Bacalaureat 2026 la matematică tehnologic: varianta de rezervă

Subiectul oficial tehnologic, varianta de rezervă 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 3⋅(2,9−1,7)+0,4=43\cdot(2{,}9-1{,}7)+0{,}4=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 3⋅(2,9−1,7)+0,4=3⋅1,2+0,4=3\cdot(2{,}9-1{,}7)+0{,}4=3\cdot 1{,}2+0{,}4=2 p
  2. =3,6+0,4=4=3{,}6+0{,}4=43 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1f(x)=2x-1. Determinați numărul real mm pentru care f(0)+f(m)=0f(0)+f(m)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=1m=1

Criterii (după barem)

  1. f(0)=−1f(0)=-1, f(m)=2m−1f(m)=2m-1, pentru orice număr real mm3 p
  2. −1+2m−1=0-1+2m-1=0, de unde obținem m=1m=12 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+6=6\sqrt{3x+6}=6.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=10x=10

Criterii (după barem)

  1. 3x+6=363x+6=363 p
  2. x=10x=10, care convine2 p

I.45 p

Prețul unui obiect este de 500500 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 30%30\%.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 650650 de lei

Criterii (după barem)

  1. 30100⋅500=150\frac{30}{100}\cdot 500=1503 p
  2. Prețul obiectului după scumpire este 500+150=650500+150=650 de lei2 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(0,4)M(0,4), N(2,8)N(2,8) și P(4,0)P(4,0). Determinați distanța dintre mijlocul segmentului MPMP și punctul NN.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: QN=6QN=6

Criterii (după barem)

  1. Mijlocul segmentului MPMP este punctul Q(2,2)Q(2,2)2 p
  2. QN=6QN=63 p

I.65 p

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu BC=10BC=10 și 2BC=5AB2BC=5AB. Arătați că AC=221AC=2\sqrt{21}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. AB=4AB=43 p
  2. AC2=102−42=84AC^2=10^2-4^2=84, de unde obținem AC=221AC=2\sqrt{21}2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(xx−1x+1x+1)A(x)=\begin{pmatrix}x&x-1\\x+1&x+1\end{pmatrix}, unde xx este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(1))=2\det\left(A(1)\right)=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(1)=(1022)⇒det⁡(A(1))=∣1022∣=1⋅2−0⋅2=A(1)=\begin{pmatrix}1&0\\2&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(1)\right)=\begin{vmatrix}1&0\\2&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-0\cdot 2=3 p
  2. =2−0=2=2-0=22 p

II.1.b5 p

Arătați că 2A(1)+A(7)=3A(3)2A(1)+A(7)=3A(3).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(7)=(7688)A(7)=\begin{pmatrix}7&6\\8&8\end{pmatrix}, 2A(1)+A(7)=(961212)=2A(1)+A(7)=\begin{pmatrix}9&6\\12&12\end{pmatrix}=3 p
  2. =3(3244)=3A(3)=3\begin{pmatrix}3&2\\4&4\end{pmatrix}=3A(3)2 p

II.1.c5 p

Determinați numerele reale xx și yy pentru care (A(x)−(2x+1)I2)⋅A(2)=yI2\left(A(x)-(2x+1)I_2\right)\cdot A(2)=yI_2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2 și y=−3y=-3

Criterii (după barem)

  1. A(x)−(2x+1)I2=(−x−1x−1x+1−x)A(x)-(2x+1)I_2=\begin{pmatrix}-x-1&x-1\\x+1&-x\end{pmatrix}, (A(x)−(2x+1)I2)⋅A(2)=(x−52x−4−x+2−2x+1)\left(A(x)-(2x+1)I_2\right)\cdot A(2)=\begin{pmatrix}x-5&2x-4\\-x+2&-2x+1\end{pmatrix}, pentru orice număr real xx3 p
  2. (x−52x−4−x+2−2x+1)=(y00y)\begin{pmatrix}x-5&2x-4\\-x+2&-2x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y&0\\0&y\end{pmatrix}, de unde obținem x=2x=2 și y=−3y=-32 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−xy+1x*y=x+y-xy+1.

II.2.a5 p

Arătați că 2∗3=02*3=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 2∗3=2+3−2⋅3+1=2*3=2+3-2\cdot 3+1=3 p
  2. =2+3−6+1=0=2+3-6+1=02 p

II.2.b5 p

Determinați numărul real xx pentru care x∗5=10x*5=10.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−1x=-1

Criterii (după barem)

  1. x∗5=−4x+6x*5=-4x+6, pentru orice număr real xx3 p
  2. −4x+6=10-4x+6=10, de unde obținem x=−1x=-12 p

II.2.c5 p

Determinați numerele naturale nenule nn pentru care numărul N=3n∗(3+n)N=\frac{3}{n}*(3+n) este natural.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n=2n=2, n=3n=3 și n=6n=6

Criterii (după barem)

  1. N=3n∗(3+n)=−6n+n+1N=\frac{3}{n}*(3+n)=-\frac{6}{n}+n+1, pentru orice număr natural nenul nn2 p
  2. NN și nn sunt numere naturale, de unde obținem n=2n=2, n=3n=3 și n=6n=63 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x−1+3ln⁡xf(x)=\frac{3}{x}-1+3\ln x.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=3(x−1)x2f'(x)=\frac{3(x-1)}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=3(−1x2)+3⋅1x=f'(x)=3\left(-\frac{1}{x^2}\right)+3\cdot\frac{1}{x}=3 p
  2. =3x−3x2=3(x−1)x2=\frac{3x-3}{x^2}=\frac{3(x-1)}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)2 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)x=0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞f′(x)x′=lim⁡x→+∞3(x−1)x2=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{x'}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{3(x-1)}{x^2}=3 p
  2. =lim⁡x→+∞3(1x−1x2)=0=\lim\limits_{x\to+\infty}3\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)=02 p

III.1.c5 p

Demonstrați că ln⁡x≥1−1x\ln x\ge 1-\frac{1}{x}, pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=1f'(x)=0\Leftrightarrow x=1; pentru orice x∈(0,1]x\in(0,1], f′(x)≤0f'(x)\le 0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0,1] și, pentru orice x∈[1,+∞)x\in[1,+\infty), f′(x)≥0f'(x)\ge 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1,+\infty)2 p
  2. f(x)≥f(1)f(x)\ge f(1), pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty) și, cum f(1)=2f(1)=2, obținem f(x)≥2f(x)\ge 2, deci ln⁡x≥1−1x\ln x\ge 1-\frac{1}{x}, pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)3 p

III.2

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=4x+3−6xf(x)=4x+3-6\sqrt{x}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫12(f(x)−3+6x)dx=6\int_1^2\left(f(x)-3+6\sqrt{x}\right)dx=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫12(f(x)−3+6x)dx=∫124x dx=2x2∣12=\int_1^2\left(f(x)-3+6\sqrt{x}\right)dx=\int_1^2 4x\,dx=\left.2x^2\right|_1^2=3 p
  2. =8−2=6=8-2=62 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫144x−f(x)x dx=12\int_1^4\frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫144x−f(x)x dx=∫14−3+6xx dx=∫14(−3x+6)dx=−6x∣14+6x∣14=\int_1^4\frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=\int_1^4\frac{-3+6\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx=\int_1^4\left(\frac{-3}{\sqrt{x}}+6\right)dx=\left.-6\sqrt{x}\right|_1^4+\left.6x\right|_1^4=3 p
  2. =−6+18=12=-6+18=122 p

III.2.c5 p

Demonstrați că orice primitivă G:(0,+∞)→RG:(0,+\infty)\to\mathbb{R} a funcției g:(0,+∞)→Rg:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)⋅xg(x)=f(x)\cdot\sqrt{x} este convexă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. G′(x)=g(x)G'(x)=g(x), x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty); G′′(x)=g′(x)=4x+(4x+3)⋅12x−6=G''(x)=g'(x)=4\sqrt{x}+(4x+3)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-6=3 p
  2. =12x−12x+32x=3(2x−1)22x≥0=\frac{12x-12\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}}=\frac{3\left(2\sqrt{x}-1\right)^2}{2\sqrt{x}}\ge 0, pentru orice x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty), de unde rezultă că GG este convexă2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică tehnologic.