Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2025 modelul oficial Bacalaureat 2025 la matematică tehnologic: modelul oficial
Subiectul oficial tehnologic, modelul oficial 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați ( 3 + 3 2 ) 2 − 3 2 + 4 = 10 (3+3\sqrt2)\sqrt2-3\sqrt2+4=10 ( 3 + 3 2 ) 2 − 3 2 + 4 = 10
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Dezvoltă produsul: 3√2+6. 2 p După reducerea radicalilor rămâne 6+4=10. 3 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p Pentru f(x)=3x+6, arătați f(0)+f(2)=f(4).
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f(0)=6 și f(2)=12. 2 p Suma este 18, egală cu f(4)=3·4+6. 3 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați 2 x − 1 − 3 = 0 \sqrt{2x-1}-3=0 2 x − 1 − 3 = 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 5 x=5 x = 5
Criterii (după barem) Domeniul cere x≥1/2. Ecuația este √(2x-1)=3. 3 p Prin pătrare 2x-1=9, deci x=5; verificarea dă √9-3=0. 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Un obiect costă 400 lei. Prețul după o ieftinire cu 25%?
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 300 lei
Criterii (după barem) Reducerea este 0,25·400=100 lei. 2 p Noul preț este 400-100=300 lei. 3 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p A ( 2 , 3 ) A(2,3) A ( 2 , 3 ) B ( 5 , 6 ) B(5,6) B ( 5 , 6 ) C ( 6 , 2 ) C(6,2) C ( 6 , 2 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) AC²=4²+(-1)²=17, iar BC²=1²+(-4)²=17. 2 p AC și BC sunt lungimi pozitive cu pătrate egale, deci sunt egale. 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, AC=4, C=60°. Arătați BC=8.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) cos60°=AC/BC=1/2. 3 p BC=4/(1/2)=8. 2 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
A ( x ) = ( 1 1 2 x ) A(x)=\begin{pmatrix}1&1\\2&x\end{pmatrix} A ( x ) = ( 1 2 1 x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R I 2 I_2 I 2
II.1.a 5 p Arătați det A ( 3 ) = 1 \det A(3)=1 det A ( 3 ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A(3) are liniile (1,1),(2,3). 3 p Determinantul este 3-2=1. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați A ( 2 ) + A ( 6 ) = 2 A ( 4 ) A(2)+A(6)=2A(4) A ( 2 ) + A ( 6 ) = 2 A ( 4 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Suma este ( 2 2 4 8 ) \begin{pmatrix}2&2\\4&8\end{pmatrix} ( 2 4 2 8 ) 3 p Factorizând 2, obții exact 2A(4). 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați x cu A ( x ) 2 = 3 I 2 A(x)^2=3I_2 A ( x ) 2 = 3 I 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 1 x=-1 x = − 1
Criterii (după barem) A ( x ) 2 = ( 3 1 + x 2 + 2 x 2 + x 2 ) A(x)^2=\begin{pmatrix}3&1+x\\2+2x&2+x^2\end{pmatrix} A ( x ) 2 = ( 3 2 + 2 x 1 + x 2 + x 2 ) 3 p Elementele nediagonale impun x=-1. Atunci și diagonala este (3,3), deci egalitatea este verificată. 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∘ y = x + y + 6 x\circ y=x+y+6 x ∘ y = x + y + 6
II.2.a 5 p Arătați 1 ∘ ( − 3 ) = 4 1\circ(-3)=4 1 ∘ ( − 3 ) = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Aplică legea: 1+(-3)+6. 3 p Rezultatul este 4. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x cu x ∘ 2 = 3 x x\circ2=3x x ∘ 2 = 3 x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 4 x=4 x = 4
Criterii (după barem) x+2+6=3x. 3 p 2x=8, deci x=4. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Arătați ( x 2 + 2 ) ∘ ( 1 − 6 x ) ≥ 0 (x^2+2)\circ(1-6x)\ge0 ( x 2 + 2 ) ∘ ( 1 − 6 x ) ≥ 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Dezvoltarea dă x²+2+1-6x+6=x²-6x+9. 2 p Acesta este (x-3)², un pătrat nenegativ pentru orice x real. 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
f : ( 1 , + ∞ ) → R f:(1,+\infty)\to\mathbb R f : ( 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( 5 x − 2 ) / ( x − 1 ) f(x)=(5x-2)/(x-1) f ( x ) = ( 5 x − 2 ) / ( x − 1 )
III.1.a 5 p Arătați f ′ ( x ) = − 3 / ( x − 1 ) 2 f\prime(x)=-3/(x-1)^2 f ′ ( x ) = − 3/ ( x − 1 ) 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Scrie f(x)=5+3/(x-1). 3 p Derivata constantei este 0, iar a reciprocei este -3/(x-1)². 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați tangenta la abscisa 2.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = − 3 x + 14 y=-3x+14 y = − 3 x + 14
Criterii (după barem) f(2)=8 și f′(2)=-3. 2 p y-8=-3(x-2), deci y=-3x+14. 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că f este convexă.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivează din nou: f″(x)=6/(x-1)³. 3 p Pentru x>1, numitorul este pozitiv; f″>0, deci f este strict convexă. 2 p Semnalează o greșeală
III.2
f ( x ) = 2 x + 3 f(x)=2x+3 f ( x ) = 2 x + 3 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.2.a 5 p Arătați ∫ 0 1 ( f ( x ) − 3 ) d x = 1 \int_0^1(f(x)-3)\,dx=1 ∫ 0 1 ( f ( x ) − 3 ) d x = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul este 2x, cu primitiva x². 3 p [x²]₀¹=1. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați ∫ 0 1 e x f ( x ) d x = 3 e − 1 \int_0^1e^xf(x)\,dx=3e-1 ∫ 0 1 e x f ( x ) d x = 3 e − 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) O primitivă a lui (2x+3)e^x este (2x+1)e^x, verificată prin derivare. 3 p Evaluarea la 1 și 0 dă 3e-1. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați a>0 cu ∫ 1 2 f ( x ) / ( x ( x + 3 ) ) d x = ln ( a / 2 ) \int_1^2 f(x)/(x(x+3))\,dx=\ln(a/2) ∫ 1 2 f ( x ) / ( x ( x + 3 )) d x = ln ( a /2 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 5 a=5 a = 5
Criterii (după barem) Integrandul se descompune în 1/x+1/(x+3). Primitiva este ln x+ln(x+3). 3 p Integrala este ln(10/4)=ln(5/2), deci a/2=5/2 și a=5. 2 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.