Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2025 sesiunea specială Bacalaureat 2025 la matematică tehnologic: sesiunea specială
Subiectul oficial tehnologic, sesiunea specială 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Determinați termenul a 3 a_3 a 3 ( a n ) n ≥ 1 (a_n)_{n\ge 1} ( a n ) n ≥ 1 a 1 = 3 a_1=3 a 1 = 3 a 2 = 9 a_2=9 a 2 = 9
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a 3 = 15 a_3=15 a 3 = 15
Criterii (după barem) r = a 2 − a 1 = 6 r=a_2-a_1=6 r = a 2 − a 1 = 6 r r r 3 p a 3 = a 2 + r = 15 a_3=a_2+r=15 a 3 = a 2 + r = 15 2 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 3 x − 5 f(x)=3x-5 f ( x ) = 3 x − 5 f ( 3 ) + f ( 2 ) + f ( 0 ) = 0 f(3)+f(2)+f(0)=0 f ( 3 ) + f ( 2 ) + f ( 0 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ( 3 ) = 4 f(3)=4 f ( 3 ) = 4 f ( 2 ) = 1 f(2)=1 f ( 2 ) = 1 f ( 0 ) = − 5 f(0)=-5 f ( 0 ) = − 5 3 p f ( 3 ) + f ( 2 ) + f ( 0 ) = 4 + 1 − 5 = 0 f(3)+f(2)+f(0)=4+1-5=0 f ( 3 ) + f ( 2 ) + f ( 0 ) = 4 + 1 − 5 = 0 2 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9 x − 5 = 2 \sqrt{9x-5}=2 9 x − 5 = 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) 9 x − 5 = 4 9x-5=4 9 x − 5 = 4 3 p x = 1 x=1 x = 1 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p După o ieftinire cu 30 % 30\% 30% 56 56 56
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 80 80 80
Criterii (după barem) x − 30 100 ⋅ x = 56 x-\frac{30}{100}\cdot x=56 x − 100 30 ⋅ x = 56 x x x 3 p x = 80 x=80 x = 80 2 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 0 , 1 ) A(0,1) A ( 0 , 1 ) B ( 5 , 6 ) B(5,6) B ( 5 , 6 ) C ( 7 , 2 ) C(7,2) C ( 7 , 2 ) A B = A C AB=AC A B = A C
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A B = 5 2 + 5 2 = 5 2 AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2} A B = 5 2 + 5 2 = 5 2 2 p A C = 7 2 + 1 2 = 5 2 AC=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt{2} A C = 7 2 + 1 2 = 5 2 A B = A C AB=AC A B = A C 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că ( sin 30 ∘ + 3 cos 60 ∘ ) ⋅ ( sin 45 ∘ ) 2 = 1 \left(\sin 30^\circ+3\cos 60^\circ\right)\cdot\left(\sin 45^\circ\right)^2=1 ( sin 3 0 ∘ + 3 cos 6 0 ∘ ) ⋅ ( sin 4 5 ∘ ) 2 = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 cos 60 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ=\frac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 sin 45 ∘ = 2 2 \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} sin 4 5 ∘ = 2 2 3 p ( sin 30 ∘ + 3 cos 60 ∘ ) ⋅ ( sin 45 ∘ ) 2 = ( 1 2 + 3 2 ) ⋅ ( 2 2 ) 2 = 2 ⋅ 1 2 = 1 \left(\sin 30^\circ+3\cos 60^\circ\right)\cdot\left(\sin 45^\circ\right)^2=\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=2\cdot\frac{1}{2}=1 ( sin 3 0 ∘ + 3 cos 6 0 ∘ ) ⋅ ( sin 4 5 ∘ ) 2 = ( 2 1 + 2 3 ) ⋅ ( 2 2 ) 2 = 2 ⋅ 2 1 = 1 2 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A = ( 1 2 − 2 1 ) A=\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix} A = ( 1 − 2 2 1 ) B ( x ) = ( 2 x − 1 2 x ) B(x)=\begin{pmatrix}2&x\\-1&2x\end{pmatrix} B ( x ) = ( 2 − 1 x 2 x ) x x x
II.1.a 5 p Arătați că det A = 5 \det A=5 det A = 5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) det A = ∣ 1 2 − 2 1 ∣ = 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ ( − 2 ) = \det A=\begin{vmatrix}1&2\\-2&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-2\cdot(-2)= det A = 1 − 2 2 1 = 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ ( − 2 ) = 3 p = 1 + 4 = 5 =1+4=5 = 1 + 4 = 5 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că A + 3 I 2 = 2 B ( 1 ) A+3I_2=2B(1) A + 3 I 2 = 2 B ( 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A + 3 I 2 = ( 1 2 − 2 1 ) + ( 3 0 0 3 ) = ( 4 2 − 2 4 ) = A+3I_2=\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\-2&4\end{pmatrix}= A + 3 I 2 = ( 1 − 2 2 1 ) + ( 3 0 0 3 ) = ( 4 − 2 2 4 ) = 3 p = 2 ( 2 1 − 1 2 ) = 2 B ( 1 ) =2\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}=2B(1) = 2 ( 2 − 1 1 2 ) = 2 B ( 1 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați numerele reale x x x det ( B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A ) = x 2 \det\left(B(2x)-B(x)\cdot A\right)=x^2 det ( B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A ) = x 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 0 x=0 x = 0 x = 20 x=20 x = 20
Criterii (după barem) B ( 2 x ) = ( 2 2 x − 1 4 x ) B(2x)=\begin{pmatrix}2&2x\\-1&4x\end{pmatrix} B ( 2 x ) = ( 2 − 1 2 x 4 x ) B ( x ) ⋅ A = ( 2 − 2 x 4 + x − 1 − 4 x − 2 + 2 x ) B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}2-2x&4+x\\-1-4x&-2+2x\end{pmatrix} B ( x ) ⋅ A = ( 2 − 2 x − 1 − 4 x 4 + x − 2 + 2 x ) B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A = ( 2 x x − 4 4 x 2 x + 2 ) B(2x)-B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}2x&x-4\\4x&2x+2\end{pmatrix} B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A = ( 2 x 4 x x − 4 2 x + 2 ) det ( B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A ) = 20 x \det\left(B(2x)-B(x)\cdot A\right)=20x det ( B ( 2 x ) − B ( x ) ⋅ A ) = 20 x x x x 3 p 20 x = x 2 20x=x^2 20 x = x 2 x = 0 x=0 x = 0 x = 20 x=20 x = 20 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = x y − 8 x − 8 y + 8 x*y=xy-8x-8y+8 x ∗ y = x y − 8 x − 8 y + 8
II.2.a 5 p Arătați că 0 ∗ 1 = 0 0*1=0 0 ∗ 1 = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 0 ∗ 1 = 0 ⋅ 1 − 8 ⋅ 0 − 8 ⋅ 1 + 8 = 0*1=0\cdot 1-8\cdot 0-8\cdot 1+8= 0 ∗ 1 = 0 ⋅ 1 − 8 ⋅ 0 − 8 ⋅ 1 + 8 = 3 p = 0 − 0 − 8 + 8 = 0 =0-0-8+8=0 = 0 − 0 − 8 + 8 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real x x x x ∗ 2 = 2 x x*2=2x x ∗ 2 = 2 x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 1 x=-1 x = − 1
Criterii (după barem) x ∗ 2 = − 6 x − 8 x*2=-6x-8 x ∗ 2 = − 6 x − 8 x x x 3 p − 6 x − 8 = 2 x -6x-8=2x − 6 x − 8 = 2 x x = − 1 x=-1 x = − 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați perechile ( m , n ) (m,n) ( m , n ) m < n m<n m < n ( 8 + m ) ∗ ( 8 + n ) = 2 (8+m)*(8+n)=2 ( 8 + m ) ∗ ( 8 + n ) = 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( 1 , 58 ) (1,58) ( 1 , 58 ) ( 2 , 29 ) (2,29) ( 2 , 29 )
Criterii (după barem) ( 8 + m ) ∗ ( 8 + n ) = m n − 56 (8+m)*(8+n)=mn-56 ( 8 + m ) ∗ ( 8 + n ) = mn − 56 m m m n n n 2 p m n − 56 = 2 ⇔ m n = 58 mn-56=2\Leftrightarrow mn=58 mn − 56 = 2 ⇔ mn = 58 m m m n n n m < n m<n m < n ( 1 , 58 ) (1,58) ( 1 , 58 ) ( 2 , 29 ) (2,29) ( 2 , 29 ) 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
Se consideră funcția f : ( − 4 , + ∞ ) → R f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 4 , + ∞ ) → R f ( x ) = 4 x + 7 x + 4 f(x)=\frac{4x+7}{x+4} f ( x ) = x + 4 4 x + 7
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 9 ( x + 4 ) 2 f'(x)=\frac{9}{(x+4)^2} f ′ ( x ) = ( x + 4 ) 2 9 x ∈ ( − 4 , + ∞ ) x\in(-4,+\infty) x ∈ ( − 4 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 4 ( x + 4 ) − ( 4 x + 7 ) ( x + 4 ) 2 = f'(x)=\frac{4(x+4)-(4x+7)}{(x+4)^2}= f ′ ( x ) = ( x + 4 ) 2 4 ( x + 4 ) − ( 4 x + 7 ) = 3 p = 4 x + 16 − 4 x − 7 ( x + 4 ) 2 = 9 ( x + 4 ) 2 =\frac{4x+16-4x-7}{(x+4)^2}=\frac{9}{(x+4)^2} = ( x + 4 ) 2 4 x + 16 − 4 x − 7 = ( x + 4 ) 2 9 x ∈ ( − 4 , + ∞ ) x\in(-4,+\infty) x ∈ ( − 4 , + ∞ ) 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 4 y=4 y = 4
Criterii (după barem) lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ 4 x + 7 x + 4 = lim x → + ∞ 4 + 7 x 1 + 4 x = 4 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{4x+7}{x+4}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{4+\frac{7}{x}}{1+\frac{4}{x}}=4 x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim x + 4 4 x + 7 = x → + ∞ lim 1 + x 4 4 + x 7 = 4 3 p Dreapta de ecuație y = 4 y=4 y = 4 + ∞ +\infty + ∞ f f f 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați a ∈ ( − 4 , + ∞ ) a\in(-4,+\infty) a ∈ ( − 4 , + ∞ ) f f f A ( a , f ( a ) ) A\left(a,f(a)\right) A ( a , f ( a ) ) 1 1 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = − 1 a=-1 a = − 1
Criterii (după barem) f ′ ( a ) = 1 f'(a)=1 f ′ ( a ) = 1 2 p 9 ( a + 4 ) 2 = 1 \frac{9}{(a+4)^2}=1 ( a + 4 ) 2 9 = 1 ( a + 4 ) 2 = 9 (a+4)^2=9 ( a + 4 ) 2 = 9 a ∈ ( − 4 , + ∞ ) a\in(-4,+\infty) a ∈ ( − 4 , + ∞ ) a = − 1 a=-1 a = − 1 3 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( − 3 , + ∞ ) → R f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 3 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x + x + 3 f(x)=2x+\sqrt{x+3} f ( x ) = 2 x + x + 3
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 1 2 ( f ( x ) − x + 3 ) d x = 3 \int_1^2\left(f(x)-\sqrt{x+3}\right)dx=3 ∫ 1 2 ( f ( x ) − x + 3 ) d x = 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 2 ( f ( x ) − x + 3 ) d x = ∫ 1 2 2 x d x = x 2 ∣ 1 2 = \int_1^2\left(f(x)-\sqrt{x+3}\right)dx=\int_1^2 2x\,dx=\left.x^2\right|_1^2= ∫ 1 2 ( f ( x ) − x + 3 ) d x = ∫ 1 2 2 x d x = x 2 1 2 = 3 p = 4 − 1 = 3 =4-1=3 = 4 − 1 = 3 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 6 1 f ( x ) − 2 x d x = 2 \int_1^6\frac{1}{f(x)-2x}\,dx=2 ∫ 1 6 f ( x ) − 2 x 1 d x = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 6 1 f ( x ) − 2 x d x = ∫ 1 6 1 x + 3 d x = 2 ∫ 1 6 ( x + 3 ) ′ 2 x + 3 d x = 2 x + 3 ∣ 1 6 = \int_1^6\frac{1}{f(x)-2x}\,dx=\int_1^6\frac{1}{\sqrt{x+3}}\,dx=2\int_1^6\frac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}}\,dx=\left.2\sqrt{x+3}\right|_1^6= ∫ 1 6 f ( x ) − 2 x 1 d x = ∫ 1 6 x + 3 1 d x = 2 ∫ 1 6 2 x + 3 ( x + 3 ) ′ d x = 2 x + 3 1 6 = 3 p = 6 − 4 = 2 =6-4=2 = 6 − 4 = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g : [ 0 , 6 ] → R g:[0,6]\to\mathbb{R} g : [ 0 , 6 ] → R g ( x ) = x f ( x ) − 2 x g(x)=\frac{x}{f(x)-2x} g ( x ) = f ( x ) − 2 x x O x Ox O x 9 π ln 3 9\pi\ln 3 9 π ln 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) g ( x ) = x x + 3 g(x)=\frac{x}{\sqrt{x+3}} g ( x ) = x + 3 x x ∈ [ 0 , 6 ] x\in[0,6] x ∈ [ 0 , 6 ] V = π ∫ 0 6 ( g ( x ) ) 2 d x = π ∫ 0 6 x 2 x + 3 d x = V=\pi\int_0^6\left(g(x)\right)^2\,dx=\pi\int_0^6\frac{x^2}{x+3}\,dx= V = π ∫ 0 6 ( g ( x ) ) 2 d x = π ∫ 0 6 x + 3 x 2 d x = 2 p = π ∫ 0 6 ( x − 3 + 9 x + 3 ) d x = π ( x 2 2 ∣ 0 6 − 3 x ∣ 0 6 + 9 ln ( x + 3 ) ∣ 0 6 ) = 9 π ln 3 =\pi\int_0^6\left(x-3+\frac{9}{x+3}\right)dx=\pi\left(\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^6-\left.3x\right|_0^6+\left.9\ln(x+3)\right|_0^6\right)=9\pi\ln 3 = π ∫ 0 6 ( x − 3 + x + 3 9 ) d x = π ( 2 x 2 0 6 − 3 x ∣ 0 6 + 9 ln ( x + 3 ) ∣ 0 6 ) = 9 π ln 3 3 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.