Bacalaureat 2026 la matematică tehnologic: rezerva din august

Subiectul oficial tehnologic, rezerva din august 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că (1+15):2+25=1\left(1+\frac{1}{5}\right):2+\frac{2}{5}=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. (1+15):2+25=65:2+25=\left(1+\frac{1}{5}\right):2+\frac{2}{5}=\frac{6}{5}:2+\frac{2}{5}=3 p
  2. =35+25=1=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=12 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4−2xf(x)=4-2x. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=2⋅f(1)f(a)=2\cdot f(1).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=0a=0

Criterii (după barem)

  1. f(1)=2f(1)=2, f(a)=4−2af(a)=4-2a, pentru orice număr real aa3 p
  2. 4−2a=44-2a=4, de unde obținem a=0a=02 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 6x+7=5\sqrt{6x+7}=5.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=3x=3

Criterii (după barem)

  1. 6x+7=256x+7=253 p
  2. x=3x=3, care convine2 p

I.45 p

Se consideră mulțimea A={11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}A=\{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea AA, acesta să fie multiplu de 44.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=310p=\frac{3}{10}

Criterii (după barem)

  1. Mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile2 p
  2. În mulțimea AA sunt 33 multipli de 44, deci sunt 33 cazuri favorabile, de unde obținem p=310p=\frac{3}{10}3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,0)A(4,0), B(2,6)B(2,6) și CC, mijlocul segmentului ABAB. Arătați că OC=32OC=3\sqrt{2}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. C(3,3)C(3,3)2 p
  2. OC=18=32OC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}3 p

I.65 p

Arătați că 2(sin⁡60∘)2+sin⁡45∘⋅cos⁡45∘=22\left(\sin 60^\circ\right)^2+\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. sin⁡60∘=32\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}3 p
  2. 2(sin⁡60∘)2+sin⁡45∘⋅cos⁡45∘=2⋅(32)2+22⋅22=32+12=22\left(\sin 60^\circ\right)^2+\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ=2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=22 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricea M(a)=(2aa−1a+1a+3)M(a)=\begin{pmatrix}2a&a-1\\a+1&a+3\end{pmatrix}, unde aa este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(M(2))=17\det\left(M(2)\right)=17.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. M(2)=(4135)⇒det⁡(M(2))=∣4135∣=4⋅5−3⋅1=M(2)=\begin{pmatrix}4&1\\3&5\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(M(2)\right)=\begin{vmatrix}4&1\\3&5\end{vmatrix}=4\cdot 5-3\cdot 1=3 p
  2. =20−3=17=20-3=172 p

II.1.b5 p

Arătați că 4M(2)−M(5)=3M(1)4M(2)-M(5)=3M(1).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. M(5)=(10468)M(5)=\begin{pmatrix}10&4\\6&8\end{pmatrix}, 4M(2)−M(5)=(60612)=4M(2)-M(5)=\begin{pmatrix}6&0\\6&12\end{pmatrix}=3 p
  2. =3(2024)=3M(1)=3\begin{pmatrix}2&0\\2&4\end{pmatrix}=3M(1)2 p

II.1.c5 p

Demonstrați că numărul N=det⁡(M(0)⋅M(n)−M(1)⋅M(0))N=\det\left(M(0)\cdot M(n)-M(1)\cdot M(0)\right) este pătratul unui număr natural, pentru orice număr natural nn.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. M(0)=(0−113)M(0)=\begin{pmatrix}0&-1\\1&3\end{pmatrix}, M(0)⋅M(n)−M(1)⋅M(0)=(−n−1−n−35n+34n+8)−(0−2410)=M(0)\cdot M(n)-M(1)\cdot M(0)=\begin{pmatrix}-n-1&-n-3\\5n+3&4n+8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&-2\\4&10\end{pmatrix}= =(−n−1−n−15n−14n−2)=\begin{pmatrix}-n-1&-n-1\\5n-1&4n-2\end{pmatrix}, pentru orice număr natural nn2 p
  2. N=(−n−1)(4n−2)−(−n−1)(5n−1)=(n+1)2N=(-n-1)(4n-2)-(-n-1)(5n-1)=(n+1)^2, deci NN este pătratul unui număr natural, pentru orice număr natural nn3 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x−2y+xyx\circ y=3x-2y+xy.

II.2.a5 p

Arătați că 2∘2=62\circ 2=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 2∘2=3⋅2−2⋅2+2⋅2=2\circ 2=3\cdot 2-2\cdot 2+2\cdot 2=3 p
  2. =6−4+4=6=6-4+4=62 p

II.2.b5 p

Determinați numărul real xx pentru care 3∘x=33\circ x=3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−6x=-6

Criterii (după barem)

  1. 3∘x=9+x3\circ x=9+x, unde xx este număr real3 p
  2. 9+x=39+x=3, de unde obținem x=−6x=-62 p

II.2.c5 p

Determinați numerele întregi mm pentru care (−m)∘m>m∘m(-m)\circ m>m\circ m.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=−2m=-2 și m=−1m=-1

Criterii (după barem)

  1. (−m)∘m=−5m−m2(-m)\circ m=-5m-m^2, m∘m=m+m2m\circ m=m+m^2, pentru orice număr întreg mm2 p
  2. −5m−m2>m+m2⇔m2+3m<0-5m-m^2>m+m^2\Leftrightarrow m^2+3m<0 și, cum mm este număr întreg, obținem m=−2m=-2 și m=−1m=-13 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x2−24x+21f(x)=x^3+3x^2-24x+21.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=3(x−2)(x+4)f'(x)=3(x-2)(x+4), x∈Rx\in\mathbb{R}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=(x3)′+3⋅(x2)′−24⋅x′+21′=f'(x)=\left(x^3\right)'+3\cdot\left(x^2\right)'-24\cdot x'+21'=2 p
  2. =3x2+6x−24=3(x−2)(x+4)=3x^2+6x-24=3(x-2)(x+4), x∈Rx\in\mathbb{R}3 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→1x3−f(x)x2−x=18\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}=18.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. lim⁡x→1x3−f(x)x2−x=lim⁡x→1−3x2+24x−21x2−x=lim⁡x→1−3(x−1)(x−7)x(x−1)=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{-3x^2+24x-21}{x^2-x}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{-3(x-1)(x-7)}{x(x-1)}=3 p
  2. =lim⁡x→1−3(x−7)x=18=\lim\limits_{x\to 1}\frac{-3(x-7)}{x}=182 p

III.1.c5 p

Demonstrați că −28≤x3+3x2−24x≤80-28\le x^3+3x^2-24x\le 80, pentru orice x∈[−4,3]x\in[-4,3].

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=−4f'(x)=0\Leftrightarrow x=-4 sau x=2x=2; pentru orice x∈[−4,2]x\in[-4,2], f′(x)≤0f'(x)\le 0, deci ff este descrescătoare pe [−4,2][-4,2] și, pentru orice x∈[2,3]x\in[2,3], f′(x)≥0f'(x)\ge 0, deci ff este crescătoare pe [2,3][2,3]3 p
  2. Cum f(−4)=101f(-4)=101, f(2)=−7f(2)=-7 și f(3)=3f(3)=3, obținem −7≤f(x)≤101-7\le f(x)\le 101, pentru orice x∈[−4,3]x\in[-4,3], de unde rezultă −28≤x3+3x2−24x≤80-28\le x^3+3x^2-24x\le 80, pentru orice x∈[−4,3]x\in[-4,3]2 p

III.2

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x−4f(x)=5x-4.

III.2.a5 p

Arătați că ∫−11(f(x)+4)dx=0\int_{-1}^1\left(f(x)+4\right)dx=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫−11(f(x)+4)dx=∫−115x dx=5x22∣−11=\int_{-1}^1\left(f(x)+4\right)dx=\int_{-1}^1 5x\,dx=\left.\frac{5x^2}{2}\right|_{-1}^1=3 p
  2. =52−52=0=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=02 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫141f(x) dx=65\int_1^4\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\,dx=\frac{6}{5}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫141f(x) dx=∫1415x−4 dx=25∫14(5x−4)′25x−4 dx=255x−4∣14=\int_1^4\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\,dx=\int_1^4\frac{1}{\sqrt{5x-4}}\,dx=\frac{2}{5}\int_1^4\frac{(5x-4)'}{2\sqrt{5x-4}}\,dx=\left.\frac{2}{5}\sqrt{5x-4}\right|_1^4=3 p
  2. =85−25=65=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}=\frac{6}{5}2 p

III.2.c5 p

Determinați numărul real aa pentru care ∫1ef(ax)x⋅ln⁡x dx=8\int_1^e\frac{f(ax)}{x}\cdot\ln x\,dx=8.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Criterii (după barem)

  1. ∫1ef(ax)x⋅ln⁡x dx=∫1e5ax−4x⋅ln⁡x dx=5a∫1ex′⋅ln⁡x dx−4∫1e(ln⁡x)′⋅ln⁡x dx=\int_1^e\frac{f(ax)}{x}\cdot\ln x\,dx=\int_1^e\frac{5ax-4}{x}\cdot\ln x\,dx=5a\int_1^e x'\cdot\ln x\,dx-4\int_1^e(\ln x)'\cdot\ln x\,dx=2 p
  2. =5a(xln⁡x∣1e−x∣1e)−2ln⁡2x∣1e=5a−2=5a\left(\left.x\ln x\right|_1^e-\left.x\right|_1^e\right)-\left.2\ln^2 x\right|_1^e=5a-2, deci 5a−2=85a-2=8, de unde obținem a=2a=23 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică tehnologic.