Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic Pe teme Trigonometrie și rezolvarea triunghiurilor Trigonometrie și rezolvarea triunghiurilor: Matematică tehnologic la Bacalaureat
27 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
I.6 5 p A B C ABC A BC A A A A C = 6 = 3 A B AC=6=3AB A C = 6 = 3 A B B C = 2 10 BC=2\sqrt{10} BC = 2 10
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A B = 6 / 3 = 2 AB=6/3=2 A B = 6/3 = 2 2 p Prin Pitagora B C = 6 2 + 2 2 = 40 = 2 10 BC=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} BC = 6 2 + 2 2 = 40 = 2 10 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că 2 sin 60 ∘ + 3 sin 30 ∘ − 3 cos 30 ∘ = 0 2\sin60^\circ+\sqrt3\sin30^\circ-3\cos30^\circ=0 2 sin 6 0 ∘ + 3 sin 3 0 ∘ − 3 cos 3 0 ∘ = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Folosește sin 60 ∘ = cos 30 ∘ = 3 / 2 \sin60^\circ=\cos30^\circ=\sqrt3/2 sin 6 0 ∘ = cos 3 0 ∘ = 3 /2 sin 30 ∘ = 1 / 2 \sin30^\circ=1/2 sin 3 0 ∘ = 1/2 3 p Suma este 3 + 3 / 2 − 3 3 / 2 = 0 \sqrt3+\sqrt3/2-3\sqrt3/2=0 3 + 3 /2 − 3 3 /2 = 0 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A C = 6 ⋅ A B AC=6\cdot AB A C = 6 ⋅ A B 12 12 12 A B = 2 AB=2 A B = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 6 ⋅ A B ⋅ A B 2 = 12 \frac{6\cdot AB\cdot AB}{2}=12 2 6 ⋅ A B ⋅ A B = 12 3 p A B 2 = 2 ⋅ 12 6 = 4 AB^2=\frac{2\cdot 12}{6}=4 A B 2 = 6 2 ⋅ 12 = 4 A B = 2 AB=2 A B = 2 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p A B C ABC A BC A A A A B = 15 AB=15 A B = 15 B = 30 ∘ B=30^\circ B = 3 0 ∘ B C = 10 3 BC=10\sqrt3 BC = 10 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) cos 30 ∘ = A B / B C = 3 / 2 \cos30^\circ=AB/BC=\sqrt3/2 cos 3 0 ∘ = A B / BC = 3 /2 3 p B C = 15 ⋅ 2 / 3 = 10 3 BC=15\cdot2/\sqrt3=10\sqrt3 BC = 15 ⋅ 2/ 3 = 10 3 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A B C = 10 BC=10 BC = 10 2 B C = 5 A B 2BC=5AB 2 BC = 5 A B A C = 2 21 AC=2\sqrt{21} A C = 2 21
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A B = 4 AB=4 A B = 4 3 p A C 2 = 10 2 − 4 2 = 84 AC^2=10^2-4^2=84 A C 2 = 1 0 2 − 4 2 = 84 A C = 2 21 AC=2\sqrt{21} A C = 2 21 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 4 AB=4 A B = 4 B C = 6 BC=6 BC = 6 A B C ABC A BC 4 5 4\sqrt{5} 4 5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A C = 2 5 AC=2\sqrt{5} A C = 2 5 3 p A Δ A B C = A B ⋅ A C 2 = 4 ⋅ 2 5 2 = 4 5 \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 2\sqrt{5}}{2}=4\sqrt{5} A Δ A BC = 2 A B ⋅ A C = 2 4 ⋅ 2 5 = 4 5 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că 2 ( sin 60 ∘ ) 2 + sin 45 ∘ ⋅ cos 45 ∘ = 2 2\left(\sin 60^\circ\right)^2+\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ=2 2 ( sin 6 0 ∘ ) 2 + sin 4 5 ∘ ⋅ cos 4 5 ∘ = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin 60 ∘ = 3 2 \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} sin 6 0 ∘ = 2 3 sin 45 ∘ = 2 2 \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} sin 4 5 ∘ = 2 2 cos 45 ∘ = 2 2 \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} cos 4 5 ∘ = 2 2 3 p 2 ( sin 60 ∘ ) 2 + sin 45 ∘ ⋅ cos 45 ∘ = 2 ⋅ ( 3 2 ) 2 + 2 2 ⋅ 2 2 = 3 2 + 1 2 = 2 2\left(\sin 60^\circ\right)^2+\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ=2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2 2 ( sin 6 0 ∘ ) 2 + sin 4 5 ∘ ⋅ cos 4 5 ∘ = 2 ⋅ ( 2 3 ) 2 + 2 2 ⋅ 2 2 = 2 3 + 2 1 = 2 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, AC=4, C=60°. Arătați BC=8.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) cos60°=AC/BC=1/2. 3 p BC=4/(1/2)=8. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p A B C ABC A BC
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Pitagora dă BC=√(36+64)=10. 2 p sin C=AB/BC=6/10=3/5. 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că ( sin 30 ∘ + 3 cos 60 ∘ ) ⋅ ( sin 45 ∘ ) 2 = 1 \left(\sin 30^\circ+3\cos 60^\circ\right)\cdot\left(\sin 45^\circ\right)^2=1 ( sin 3 0 ∘ + 3 cos 6 0 ∘ ) ⋅ ( sin 4 5 ∘ ) 2 = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 cos 60 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ=\frac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 sin 45 ∘ = 2 2 \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} sin 4 5 ∘ = 2 2 3 p ( sin 30 ∘ + 3 cos 60 ∘ ) ⋅ ( sin 45 ∘ ) 2 = ( 1 2 + 3 2 ) ⋅ ( 2 2 ) 2 = 2 ⋅ 1 2 = 1 \left(\sin 30^\circ+3\cos 60^\circ\right)\cdot\left(\sin 45^\circ\right)^2=\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=2\cdot\frac{1}{2}=1 ( sin 3 0 ∘ + 3 cos 6 0 ∘ ) ⋅ ( sin 4 5 ∘ ) 2 = ( 2 1 + 2 3 ) ⋅ ( 2 2 ) 2 = 2 ⋅ 2 1 = 1 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p M N P MNP MNP M N = 8 = 4 M P MN=8=4MP MN = 8 = 4 MP
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M P = 8 / 4 = 2 MP=8/4=2 MP = 8/4 = 2 2 p Aria este M N ⋅ M P / 2 = 8 ⋅ 2 / 2 = 8 MN\cdot MP/2=8\cdot2/2=8 MN ⋅ MP /2 = 8 ⋅ 2/2 = 8 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că 5 cos 60 ∘ − sin 30 ∘ + 4 ( sin 60 ∘ ) 2 = 5 5\cos 60^\circ-\sin 30^\circ+4\left(\sin 60^\circ\right)^2=5 5 cos 6 0 ∘ − sin 3 0 ∘ + 4 ( sin 6 0 ∘ ) 2 = 5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) cos 60 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ=\frac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 sin 60 ∘ = 3 2 \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} sin 6 0 ∘ = 2 3 3 p 5 cos 60 ∘ − sin 30 ∘ + 4 ( sin 60 ∘ ) 2 = 5 ⋅ 1 2 − 1 2 + 4 ⋅ ( 3 2 ) 2 = 5 2 − 1 2 + 4 ⋅ 3 4 = 5 5\cos 60^\circ-\sin 30^\circ+4\left(\sin 60^\circ\right)^2=5\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}+4\cdot\frac{3}{4}=5 5 cos 6 0 ∘ − sin 3 0 ∘ + 4 ( sin 6 0 ∘ ) 2 = 5 ⋅ 2 1 − 2 1 + 4 ⋅ ( 2 3 ) 2 = 2 5 − 2 1 + 4 ⋅ 4 3 = 5 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați 2 ( sin 45 ∘ + cos 45 ∘ ) sin 30 ∘ = 1 \sqrt2(\sin45^\circ+\cos45^\circ)\sin30^\circ=1 2 ( sin 4 5 ∘ + cos 4 5 ∘ ) sin 3 0 ∘ = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Suma din paranteză este √2. 3 p √2·√2·1/2=1. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, AB=3,BC=5. Arătați tg B=4/3.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) AC=√(25-9)=4. 3 p tg B=AC/AB=4/3. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că 2 ( sin 45 ∘ + sin 30 ∘ ) ( sin 45 ∘ − sin 30 ∘ ) = cos 60 ∘ 2\left(\sin 45^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 45^\circ-\sin 30^\circ\right)=\cos 60^\circ 2 ( sin 4 5 ∘ + sin 3 0 ∘ ) ( sin 4 5 ∘ − sin 3 0 ∘ ) = cos 6 0 ∘
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 sin 45 ∘ = 2 2 \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} sin 4 5 ∘ = 2 2 cos 60 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ=\frac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 3 p 2 ( sin 45 ∘ + sin 30 ∘ ) ( sin 45 ∘ − sin 30 ∘ ) = 2 ( ( 2 2 ) 2 − ( 1 2 ) 2 ) = 1 2 = cos 60 ∘ 2\left(\sin 45^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 45^\circ-\sin 30^\circ\right)=2\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)=\frac{1}{2}=\cos 60^\circ 2 ( sin 4 5 ∘ + sin 3 0 ∘ ) ( sin 4 5 ∘ − sin 3 0 ∘ ) = 2 ( ( 2 2 ) 2 − ( 2 1 ) 2 ) = 2 1 = cos 6 0 ∘ 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați 1 + sin 30 ∘ = 2 sin 60 ∘ cos 30 ∘ 1+\sin30^\circ=2\sin60^\circ\cos30^\circ 1 + sin 3 0 ∘ = 2 sin 6 0 ∘ cos 3 0 ∘
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Stânga este 1+1/2=3/2. 3 p Dreapta este 2·(√3/2)·(√3/2)=3/2. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A B C = 20 BC=20 BC = 20 A C = 16 AC=16 A C = 16 A B C ABC A BC 48 48 48
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A B = 12 AB=12 A B = 12 3 p P Δ A B C = A B + A C + B C = 48 P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=48 P Δ A BC = A B + A C + BC = 48 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 12 AB=12 A B = 12 A C = 8 AC=8 A C = 8 M M M A B AB A B C M = 10 CM=10 CM = 10
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A M = 6 AM=6 A M = 6 2 p C M = A C 2 + A M 2 = 10 CM=\sqrt{AC^2+AM^2}=10 CM = A C 2 + A M 2 = 10 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, BC=16,B=30°. Arătați aria 32 3 32\sqrt3 32 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) AC=16sin30°=8, AB=16cos30°=8√3. 2 p Aria este 8·8√3/2=32√3. 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați 3 sin 45 ∘ + 2 sin 30 ∘ − 2 cos 30 ∘ = 1 \sqrt3\sin45^\circ+2\sin30^\circ-\sqrt2\cos30^\circ=1 3 sin 4 5 ∘ + 2 sin 3 0 ∘ − 2 cos 3 0 ∘ = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Primul și al treilea termen sunt ambii √6/2. 3 p Se reduc, iar 2sin30°=1. 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.