Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2026 modelul oficial Bacalaureat 2026 la matematică tehnologic: modelul oficial
Subiectul oficial tehnologic, modelul oficial 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Modelul 2027 apare aici →
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați 1 / 4 + 3 ( 3 / 2 − 1 / 4 ) = 4 1/4+3(3/2-1/4)=4 1/4 + 3 ( 3/2 − 1/4 ) = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Paranteza este 6 / 4 − 1 / 4 = 5 / 4 6/4-1/4=5/4 6/4 − 1/4 = 5/4 3 p 1 / 4 + 15 / 4 = 16 / 4 = 4 1/4+15/4=16/4=4 1/4 + 15/4 = 16/4 = 4 2 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p f ( x ) = 4 x − 9 f(x)=4x-9 f ( x ) = 4 x − 9 a a a f ( a ) = a f(a)=a f ( a ) = a
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) Ecuația este 4 a − 9 = a 4a-9=a 4 a − 9 = a 2 p 3 a = 9 3a=9 3 a = 9 a = 3 a=3 a = 3 3 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați 2 x − 1 = x \sqrt{2x-1}=x 2 x − 1 = x R \mathbb R R
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) Domeniul cere x ≥ 1 / 2 x\ge1/2 x ≥ 1/2 3 p Prin pătrare 2 x − 1 = x 2 2x-1=x^2 2 x − 1 = x 2 ( x − 1 ) 2 = 0 (x-1)^2=0 ( x − 1 ) 2 = 0 x = 1 x=1 x = 1 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Alegi uniform n ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } n\in\{1,2,3,4,5,6,7,8\} n ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } n ( n + 1 ) n(n+1) n ( n + 1 ) 10 10 10
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 1 / 4 1/4 1/4
Criterii (după barem) Produsul consecutivilor este par. Trebuie ca n sau n+1 să fie divizibil cu 5 5 5 2 p Sunt două cazuri din opt, deci p = 1 / 4 p=1/4 p = 1/4 3 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p A ( 6 , 8 ) A(6,8) A ( 6 , 8 ) B ( 8 , 4 ) B(8,4) B ( 8 , 4 ) M M M O A OA O A O B M OBM OBM
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M ( 3 , 4 ) M(3,4) M ( 3 , 4 ) O M = 9 + 16 = 5 OM=\sqrt{9+16}=5 OM = 9 + 16 = 5 3 p M B = ( 8 − 3 ) 2 + ( 4 − 4 ) 2 = 5 MB=\sqrt{(8-3)^2+(4-4)^2}=5 MB = ( 8 − 3 ) 2 + ( 4 − 4 ) 2 = 5 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p A B C ABC A BC A A A A C = 6 = 3 A B AC=6=3AB A C = 6 = 3 A B B C = 2 10 BC=2\sqrt{10} BC = 2 10
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A B = 6 / 3 = 2 AB=6/3=2 A B = 6/3 = 2 2 p Prin Pitagora B C = 6 2 + 2 2 = 40 = 2 10 BC=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} BC = 6 2 + 2 2 = 40 = 2 10 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
M ( a ) = ( a + 1 4 − 1 a − 4 ) M(a)=\begin{pmatrix}a+1&4\\-1&a-4\end{pmatrix} M ( a ) = ( a + 1 − 1 4 a − 4 ) a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.a 5 p Arătați det M ( 0 ) = 0 \det M(0)=0 det M ( 0 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M ( 0 ) = ( 1 4 − 1 − 4 ) M(0)=\begin{pmatrix}1&4\\-1&-4\end{pmatrix} M ( 0 ) = ( 1 − 1 4 − 4 ) 3 p det M ( 0 ) = − 4 + 4 = 0 \det M(0)=-4+4=0 det M ( 0 ) = − 4 + 4 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = 3 M ( 1 ) M(3)+2M(0)=3M(1) M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = 3 M ( 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = ( 6 12 − 3 − 9 ) M(3)+2M(0)=\begin{pmatrix}6&12\\-3&-9\end{pmatrix} M ( 3 ) + 2 M ( 0 ) = ( 6 − 3 12 − 9 ) 3 p 3 M ( 1 ) = 3 ( 2 4 − 1 − 3 ) 3M(1)=3\begin{pmatrix}2&4\\-1&-3\end{pmatrix} 3 M ( 1 ) = 3 ( 2 − 1 4 − 3 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați a a a M ( a ) M ( 0 ) = 3 M ( 0 ) M(a)M(0)=3M(0) M ( a ) M ( 0 ) = 3 M ( 0 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 6 a=6 a = 6
Criterii (după barem) M ( a ) = M ( 0 ) + a I 2 M(a)=M(0)+aI_2 M ( a ) = M ( 0 ) + a I 2 M ( 0 ) 2 = − 3 M ( 0 ) M(0)^2=-3M(0) M ( 0 ) 2 = − 3 M ( 0 ) 3 p Ecuația devine ( a − 3 ) M ( 0 ) = 3 M ( 0 ) (a-3)M(0)=3M(0) ( a − 3 ) M ( 0 ) = 3 M ( 0 ) a − 3 = 3 a-3=3 a − 3 = 3 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∘ y = x y + 4 ( x + y ) x\circ y=xy+4(x+y) x ∘ y = x y + 4 ( x + y )
II.2.a 5 p Arătați 1 ∘ 2 = 14 1\circ2=14 1 ∘ 2 = 14
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calculează 1 ⋅ 2 + 4 ( 1 + 2 ) 1\cdot2+4(1+2) 1 ⋅ 2 + 4 ( 1 + 2 ) 3 p 2 + 12 = 14 2+12=14 2 + 12 = 14 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x x x x ∘ 3 = x x\circ3=x x ∘ 3 = x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 2 x=-2 x = − 2
Criterii (după barem) x ∘ 3 = 3 x + 4 x + 12 = 7 x + 12 x\circ3=3x+4x+12=7x+12 x ∘ 3 = 3 x + 4 x + 12 = 7 x + 12 3 p 7 x + 12 = x 7x+12=x 7 x + 12 = x 6 x = − 12 6x=-12 6 x = − 12 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R 2 x ∘ 4 = 2 x + 4 2^x\circ4=2^{x+4} 2 x ∘ 4 = 2 x + 4
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) Notând t=2^x>0, stânga este 4 t + 4 ( t + 4 ) = 8 t + 16 4t+4(t+4)=8t+16 4 t + 4 ( t + 4 ) = 8 t + 16 16 t 16t 16 t 2 p t = 2 t=2 t = 2 2 x = 2 2^x=2 2 x = 2 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 1 / ( x 2 + 4 x + 5 ) f(x)=1/(x^2+4x+5) f ( x ) = 1/ ( x 2 + 4 x + 5 )
III.1.a 5 p Arătați f ′ ( x ) = − 2 ( x + 2 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 f\prime(x)=-2(x+2)/(x^2+4x+5)^2 f ′ ( x ) = − 2 ( x + 2 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Folosește derivata reciprocei: − ( 2 x + 4 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 -(2x+4)/(x^2+4x+5)^2 − ( 2 x + 4 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 2 p Scoate factorul 2 2 2 − 2 ( x + 2 ) -2(x+2) − 2 ( x + 2 ) 3 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Arătați lim x → + ∞ ( x 2 − 1 ) f ( x ) = 1 \lim_{x\to+\infty}(x^2-1)f(x)=1 lim x → + ∞ ( x 2 − 1 ) f ( x ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Raportul este ( x 2 − 1 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) (x^2-1)/(x^2+4x+5) ( x 2 − 1 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) 3 p Împarte prin x²: ( 1 − 1 / x 2 ) / ( 1 + 4 / x + 5 / x 2 ) → 1 (1-1/x^2)/(1+4/x+5/x^2)\to1 ( 1 − 1/ x 2 ) / ( 1 + 4/ x + 5/ x 2 ) → 1 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 2 5f(x)+f(-x)\le2 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 2 x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Pentru x≥0, x 2 + 4 x + 5 ≥ 5 x^2+4x+5\ge5 x 2 + 4 x + 5 ≥ 5 f ( x ) ≤ 1 / 5 f(x)\le1/5 f ( x ) ≤ 1/5 f ( − x ) = 1 / ( ( x − 2 ) 2 + 1 ) ≤ 1 f(-x)=1/((x-2)^2+1)\le1 f ( − x ) = 1/ (( x − 2 ) 2 + 1 ) ≤ 1 2 p Adunând, 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 1 + 1 = 2 5f(x)+f(-x)\le1+1=2 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 1 + 1 = 2 3 p Semnalează o greșeală
III.2
f ( x ) = 5 x 2 + 2 x + 1 f(x)=5x^2+2x+1 f ( x ) = 5 x 2 + 2 x + 1 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.2.a 5 p Arătați ∫ 0 1 ( f ( x ) − 2 x ) d x = 8 / 3 \int_0^1(f(x)-2x)\,dx=8/3 ∫ 0 1 ( f ( x ) − 2 x ) d x = 8/3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul este 5 x 2 + 1 5x^2+1 5 x 2 + 1 5 x 3 / 3 + x 5x^3/3+x 5 x 3 /3 + x 3 p La 1 și 0 diferența este 5 / 3 + 1 = 8 / 3 5/3+1=8/3 5/3 + 1 = 8/3 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați ∫ 0 2 d x / ( f ( x ) − 5 x 2 ) = ln 5 / 2 \int_0^2dx/(f(x)-5x^2)=\ln5/2 ∫ 0 2 d x / ( f ( x ) − 5 x 2 ) = ln 5/2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Numitorul se reduce la 2 x + 1 2x+1 2 x + 1 ( 1 / 2 ) ln ( 2 x + 1 ) (1/2)\ln(2x+1) ( 1/2 ) ln ( 2 x + 1 ) 3 p Evaluarea dă ( ln 5 − ln 1 ) / 2 = ln 5 / 2 (\ln5-\ln1)/2=\ln5/2 ( ln 5 − ln 1 ) /2 = ln 5/2 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați primitiva G G G g ( x ) = ( f ( x ) − 2 x ) / x g(x)=(f(x)-2x)/\sqrt x g ( x ) = ( f ( x ) − 2 x ) / x x > 0 x>0 x > 0 G ( 1 ) = 5 G(1)=5 G ( 1 ) = 5
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: G ( x ) = 2 x 5 / 2 + 2 x + 1 G(x)=2x^{5/2}+2\sqrt x+1 G ( x ) = 2 x 5/2 + 2 x + 1
Criterii (după barem) g ( x ) = 5 x 3 / 2 + x − 1 / 2 g(x)=5x^{3/2}+x^{-1/2} g ( x ) = 5 x 3/2 + x − 1/2 G ( x ) = 2 x 5 / 2 + 2 x + C G(x)=2x^{5/2}+2\sqrt x+C G ( x ) = 2 x 5/2 + 2 x + C 3 p G ( 1 ) = 4 + C = 5 G(1)=4+C=5 G ( 1 ) = 4 + C = 5 C = 1 C=1 C = 1 2 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.