Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2026 sesiunea a doua (august) Bacalaureat 2026 la matematică tehnologic: sesiunea a doua (august)
Subiectul oficial tehnologic, sesiunea a doua (august) 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați că 1 5 ⋅ ( 3 + 1 3 ) + 4 3 = 2 \frac{1}{5}\cdot\left(3+\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{3}=2 5 1 ⋅ ( 3 + 3 1 ) + 3 4 = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 1 5 ⋅ ( 3 + 1 3 ) + 4 3 = 1 5 ⋅ 10 3 + 4 3 = \frac{1}{5}\cdot\left(3+\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{3}=\frac{1}{5}\cdot\frac{10}{3}+\frac{4}{3}= 5 1 ⋅ ( 3 + 3 1 ) + 3 4 = 5 1 ⋅ 3 10 + 3 4 = 3 p = 2 3 + 4 3 = 2 =\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2 = 3 2 + 3 4 = 2 2 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 2 x − 3 f(x)=2x-3 f ( x ) = 2 x − 3 a a a f ( a ) − f ( 4 ) = 4 f(a)-f(4)=4 f ( a ) − f ( 4 ) = 4
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 6 a=6 a = 6
Criterii (după barem) f ( 4 ) = 5 f(4)=5 f ( 4 ) = 5 f ( a ) = 2 a − 3 f(a)=2a-3 f ( a ) = 2 a − 3 a a a 3 p 2 a − 3 − 5 = 4 2a-3-5=4 2 a − 3 − 5 = 4 a = 6 a=6 a = 6 2 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 − x = 2 3 + x 2^{1-x}=2^{3+x} 2 1 − x = 2 3 + x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 1 x=-1 x = − 1
Criterii (după barem) 1 − x = 3 + x 1-x=3+x 1 − x = 3 + x 3 p x = − 1 x=-1 x = − 1 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p După o scumpire cu 20 % 20\% 20% 48 48 48
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 40 40 40
Criterii (după barem) x + 20 100 ⋅ x = 48 x+\frac{20}{100}\cdot x=48 x + 100 20 ⋅ x = 48 x x x 3 p x = 40 x=40 x = 40 2 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 2 , 5 ) A(2,5) A ( 2 , 5 ) B ( 6 , 8 ) B(6,8) B ( 6 , 8 ) O B = 2 A B OB=2AB OB = 2 A B
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) O B = 10 OB=10 OB = 10 2 p A B = 5 AB=5 A B = 5 O B = 2 ⋅ 5 = 2 A B OB=2\cdot 5=2AB OB = 2 ⋅ 5 = 2 A B 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 4 AB=4 A B = 4 B C = 6 BC=6 BC = 6 A B C ABC A BC 4 5 4\sqrt{5} 4 5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A C = 2 5 AC=2\sqrt{5} A C = 2 5 3 p A Δ A B C = A B ⋅ A C 2 = 4 ⋅ 2 5 2 = 4 5 \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 2\sqrt{5}}{2}=4\sqrt{5} A Δ A BC = 2 A B ⋅ A C = 2 4 ⋅ 2 5 = 4 5 2 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a − 1 3 a − 3 3 a − 2 ) A(a)=\begin{pmatrix}1&a-1\\3a-3&3a-2\end{pmatrix} A ( a ) = ( 1 3 a − 3 a − 1 3 a − 2 ) a a a
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 1 \det\left(A(2)\right)=1 det ( A ( 2 ) ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 2 ) = ( 1 1 3 4 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = ∣ 1 1 3 4 ∣ = 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 = A(2)=\begin{pmatrix}1&1\\3&4\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(2)\right)=\begin{vmatrix}1&1\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot 4-1\cdot 3= A ( 2 ) = ( 1 3 1 4 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = 1 3 1 4 = 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 3 = 3 p = 4 − 3 = 1 =4-3=1 = 4 − 3 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = 3 A ( 3 ) 2A(2)+A(5)=3A(3) 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = 3 A ( 3 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 5 ) = ( 1 4 12 13 ) A(5)=\begin{pmatrix}1&4\\12&13\end{pmatrix} A ( 5 ) = ( 1 12 4 13 ) 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = ( 3 6 18 21 ) = 2A(2)+A(5)=\begin{pmatrix}3&6\\18&21\end{pmatrix}= 2 A ( 2 ) + A ( 5 ) = ( 3 18 6 21 ) = 3 p = 3 ( 1 2 6 7 ) = 3 A ( 3 ) =3\begin{pmatrix}1&2\\6&7\end{pmatrix}=3A(3) = 3 ( 1 6 2 7 ) = 3 A ( 3 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați matricea X ∈ M 2 ( R ) X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) X ∈ M 2 ( R ) 2 X ⋅ A ( 2 ) − A ( 2 ) = A ( 6 ) 2X\cdot A(2)-A(2)=A(6) 2 X ⋅ A ( 2 ) − A ( 2 ) = A ( 6 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: X = ( − 5 2 6 1 ) X=\begin{pmatrix}-5&2\\6&1\end{pmatrix} X = ( − 5 6 2 1 )
Criterii (după barem) 2 X ⋅ A ( 2 ) = A ( 6 ) + A ( 2 ) 2X\cdot A(2)=A(6)+A(2) 2 X ⋅ A ( 2 ) = A ( 6 ) + A ( 2 ) det ( A ( 2 ) ) ≠ 0 \det\left(A(2)\right)\ne 0 det ( A ( 2 ) ) = 0 X = 1 2 ( A ( 6 ) + A ( 2 ) ) ⋅ ( A ( 2 ) ) − 1 X=\frac{1}{2}\left(A(6)+A(2)\right)\cdot\left(A(2)\right)^{-1} X = 2 1 ( A ( 6 ) + A ( 2 ) ) ⋅ ( A ( 2 ) ) − 1 2 p ( A ( 2 ) ) − 1 = ( 4 − 1 − 3 1 ) \left(A(2)\right)^{-1}=\begin{pmatrix}4&-1\\-3&1\end{pmatrix} ( A ( 2 ) ) − 1 = ( 4 − 3 − 1 1 ) A ( 6 ) + A ( 2 ) = ( 2 6 18 20 ) A(6)+A(2)=\begin{pmatrix}2&6\\18&20\end{pmatrix} A ( 6 ) + A ( 2 ) = ( 2 18 6 20 ) X = ( − 5 2 6 1 ) X=\begin{pmatrix}-5&2\\6&1\end{pmatrix} X = ( − 5 6 2 1 ) 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + m f=X^3-3X^2-2X+m f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + m m m m
II.2.a 5 p Pentru m = 9 m=9 m = 9 f ( − 1 ) = 7 f(-1)=7 f ( − 1 ) = 7
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 9 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 3 ⋅ ( − 1 ) 2 − 2 ( − 1 ) + 9 = f=X^3-3X^2-2X+9\Rightarrow f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2-2(-1)+9= f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 9 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 3 ⋅ ( − 1 ) 2 − 2 ( − 1 ) + 9 = 3 p = − 1 − 3 + 2 + 9 = 7 =-1-3+2+9=7 = − 1 − 3 + 2 + 9 = 7 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real m m m 2 2 2 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 8 m=8 m = 8
Criterii (după barem) f ( 2 ) = − 8 + m f(2)=-8+m f ( 2 ) = − 8 + m m m m 3 p − 8 + m = 0 -8+m=0 − 8 + m = 0 m = 8 m=8 m = 8 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Știind că restul împărțirii polinomului f f f g = X − 4 g=X-4 g = X − 4 14 14 14 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x 1 = 3 x_1=3 x 1 = 3 x 2 = − 2 x_2=-\sqrt{2} x 2 = − 2 x 3 = 2 x_3=\sqrt{2} x 3 = 2
Criterii (după barem) f ( 4 ) = 14 f(4)=14 f ( 4 ) = 14 m = 6 m=6 m = 6 f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 6 = ( X − 3 ) ( X 2 − 2 ) f=X^3-3X^2-2X+6=(X-3)\left(X^2-2\right) f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 6 = ( X − 3 ) ( X 2 − 2 ) 2 p Rădăcinile polinomului f f f x 1 = 3 x_1=3 x 1 = 3 x 2 = − 2 x_2=-\sqrt{2} x 2 = − 2 x 3 = 2 x_3=\sqrt{2} x 3 = 2 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
Se consideră funcția f : ( − 3 , + ∞ ) → R f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 3 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 − 5 x + 3 f(x)=\frac{x^2-5}{x+3} f ( x ) = x + 3 x 2 − 5
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = x 2 + 6 x + 5 ( x + 3 ) 2 f'(x)=\frac{x^2+6x+5}{(x+3)^2} f ′ ( x ) = ( x + 3 ) 2 x 2 + 6 x + 5 x ∈ ( − 3 , + ∞ ) x\in(-3,+\infty) x ∈ ( − 3 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = ( x 2 − 5 ) ′ ⋅ ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ ( x + 3 ) ′ ( x + 3 ) 2 = f'(x)=\frac{\left(x^2-5\right)'\cdot(x+3)-\left(x^2-5\right)\cdot(x+3)'}{(x+3)^2}= f ′ ( x ) = ( x + 3 ) 2 ( x 2 − 5 ) ′ ⋅ ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ ( x + 3 ) ′ = 2 p = 2 x ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ 1 ( x + 3 ) 2 = x 2 + 6 x + 5 ( x + 3 ) 2 =\frac{2x(x+3)-\left(x^2-5\right)\cdot 1}{(x+3)^2}=\frac{x^2+6x+5}{(x+3)^2} = ( x + 3 ) 2 2 x ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ 1 = ( x + 3 ) 2 x 2 + 6 x + 5 x ∈ ( − 3 , + ∞ ) x\in(-3,+\infty) x ∈ ( − 3 , + ∞ ) 3 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = − 1 x=-1 x = − 1 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = − 2 y=-2 y = − 2
Criterii (după barem) f ( − 1 ) = − 2 f(-1)=-2 f ( − 1 ) = − 2 f ′ ( − 1 ) = 0 f'(-1)=0 f ′ ( − 1 ) = 0 2 p Ecuația tangentei este y − f ( − 1 ) = f ′ ( − 1 ) ( x + 1 ) y-f(-1)=f'(-1)(x+1) y − f ( − 1 ) = f ′ ( − 1 ) ( x + 1 ) y = − 2 y=-2 y = − 2 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = x − 3 y=x-3 y = x − 3
Criterii (după barem) lim x → + ∞ f ( x ) x = lim x → + ∞ x 2 − 5 x ( x + 3 ) = lim x → + ∞ 1 − 5 x 2 1 + 3 x = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2-5}{x(x+3)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{5}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}=1 x → + ∞ lim x f ( x ) = x → + ∞ lim x ( x + 3 ) x 2 − 5 = x → + ∞ lim 1 + x 3 1 − x 2 5 = 1 2 p lim x → + ∞ ( f ( x ) − x ) = lim x → + ∞ − 5 − 3 x x + 3 = lim x → + ∞ − 5 x − 3 1 + 3 x = − 3 \lim\limits_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{-5-3x}{x+3}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{-\frac{5}{x}-3}{1+\frac{3}{x}}=-3 x → + ∞ lim ( f ( x ) − x ) = x → + ∞ lim x + 3 − 5 − 3 x = x → + ∞ lim 1 + x 3 − x 5 − 3 = − 3 y = x − 3 y=x-3 y = x − 3 f f f 3 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( − 2 , + ∞ ) → R f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 2 , + ∞ ) → R f ( x ) = e x x + 2 f(x)=\frac{e^x}{x+2} f ( x ) = x + 2 e x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = e − 1 \int_0^1(x+2)\cdot f(x)\,dx=e-1 ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = e − 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = ∫ 0 1 e x d x = e x ∣ 0 1 = \int_0^1(x+2)\cdot f(x)\,dx=\int_0^1 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^1= ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = ∫ 0 1 e x d x = e x ∣ 0 1 = 3 p = e 1 − e 0 = e − 1 =e^1-e^0=e-1 = e 1 − e 0 = e − 1 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 0 6 f ( x ) e x d x = 2 ln 2 \int_0^6\frac{f(x)}{e^x}\,dx=2\ln 2 ∫ 0 6 e x f ( x ) d x = 2 ln 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 6 f ( x ) e x d x = ∫ 0 6 ( x + 2 ) ′ x + 2 d x = ln ( x + 2 ) ∣ 0 6 = \int_0^6\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^6\frac{(x+2)'}{x+2}\,dx=\left.\ln(x+2)\right|_0^6= ∫ 0 6 e x f ( x ) d x = ∫ 0 6 x + 2 ( x + 2 ) ′ d x = ln ( x + 2 ) ∣ 0 6 = 3 p = ln 8 − ln 2 = 2 ln 2 =\ln 8-\ln 2=2\ln 2 = ln 8 − ln 2 = 2 ln 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați numărul real a a a ∫ 0 1 ( a − 1 f ( x ) ) d x = 4 e \int_0^1\left(a-\frac{1}{f(x)}\right)dx=\frac{4}{e} ∫ 0 1 ( a − f ( x ) 1 ) d x = e 4
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) ∫ 0 1 ( a − 1 f ( x ) ) d x = a x ∣ 0 1 − ∫ 0 1 ( x + 2 ) e − x d x = a − ∫ 0 1 ( x + 2 ) ( − e − x ) ′ d x = a + ( x + 2 ) e − x ∣ 0 1 + e − x ∣ 0 1 = \int_0^1\left(a-\frac{1}{f(x)}\right)dx=\left.ax\right|_0^1-\int_0^1(x+2)e^{-x}\,dx=a-\int_0^1(x+2)\left(-e^{-x}\right)'\,dx=a+\left.(x+2)e^{-x}\right|_0^1+\left.e^{-x}\right|_0^1= ∫ 0 1 ( a − f ( x ) 1 ) d x = a x ∣ 0 1 − ∫ 0 1 ( x + 2 ) e − x d x = a − ∫ 0 1 ( x + 2 ) ( − e − x ) ′ d x = a + ( x + 2 ) e − x ∣ 0 1 + e − x ∣ 0 1 = 3 p = a − 3 + 4 e =a-3+\frac{4}{e} = a − 3 + e 4 a − 3 + 4 e = 4 e a-3+\frac{4}{e}=\frac{4}{e} a − 3 + e 4 = e 4 a = 3 a=3 a = 3 2 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.