Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic Pe teme Derivate, monotonie, extreme și tangente Derivate, monotonie, extreme și tangente: Matematică tehnologic la Bacalaureat
68 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
III.1
f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 1 / ( x 2 + 4 x + 5 ) f(x)=1/(x^2+4x+5) f ( x ) = 1/ ( x 2 + 4 x + 5 )
III.1.a 5 p Arătați f ′ ( x ) = − 2 ( x + 2 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 f\prime(x)=-2(x+2)/(x^2+4x+5)^2 f ′ ( x ) = − 2 ( x + 2 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Folosește derivata reciprocei: − ( 2 x + 4 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 -(2x+4)/(x^2+4x+5)^2 − ( 2 x + 4 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) 2 2 p Scoate factorul 2 2 2 − 2 ( x + 2 ) -2(x+2) − 2 ( x + 2 ) 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 2 5f(x)+f(-x)\le2 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 2 x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Pentru x≥0, x 2 + 4 x + 5 ≥ 5 x^2+4x+5\ge5 x 2 + 4 x + 5 ≥ 5 f ( x ) ≤ 1 / 5 f(x)\le1/5 f ( x ) ≤ 1/5 f ( − x ) = 1 / ( ( x − 2 ) 2 + 1 ) ≤ 1 f(-x)=1/((x-2)^2+1)\le1 f ( − x ) = 1/ (( x − 2 ) 2 + 1 ) ≤ 1 2 p Adunând, 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 1 + 1 = 2 5f(x)+f(-x)\le1+1=2 5 f ( x ) + f ( − x ) ≤ 1 + 1 = 2 3 p Semnalează o greșeală
III.1
f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( x 2 − 3 ) / x 3 f(x)=(x^2-3)/x^3 f ( x ) = ( x 2 − 3 ) / x 3
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = ( 9 − x 2 ) / x 4 f\prime(x)=(9-x^2)/x^4 f ′ ( x ) = ( 9 − x 2 ) / x 4 x > 0 x>0 x > 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Scrie f ( x ) = x − 1 − 3 x − 3 f(x)=x^{-1}-3x^{-3} f ( x ) = x − 1 − 3 x − 3 3 p Derivata este − x − 2 + 9 x − 4 = ( 9 − x 2 ) / x 4 -x^{-2}+9x^{-4}=(9-x^2)/x^4 − x − 2 + 9 x − 4 = ( 9 − x 2 ) / x 4 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați tangenta la grafic în punctul de abscisă 1 1 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 8 x − 10 y=8x-10 y = 8 x − 10
Criterii (după barem) f ( 1 ) = − 2 f(1)=-2 f ( 1 ) = − 2 f ′ ( 1 ) = 8 f\prime(1)=8 f ′ ( 1 ) = 8 2 p y + 2 = 8 ( x − 1 ) y+2=8(x-1) y + 2 = 8 ( x − 1 ) y = 8 x − 10 y=8x-10 y = 8 x − 10 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați 9 f ( 2 x ) − f ( x ) ≤ 4 9f(2x)-f(x)\le4 9 f ( 2 x ) − f ( x ) ≤ 4 x ∈ [ 1 , 2 ] x\in[1,2] x ∈ [ 1 , 2 ]
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivata este pozitivă până la 3 3 3 3 3 3 f ( t ) ≤ f ( 3 ) = 2 / 9 f(t)\le f(3)=2/9 f ( t ) ≤ f ( 3 ) = 2/9 [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ] f ( x ) ≥ f ( 1 ) = − 2 f(x)\ge f(1)=-2 f ( x ) ≥ f ( 1 ) = − 2 2 p Astfel 9 f ( 2 x ) − f ( x ) ≤ 9 ⋅ 2 / 9 + 2 = 4 9f(2x)-f(x)\le9\cdot2/9+2=4 9 f ( 2 x ) − f ( x ) ≤ 9 ⋅ 2/9 + 2 = 4 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 2 x + 1 x 2 + 6 f(x)=\frac{2x+1}{x^2+6} f ( x ) = x 2 + 6 2 x + 1
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 2 ( x + 3 ) ( 2 − x ) ( x 2 + 6 ) 2 f'(x)=\frac{2(x+3)(2-x)}{\left(x^2+6\right)^2} f ′ ( x ) = ( x 2 + 6 ) 2 2 ( x + 3 ) ( 2 − x ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 2 ( x 2 + 6 ) − ( 2 x + 1 ) ⋅ 2 x ( x 2 + 6 ) 2 = f'(x)=\frac{2\left(x^2+6\right)-(2x+1)\cdot 2x}{\left(x^2+6\right)^2}= f ′ ( x ) = ( x 2 + 6 ) 2 2 ( x 2 + 6 ) − ( 2 x + 1 ) ⋅ 2 x = 3 p = − 2 x 2 − 2 x + 12 ( x 2 + 6 ) 2 = 2 ( x + 3 ) ( 2 − x ) ( x 2 + 6 ) 2 =\frac{-2x^2-2x+12}{\left(x^2+6\right)^2}=\frac{2(x+3)(2-x)}{\left(x^2+6\right)^2} = ( x 2 + 6 ) 2 − 2 x 2 − 2 x + 12 = ( x 2 + 6 ) 2 2 ( x + 3 ) ( 2 − x ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați numerele reale a a a f f f x = a x=a x = a f f f 0 0 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = − 3 a=-3 a = − 3 a = 2 a=2 a = 2
Criterii (după barem) Tangenta la graficul funcției f f f x = a x=a x = a f f f 0 ⇔ f ′ ( a ) = 0 0\Leftrightarrow f'(a)=0 0 ⇔ f ′ ( a ) = 0 2 p 2 ( a + 3 ) ( 2 − a ) ( a 2 + 6 ) 2 = 0 ⇔ a = − 3 \frac{2(a+3)(2-a)}{\left(a^2+6\right)^2}=0\Leftrightarrow a=-3 ( a 2 + 6 ) 2 2 ( a + 3 ) ( 2 − a ) = 0 ⇔ a = − 3 a = 2 a=2 a = 2 3 p Semnalează o greșeală
III.1
f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 − 1 f(x)=3x^4-4x^3-12x^2-1 f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 − 1
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 12 x ( x + 1 ) ( x − 2 ) f\prime(x)=12x(x+1)(x-2) f ′ ( x ) = 12 x ( x + 1 ) ( x − 2 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivează: f ′ ( x ) = 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x f\prime(x)=12x^3-12x^2-24x f ′ ( x ) = 12 x 3 − 12 x 2 − 24 x 3 p Scoate 12 x 12x 12 x x 2 − x − 2 = ( x + 1 ) ( x − 2 ) x^2-x-2=(x+1)(x-2) x 2 − x − 2 = ( x + 1 ) ( x − 2 ) 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați tangenta la grafic în punctul de abscisă 0 0 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = − 1 y=-1 y = − 1
Criterii (după barem) f ( 0 ) = − 1 f(0)=-1 f ( 0 ) = − 1 f ′ ( 0 ) = 0 f\prime(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 2 p Tangenta are ecuația y = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x = − 1 y=f(0)+f\prime(0)x=-1 y = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x = − 1 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați 3 x 4 + 5 ≥ 4 x 3 + 12 x 2 3x^4+5\ge4x^3+12x^2 3 x 4 + 5 ≥ 4 x 3 + 12 x 2 x ≤ 0 x\le0 x ≤ 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivata este negativă pe ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( − ∞ , 0 ] (-\infty,0] ( − ∞ , 0 ] f ( − 1 ) = − 6 f(-1)=-6 f ( − 1 ) = − 6 3 p Din f ( x ) ≥ − 6 f(x)\ge-6 f ( x ) ≥ − 6 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 5 ≥ 0 3x^4-4x^3-12x^2+5\ge0 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 5 ≥ 0 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 3 x − 1 + 3 ln x f(x)=\frac{3}{x}-1+3\ln x f ( x ) = x 3 − 1 + 3 ln x
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 3 ( x − 1 ) x 2 f'(x)=\frac{3(x-1)}{x^2} f ′ ( x ) = x 2 3 ( x − 1 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 3 ( − 1 x 2 ) + 3 ⋅ 1 x = f'(x)=3\left(-\frac{1}{x^2}\right)+3\cdot\frac{1}{x}= f ′ ( x ) = 3 ( − x 2 1 ) + 3 ⋅ x 1 = 3 p = 3 x − 3 x 2 = 3 ( x − 1 ) x 2 =\frac{3x-3}{x^2}=\frac{3(x-1)}{x^2} = x 2 3 x − 3 = x 2 3 ( x − 1 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că ln x ≥ 1 − 1 x \ln x\ge 1-\frac{1}{x} ln x ≥ 1 − x 1 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 f'(x)=0\Leftrightarrow x=1 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0,1] x ∈ ( 0 , 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f ( 0 , 1 ] (0,1] ( 0 , 1 ] x ∈ [ 1 , + ∞ ) x\in[1,+\infty) x ∈ [ 1 , + ∞ ) f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ ) 2 p f ( x ) ≥ f ( 1 ) f(x)\ge f(1) f ( x ) ≥ f ( 1 ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) f ( 1 ) = 2 f(1)=2 f ( 1 ) = 2 f ( x ) ≥ 2 f(x)\ge 2 f ( x ) ≥ 2 ln x ≥ 1 − 1 x \ln x\ge 1-\frac{1}{x} ln x ≥ 1 − x 1 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( − 3 , + ∞ ) → R f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 3 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 − 5 x + 3 f(x)=\frac{x^2-5}{x+3} f ( x ) = x + 3 x 2 − 5
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = x 2 + 6 x + 5 ( x + 3 ) 2 f'(x)=\frac{x^2+6x+5}{(x+3)^2} f ′ ( x ) = ( x + 3 ) 2 x 2 + 6 x + 5 x ∈ ( − 3 , + ∞ ) x\in(-3,+\infty) x ∈ ( − 3 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = ( x 2 − 5 ) ′ ⋅ ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ ( x + 3 ) ′ ( x + 3 ) 2 = f'(x)=\frac{\left(x^2-5\right)'\cdot(x+3)-\left(x^2-5\right)\cdot(x+3)'}{(x+3)^2}= f ′ ( x ) = ( x + 3 ) 2 ( x 2 − 5 ) ′ ⋅ ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ ( x + 3 ) ′ = 2 p = 2 x ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ 1 ( x + 3 ) 2 = x 2 + 6 x + 5 ( x + 3 ) 2 =\frac{2x(x+3)-\left(x^2-5\right)\cdot 1}{(x+3)^2}=\frac{x^2+6x+5}{(x+3)^2} = ( x + 3 ) 2 2 x ( x + 3 ) − ( x 2 − 5 ) ⋅ 1 = ( x + 3 ) 2 x 2 + 6 x + 5 x ∈ ( − 3 , + ∞ ) x\in(-3,+\infty) x ∈ ( − 3 , + ∞ ) 3 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = − 1 x=-1 x = − 1 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = − 2 y=-2 y = − 2
Criterii (după barem) f ( − 1 ) = − 2 f(-1)=-2 f ( − 1 ) = − 2 f ′ ( − 1 ) = 0 f'(-1)=0 f ′ ( − 1 ) = 0 2 p Ecuația tangentei este y − f ( − 1 ) = f ′ ( − 1 ) ( x + 1 ) y-f(-1)=f'(-1)(x+1) y − f ( − 1 ) = f ′ ( − 1 ) ( x + 1 ) y = − 2 y=-2 y = − 2 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x + 21 f(x)=x^3+3x^2-24x+21 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x + 21
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 3 ( x − 2 ) ( x + 4 ) f'(x)=3(x-2)(x+4) f ′ ( x ) = 3 ( x − 2 ) ( x + 4 ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = ( x 3 ) ′ + 3 ⋅ ( x 2 ) ′ − 24 ⋅ x ′ + 21 ′ = f'(x)=\left(x^3\right)'+3\cdot\left(x^2\right)'-24\cdot x'+21'= f ′ ( x ) = ( x 3 ) ′ + 3 ⋅ ( x 2 ) ′ − 24 ⋅ x ′ + 2 1 ′ = 2 p = 3 x 2 + 6 x − 24 = 3 ( x − 2 ) ( x + 4 ) =3x^2+6x-24=3(x-2)(x+4) = 3 x 2 + 6 x − 24 = 3 ( x − 2 ) ( x + 4 ) x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că − 28 ≤ x 3 + 3 x 2 − 24 x ≤ 80 -28\le x^3+3x^2-24x\le 80 − 28 ≤ x 3 + 3 x 2 − 24 x ≤ 80 x ∈ [ − 4 , 3 ] x\in[-4,3] x ∈ [ − 4 , 3 ]
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 4 f'(x)=0\Leftrightarrow x=-4 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 4 x = 2 x=2 x = 2 x ∈ [ − 4 , 2 ] x\in[-4,2] x ∈ [ − 4 , 2 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ − 4 , 2 ] [-4,2] [ − 4 , 2 ] x ∈ [ 2 , 3 ] x\in[2,3] x ∈ [ 2 , 3 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 2 , 3 ] [2,3] [ 2 , 3 ] 3 p Cum f ( − 4 ) = 101 f(-4)=101 f ( − 4 ) = 101 f ( 2 ) = − 7 f(2)=-7 f ( 2 ) = − 7 f ( 3 ) = 3 f(3)=3 f ( 3 ) = 3 − 7 ≤ f ( x ) ≤ 101 -7\le f(x)\le 101 − 7 ≤ f ( x ) ≤ 101 x ∈ [ − 4 , 3 ] x\in[-4,3] x ∈ [ − 4 , 3 ] − 28 ≤ x 3 + 3 x 2 − 24 x ≤ 80 -28\le x^3+3x^2-24x\le 80 − 28 ≤ x 3 + 3 x 2 − 24 x ≤ 80 x ∈ [ − 4 , 3 ] x\in[-4,3] x ∈ [ − 4 , 3 ] 2 p Semnalează o greșeală
III.1
f : ( 1 , + ∞ ) → R f:(1,+\infty)\to\mathbb R f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( 5 x − 2 ) / ( x − 1 ) f(x)=(5x-2)/(x-1) f ( x ) = ( 5 x − 2 ) / ( x − 1 )
III.1.a 5 p Arătați f ′ ( x ) = − 3 / ( x − 1 ) 2 f\prime(x)=-3/(x-1)^2 f ′ ( x ) = − 3/ ( x − 1 ) 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Scrie f(x)=5+3/(x-1). 3 p Derivata constantei este 0, iar a reciprocei este -3/(x-1)². 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați tangenta la abscisa 2.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = − 3 x + 14 y=-3x+14 y = − 3 x + 14
Criterii (după barem) f(2)=8 și f′(2)=-3. 2 p y-8=-3(x-2), deci y=-3x+14. 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că f este convexă.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivează din nou: f″(x)=6/(x-1)³. 3 p Pentru x>1, numitorul este pozitiv; f″>0, deci f este strict convexă. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x 2 − 2 − ln x f(x)=2x^2-2-\ln x f ( x ) = 2 x 2 − 2 − ln x
III.1.a 5 p Arătați f ′ ( x ) = ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) / x f\prime(x)=(2x-1)(2x+1)/x f ′ ( x ) = ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) / x
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivata este 4x-1/x. 3 p Adu la numitor comun: ( 4 x 2 − 1 ) / x = ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) / x (4x^2-1)/x=(2x-1)(2x+1)/x ( 4 x 2 − 1 ) / x = ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) / x 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.