^x este pozitivă pe [0,1]. O primitivă este (2x-1)e^x. 3 p Aria este integrala, [(2x-1)e^x]₀¹=e-(-1)=e+1. 2 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.