Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic Pe teme Matrice și determinanți Matrice și determinanți: Matematică tehnologic la Bacalaureat
81 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II.1
M ( a ) = ( a + 1 4 − 1 a − 4 ) M(a)=\begin{pmatrix}a+1&4\\-1&a-4\end{pmatrix} M ( a ) = ( a + 1 − 1 4 a − 4 ) a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.a 5 p Arătați det M ( 0 ) = 0 \det M(0)=0 det M ( 0 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M ( 0 ) = ( 1 4 − 1 − 4 ) M(0)=\begin{pmatrix}1&4\\-1&-4\end{pmatrix} M ( 0 ) = ( 1 − 1 4 − 4 ) 3 p det M ( 0 ) = − 4 + 4 = 0 \det M(0)=-4+4=0 det M ( 0 ) = − 4 + 4 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = 3 M ( 1 ) M(3)+2M(0)=3M(1) M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = 3 M ( 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = ( 6 12 − 3 − 9 ) M(3)+2M(0)=\begin{pmatrix}6&12\\-3&-9\end{pmatrix} M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = ( 6 − 3 12 − 9 ) 3 p 3 M ( 1 ) = 3 ( 2 4 − 1 − 3 ) 3M(1)=3\begin{pmatrix}2&4\\-1&-3\end{pmatrix} 3 M ( 1 ) = 3 ( 2 − 1 4 − 3 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați a a a M ( a ) M ( 0 ) = 3 M ( 0 ) M(a)M(0)=3M(0) M ( a ) M ( 0 ) = 3 M ( 0 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 6 a=6 a = 6
Criterii (după barem) M ( a ) = M ( 0 ) + a I 2 M(a)=M(0)+aI_2 M ( a ) = M ( 0 ) + a I 2 M ( 0 ) 2 = − 3 M ( 0 ) M(0)^2=-3M(0) M ( 0 ) 2 = − 3 M ( 0 ) 3 p Ecuația devine ( a − 3 ) M ( 0 ) = 3 M ( 0 ) (a-3)M(0)=3M(0) ( a − 3 ) M ( 0 ) = 3 M ( 0 ) a − 3 = 3 a-3=3 a − 3 = 3 2 p Semnalează o greșeală
II.1
I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) M ( a ) = ( 2 a a a a − 2 ) M(a)=\begin{pmatrix}2a&a\\a&a-2\end{pmatrix} M ( a ) = ( 2 a a a a − 2 ) a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det M ( 4 ) = 0 \det M(4)=0 det M ( 4 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M ( 4 ) = ( 8 4 4 2 ) M(4)=\begin{pmatrix}8&4\\4&2\end{pmatrix} M ( 4 ) = ( 8 4 4 2 ) 3 p Determinantul este 16 − 16 = 0 16-16=0 16 − 16 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că M ( 1 ) 2 − M ( 1 ) = 3 I 2 M(1)^2-M(1)=3I_2 M ( 1 ) 2 − M ( 1 ) = 3 I 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M ( 1 ) = ( 2 1 1 − 1 ) M(1)=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix} M ( 1 ) = ( 2 1 1 − 1 ) M ( 1 ) 2 = ( 5 1 1 2 ) M(1)^2=\begin{pmatrix}5&1\\1&2\end{pmatrix} M ( 1 ) 2 = ( 5 1 1 2 ) 3 p Scăderea dă ( 3 0 0 3 ) = 3 I 2 \begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=3I_2 ( 3 0 0 3 ) = 3 I 2 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Demonstrați că N = det ( M ( n ) − 3 M ( 1 ) − 1 ) N=\det(M(n)-3M(1)^{-1}) N = det ( M ( n ) − 3 M ( 1 ) − 1 ) n ∈ N ∗ n\in\mathbb N^* n ∈ N ∗
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Din M ( 1 ) 2 − M ( 1 ) = 3 I 2 M(1)^2-M(1)=3I_2 M ( 1 ) 2 − M ( 1 ) = 3 I 2 3 M ( 1 ) − 1 = M ( 1 ) − I 2 3M(1)^{-1}=M(1)-I_2 3 M ( 1 ) − 1 = M ( 1 ) − I 2 ( 2 n − 1 n − 1 n − 1 n ) \begin{pmatrix}2n-1&n-1\\n-1&n\end{pmatrix} ( 2 n − 1 n − 1 n − 1 n ) 3 p Determinantul este n 2 + n − 1 = n ( n + 1 ) − 1 n^2+n-1=n(n+1)-1 n 2 + n − 1 = n ( n + 1 ) − 1 2 2 2 2 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricea A ( x ) = ( x 2 2 x x + 4 ) A(x)=\begin{pmatrix}x&2\\2x&x+4\end{pmatrix} A ( x ) = ( x 2 x 2 x + 4 ) x x x
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 1 ) ) = 1 \det\left(A(1)\right)=1 det ( A ( 1 ) ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 1 ) = ( 1 2 2 5 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = ∣ 1 2 2 5 ∣ = 1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 2 = A(1)=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(1)\right)=\begin{vmatrix}1&2\\2&5\end{vmatrix}=1\cdot 5-2\cdot 2= A ( 1 ) = ( 1 2 2 5 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = 1 2 2 5 = 1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 2 = 3 p = 5 − 4 = 1 =5-4=1 = 5 − 4 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că 3 A ( 3 ) − A ( 1 ) = 2 A ( 4 ) 3A(3)-A(1)=2A(4) 3 A ( 3 ) − A ( 1 ) = 2 A ( 4 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 3 ) = ( 3 2 6 7 ) A(3)=\begin{pmatrix}3&2\\6&7\end{pmatrix} A ( 3 ) = ( 3 6 2 7 ) 3 A ( 3 ) − A ( 1 ) = ( 8 4 16 16 ) = 3A(3)-A(1)=\begin{pmatrix}8&4\\16&16\end{pmatrix}= 3 A ( 3 ) − A ( 1 ) = ( 8 16 4 16 ) = 3 p = 2 ( 4 2 8 8 ) = 2 A ( 4 ) =2\begin{pmatrix}4&2\\8&8\end{pmatrix}=2A(4) = 2 ( 4 8 2 8 ) = 2 A ( 4 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați numărul real x x x A ( 0 ) ⋅ A ( x ) ⋅ A ( 0 ) = 4 x A ( 0 ) A(0)\cdot A(x)\cdot A(0)=4xA(0) A ( 0 ) ⋅ A ( x ) ⋅ A ( 0 ) = 4 x A ( 0 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 4 x=-4 x = − 4
Criterii (după barem) A ( 0 ) = ( 0 2 0 4 ) A(0)=\begin{pmatrix}0&2\\0&4\end{pmatrix} A ( 0 ) = ( 0 0 2 4 ) A ( 0 ) ⋅ A ( x ) ⋅ A ( 0 ) = ( 8 x + 16 ) A ( 0 ) A(0)\cdot A(x)\cdot A(0)=(8x+16)A(0) A ( 0 ) ⋅ A ( x ) ⋅ A ( 0 ) = ( 8 x + 16 ) A ( 0 ) x x x 3 p ( 8 x + 16 ) A ( 0 ) = 4 x A ( 0 ) (8x+16)A(0)=4xA(0) ( 8 x + 16 ) A ( 0 ) = 4 x A ( 0 ) 8 x + 16 = 4 x 8x+16=4x 8 x + 16 = 4 x x = − 4 x=-4 x = − 4 2 p Semnalează o greșeală
II.1
A ( x ) = ( x 1 x − 1 2 ) A(x)=\begin{pmatrix}x&1\\x-1&2\end{pmatrix} A ( x ) = ( x x − 1 1 2 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A ( 4 ) = 5 \det A(4)=5 det A ( 4 ) = 5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 4 ) = ( 4 1 3 2 ) A(4)=\begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix} A ( 4 ) = ( 4 3 1 2 ) 3 p Determinantul este 4 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 = 5 4\cdot2-1\cdot3=5 4 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 = 5 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = 3 A ( 2 ) 2A(1)+A(4)=3A(2) 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = 3 A ( 2 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = ( 6 3 3 6 ) 2A(1)+A(4)=\begin{pmatrix}6&3\\3&6\end{pmatrix} 2 A ( 1 ) + A ( 4 ) = ( 6 3 3 6 ) 3 p 3 A ( 2 ) = 3 ( 2 1 1 2 ) 3A(2)=3\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} 3 A ( 2 ) = 3 ( 2 1 1 2 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați x , y ∈ R x,y\in\mathbb R x , y ∈ R A ( − x ) A ( x ) = A ( y ) A(-x)A(x)=A(y) A ( − x ) A ( x ) = A ( y )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 , y = − 1 x=1,\ y=-1 x = 1 , y = − 1
Criterii (după barem) Produsul este ( − x 2 + x − 1 2 − x − x 2 + x − 2 3 − x ) \begin{pmatrix}-x^2+x-1&2-x\\-x^2+x-2&3-x\end{pmatrix} ( − x 2 + x − 1 − x 2 + x − 2 2 − x 3 − x ) 3 p Elementul ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) 2 − x = 1 2-x=1 2 − x = 1 x = 1 x=1 x = 1 ( − 1 1 − 2 2 ) = A ( − 1 ) \begin{pmatrix}-1&1\\-2&2\end{pmatrix}=A(-1) ( − 1 − 2 1 2 ) = A ( − 1 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( x ) = ( x x − 1 x + 1 x + 1 ) A(x)=\begin{pmatrix}x&x-1\\x+1&x+1\end{pmatrix} A ( x ) = ( x x + 1 x − 1 x + 1 ) x x x
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 1 ) ) = 2 \det\left(A(1)\right)=2 det ( A ( 1 ) ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 1 ) = ( 1 0 2 2 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = ∣ 1 0 2 2 ∣ = 1 ⋅ 2 − 0 ⋅ 2 = A(1)=\begin{pmatrix}1&0\\2&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(1)\right)=\begin{vmatrix}1&0\\2&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-0\cdot 2= A ( 1 ) = ( 1 2 0 2 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = 1 2 0 2 = 1 ⋅ 2 − 0 ⋅ 2 = 3 p = 2 − 0 = 2 =2-0=2 = 2 − 0 = 2 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că 2 A ( 1 ) + A ( 7 ) = 3 A ( 3 ) 2A(1)+A(7)=3A(3) 2 A ( 1 ) + A ( 7 ) = 3 A ( 3 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 7 ) = ( 7 6 8 8 ) A(7)=\begin{pmatrix}7&6\\8&8\end{pmatrix} A ( 7 ) = ( 7 8 6 8 ) 2 A ( 1 ) + A ( 7 ) = ( 9 6 12 12 ) = 2A(1)+A(7)=\begin{pmatrix}9&6\\12&12\end{pmatrix}= 2 A ( 1 ) + A ( 7 ) = ( 9 12 6 12 ) = 3 p = 3 ( 3 2 4 4 ) = 3 A ( 3 ) =3\begin{pmatrix}3&2\\4&4\end{pmatrix}=3A(3) = 3 ( 3 4 2 4 ) = 3 A ( 3 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați numerele reale x x x y y y ( A ( x ) − ( 2 x + 1 ) I 2 ) ⋅ A ( 2 ) = y I 2 \left(A(x)-(2x+1)I_2\right)\cdot A(2)=yI_2 ( A ( x ) − ( 2 x + 1 ) I 2 ) ⋅ A ( 2 ) = y I 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 2 x=2 x = 2 y = − 3 y=-3 y = − 3
Criterii (după barem) A ( x ) − ( 2 x + 1 ) I 2 = ( − x − 1 x − 1 x + 1 − x ) A(x)-(2x+1)I_2=\begin{pmatrix}-x-1&x-1\\x+1&-x\end{pmatrix} A ( x ) − ( 2 x + 1 ) I 2 = ( − x − 1 x + 1 x − 1 − x ) ( A ( x ) − ( 2 x + 1 ) I 2 ) ⋅ A ( 2 ) = ( x − 5 2 x − 4 − x + 2 − 2 x + 1 ) \left(A(x)-(2x+1)I_2\right)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}x-5&2x-4\\-x+2&-2x+1\end{pmatrix} ( A ( x ) − ( 2 x + 1 ) I 2 ) ⋅ A ( 2 ) = ( x − 5 − x + 2 2 x − 4 − 2 x + 1 ) x x x 3 p ( x − 5 2 x − 4 − x + 2 − 2 x + 1 ) = ( y 0 0 y ) \begin{pmatrix}x-5&2x-4\\-x+2&-2x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y&0\\0&y\end{pmatrix} ( x − 5 − x + 2 2 x − 4 − 2 x + 1 ) = ( y 0 0 y ) x = 2 x=2 x = 2 y = − 3 y=-3 y = − 3 2 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a − 1 3 a − 3 3 a − 2 ) A(a)=\begin{pmatrix}1&a-1\\3a-3&3a-2\end{pmatrix} A ( a ) = ( 1 3 a − 3 a − 1 3 a − 2 ) a a a
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 1 \det\left(A(2)\right)=1 det ( A ( 2 ) ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 2 ) = ( 1 1 3 4 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = ∣ 1 1 3 4 ∣ = 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 = A(2)=\begin{pmatrix}1&1\\3&4\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(2)\right)=\begin{vmatrix}1&1\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot 4-1\cdot 3= A ( 2 ) = ( 1 3 1 4 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = 1 3 1 4 = 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 = 3 p = 4 − 3 = 1 =4-3=1 = 4 − 3 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = 3 A ( 3 ) 2A(2)+A(5)=3A(3) 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = 3 A ( 3 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 5 ) = ( 1 4 12 13 ) A(5)=\begin{pmatrix}1&4\\12&13\end{pmatrix} A ( 5 ) = ( 1 12 4 13 ) 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = ( 3 6 18 21 ) = 2A(2)+A(5)=\begin{pmatrix}3&6\\18&21\end{pmatrix}= 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = ( 3 18 6 21 ) = 3 p = 3 ( 1 2 6 7 ) = 3 A ( 3 ) =3\begin{pmatrix}1&2\\6&7\end{pmatrix}=3A(3) = 3 ( 1 6 2 7 ) = 3 A ( 3 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați matricea X ∈ M 2 ( R ) X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) X ∈ M 2 ( R ) 2 X ⋅ A ( 2 ) − A ( 2 ) = A ( 6 ) 2X\cdot A(2)-A(2)=A(6) 2 X ⋅ A ( 2 ) − A ( 2 ) = A ( 6 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: X = ( − 5 2 6 1 ) X=\begin{pmatrix}-5&2\\6&1\end{pmatrix} X = ( − 5 6 2 1 )
Criterii (după barem) 2 X ⋅ A ( 2 ) = A ( 6 ) + A ( 2 ) 2X\cdot A(2)=A(6)+A(2) 2 X ⋅ A ( 2 ) = A ( 6 ) + A ( 2 ) det ( A ( 2 ) ) ≠ 0 \det\left(A(2)\right)\ne 0 det ( A ( 2 ) ) = 0 X = 1 2 ( A ( 6 ) + A ( 2 ) ) ⋅ ( A ( 2 ) ) − 1 X=\frac{1}{2}\left(A(6)+A(2)\right)\cdot\left(A(2)\right)^{-1} X = 2 1 ( A ( 6 ) + A ( 2 ) ) ⋅ ( A ( 2 ) ) − 1 2 p ( A ( 2 ) ) − 1 = ( 4 − 1 − 3 1 ) \left(A(2)\right)^{-1}=\begin{pmatrix}4&-1\\-3&1\end{pmatrix} ( A ( 2 ) ) − 1 = ( 4 − 3 − 1 1 ) A ( 6 ) + A ( 2 ) = ( 2 6 18 20 ) A(6)+A(2)=\begin{pmatrix}2&6\\18&20\end{pmatrix} A ( 6 ) + A ( 2 ) = ( 2 18 6 20 ) X = ( − 5 2 6 1 ) X=\begin{pmatrix}-5&2\\6&1\end{pmatrix} X = ( − 5 6 2 1 ) 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricea M ( a ) = ( 2 a a − 1 a + 1 a + 3 ) M(a)=\begin{pmatrix}2a&a-1\\a+1&a+3\end{pmatrix} M ( a ) = ( 2 a a + 1 a − 1 a + 3 ) a a a
II.1.a 5 p Arătați că det ( M ( 2 ) ) = 17 \det\left(M(2)\right)=17 det ( M ( 2 ) ) = 17
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M ( 2 ) = ( 4 1 3 5 ) ⇒ det ( M ( 2 ) ) = ∣ 4 1 3 5 ∣ = 4 ⋅ 5 − 3 ⋅ 1 = M(2)=\begin{pmatrix}4&1\\3&5\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(M(2)\right)=\begin{vmatrix}4&1\\3&5\end{vmatrix}=4\cdot 5-3\cdot 1= M ( 2 ) = ( 4 3 1 5 ) ⇒ det ( M ( 2 ) ) = 4 3 1 5 = 4 ⋅ 5 − 3 ⋅ 1 = 3 p = 20 − 3 = 17 =20-3=17 = 20 − 3 = 17 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că 4 M ( 2 ) − M ( 5 ) = 3 M ( 1 ) 4M(2)-M(5)=3M(1) 4 M ( 2 ) − M ( 5 ) = 3 M ( 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M ( 5 ) = ( 10 4 6 8 ) M(5)=\begin{pmatrix}10&4\\6&8\end{pmatrix} M ( 5 ) = ( 10 6 4 8 ) 4 M ( 2 ) − M ( 5 ) = ( 6 0 6 12 ) = 4M(2)-M(5)=\begin{pmatrix}6&0\\6&12\end{pmatrix}= 4 M ( 2 ) − M ( 5 ) = ( 6 6 0 12 ) = 3 p = 3 ( 2 0 2 4 ) = 3 M ( 1 ) =3\begin{pmatrix}2&0\\2&4\end{pmatrix}=3M(1) = 3 ( 2 2 0 4 ) = 3 M ( 1 ) 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.