Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic Pe teme Primitive și integrale definite Primitive și integrale definite: Matematică tehnologic la Bacalaureat
81 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
III.2
f ( x ) = 5 x 2 + 2 x + 1 f(x)=5x^2+2x+1 f ( x ) = 5 x 2 + 2 x + 1 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.2.a 5 p Arătați ∫ 0 1 ( f ( x ) − 2 x ) d x = 8 / 3 \int_0^1(f(x)-2x)\,dx=8/3 ∫ 0 1 ( f ( x ) − 2 x ) d x = 8/3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul este 5 x 2 + 1 5x^2+1 5 x 2 + 1 5 x 3 / 3 + x 5x^3/3+x 5 x 3 /3 + x 3 p La 1 și 0 diferența este 5 / 3 + 1 = 8 / 3 5/3+1=8/3 5/3 + 1 = 8/3 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați ∫ 0 2 d x / ( f ( x ) − 5 x 2 ) = ln 5 / 2 \int_0^2dx/(f(x)-5x^2)=\ln5/2 ∫ 0 2 d x / ( f ( x ) − 5 x 2 ) = ln 5/2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Numitorul se reduce la 2 x + 1 2x+1 2 x + 1 ( 1 / 2 ) ln ( 2 x + 1 ) (1/2)\ln(2x+1) ( 1/2 ) ln ( 2 x + 1 ) 3 p Evaluarea dă ( ln 5 − ln 1 ) / 2 = ln 5 / 2 (\ln5-\ln1)/2=\ln5/2 ( ln 5 − ln 1 ) /2 = ln 5/2 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați primitiva G G G g ( x ) = ( f ( x ) − 2 x ) / x g(x)=(f(x)-2x)/\sqrt x g ( x ) = ( f ( x ) − 2 x ) / x x > 0 x>0 x > 0 G ( 1 ) = 5 G(1)=5 G ( 1 ) = 5
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: G ( x ) = 2 x 5 / 2 + 2 x + 1 G(x)=2x^{5/2}+2\sqrt x+1 G ( x ) = 2 x 5/2 + 2 x + 1
Criterii (după barem) g ( x ) = 5 x 3 / 2 + x − 1 / 2 g(x)=5x^{3/2}+x^{-1/2} g ( x ) = 5 x 3/2 + x − 1/2 G ( x ) = 2 x 5 / 2 + 2 x + C G(x)=2x^{5/2}+2\sqrt x+C G ( x ) = 2 x 5/2 + 2 x + C 3 p G ( 1 ) = 4 + C = 5 G(1)=4+C=5 G ( 1 ) = 4 + C = 5 C = 1 C=1 C = 1 2 p Semnalează o greșeală
III.2
f : ( − 3 , + ∞ ) → R f:(-3,+\infty)\to\mathbb R f : ( − 3 , + ∞ ) → R f ( x ) = x + 2 + 2 / x + 3 f(x)=x+2+2/\sqrt{x+3} f ( x ) = x + 2 + 2/ x + 3
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 4 ( f ( x ) − 2 / x + 3 ) d x = 16 \int_0^4(f(x)-2/\sqrt{x+3})\,dx=16 ∫ 0 4 ( f ( x ) − 2/ x + 3 ) d x = 16
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul este x + 2 x+2 x + 2 3 p [ x 2 / 2 + 2 x ] 0 4 = 8 + 8 = 16 [x^2/2+2x]_0^4=8+8=16 [ x 2 /2 + 2 x ] 0 4 = 8 + 8 = 16 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 6 ( f ( x ) − x − 2 ) d x = 4 \int_1^6(f(x)-x-2)\,dx=4 ∫ 1 6 ( f ( x ) − x − 2 ) d x = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Rămâne 2 / x + 3 2/\sqrt{x+3} 2/ x + 3 4 x + 3 4\sqrt{x+3} 4 x + 3 3 p Valoarea este 4 ( 3 − 2 ) = 4 4(3-2)=4 4 ( 3 − 2 ) = 4 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R ∫ − 2 1 f ′ ( x ) ( 1 + 1 / f ( x ) ) d x = ln ( 2 e a ) \int_{-2}^1f\prime(x)(1+1/f(x))\,dx=\ln(2e^a) ∫ − 2 1 f ′ ( x ) ( 1 + 1/ f ( x )) d x = ln ( 2 e a )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 2 a=2 a = 2
Criterii (după barem) Pe interval f este pozitivă; o primitivă este f + ln f f+\ln f f + ln f f ( − 2 ) = 2 f(-2)=2 f ( − 2 ) = 2 f ( 1 ) = 4 f(1)=4 f ( 1 ) = 4 3 p Integrala este 2 + ln 2 2+\ln2 2 + ln 2 ln 2 + a \ln2+a ln 2 + a a = 2 a=2 a = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( − 4 , + ∞ ) → R f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 4 , + ∞ ) → R f ( x ) = 4 x x + 4 f(x)=\frac{4x}{\sqrt{x+4}} f ( x ) = x + 4 4 x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 2 f ( x ) ⋅ x + 4 d x = 8 \int_0^2 f(x)\cdot\sqrt{x+4}\,dx=8 ∫ 0 2 f ( x ) ⋅ x + 4 d x = 8
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 2 f ( x ) ⋅ x + 4 d x = ∫ 0 2 4 x d x = 2 x 2 ∣ 0 2 = \int_0^2 f(x)\cdot\sqrt{x+4}\,dx=\int_0^2 4x\,dx=\left.2x^2\right|_0^2= ∫ 0 2 f ( x ) ⋅ x + 4 d x = ∫ 0 2 4 x d x = 2 x 2 0 2 = 3 p = 8 − 0 = 8 =8-0=8 = 8 − 0 = 8 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 5 12 1 2 x ⋅ f ( x ) d x = 4 \int_5^{12}\frac{1}{2x}\cdot f(x)\,dx=4 ∫ 5 12 2 x 1 ⋅ f ( x ) d x = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 5 12 1 2 x ⋅ f ( x ) d x = ∫ 5 12 4 2 x + 4 d x = 4 ∫ 5 12 ( x + 4 ) ′ 2 x + 4 d x = 4 x + 4 ∣ 5 12 = \int_5^{12}\frac{1}{2x}\cdot f(x)\,dx=\int_5^{12}\frac{4}{2\sqrt{x+4}}\,dx=4\int_5^{12}\frac{(x+4)'}{2\sqrt{x+4}}\,dx=\left.4\sqrt{x+4}\right|_5^{12}= ∫ 5 12 2 x 1 ⋅ f ( x ) d x = ∫ 5 12 2 x + 4 4 d x = 4 ∫ 5 12 2 x + 4 ( x + 4 ) ′ d x = 4 x + 4 5 12 = 3 p = 16 − 12 = 4 =16-12=4 = 16 − 12 = 4 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Se consideră a ∈ ( 0 , + ∞ ) a\in(0,+\infty) a ∈ ( 0 , + ∞ ) g : [ a , a + 8 ] → R g:[a,a+8]\to\mathbb{R} g : [ a , a + 8 ] → R g ( x ) = f ( x ) 4 x g(x)=\frac{f(x)}{4\sqrt{x}} g ( x ) = 4 x f ( x ) a ∈ ( 0 , + ∞ ) a\in(0,+\infty) a ∈ ( 0 , + ∞ ) g g g O x Ox O x 4 π ( 2 − ln 2 ) 4\pi(2-\ln 2) 4 π ( 2 − ln 2 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 4 a=4 a = 4
Criterii (după barem) g ( x ) = x x + 4 g(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}} g ( x ) = x + 4 x x ∈ [ a , a + 8 ] x\in[a,a+8] x ∈ [ a , a + 8 ] V = π ∫ a a + 8 ( g ( x ) ) 2 d x = π ∫ a a + 8 ( 1 − 4 x + 4 ) d x = V=\pi\int_a^{a+8}\left(g(x)\right)^2\,dx=\pi\int_a^{a+8}\left(1-\frac{4}{x+4}\right)dx= V = π ∫ a a + 8 ( g ( x ) ) 2 d x = π ∫ a a + 8 ( 1 − x + 4 4 ) d x = = π ( x − 4 ln ( x + 4 ) ) ∣ a a + 8 = π ( 8 − 4 ln a + 12 a + 4 ) =\pi\left.\left(x-4\ln(x+4)\right)\right|_a^{a+8}=\pi\left(8-4\ln\frac{a+12}{a+4}\right) = π ( x − 4 ln ( x + 4 ) ) ∣ a a + 8 = π ( 8 − 4 ln a + 4 a + 12 ) 3 p 4 π ( 2 − ln a + 12 a + 4 ) = 4 π ( 2 − ln 2 ) 4\pi\left(2-\ln\frac{a+12}{a+4}\right)=4\pi(2-\ln 2) 4 π ( 2 − ln a + 4 a + 12 ) = 4 π ( 2 − ln 2 ) a = 4 a=4 a = 4 2 p Semnalează o greșeală
III.2
f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x + 1 + x e x f(x)=x+1+xe^x f ( x ) = x + 1 + x e x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 4 ( f ( x ) − x e x ) d x = 12 \int_0^4(f(x)-xe^x)\,dx=12 ∫ 0 4 ( f ( x ) − x e x ) d x = 12
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul se reduce la x + 1 x+1 x + 1 3 p [ x 2 / 2 + x ] 0 4 = 8 + 4 = 12 [x^2/2+x]_0^4=8+4=12 [ x 2 /2 + x ] 0 4 = 8 + 4 = 12 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 0 1 ( f ( x ) − x − 1 ) d x = 1 \int_0^1(f(x)-x-1)\,dx=1 ∫ 0 1 ( f ( x ) − x − 1 ) d x = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Rămâne ∫ 0 1 x e x d x \int_0^1xe^x\,dx ∫ 0 1 x e x d x ( x − 1 ) e x (x-1)e^x ( x − 1 ) e x 3 p La capete: 0 − ( − 1 ) = 1 0-(-1)=1 0 − ( − 1 ) = 1 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Pentru g ( x ) = f ′ ( x ) / f ( x ) g(x)=\sqrt{f\prime(x)}/f(x) g ( x ) = f ′ ( x ) / f ( x ) x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x ∈ [ 0 , 1 ] O x Ox O x π ( e + 1 ) / ( e + 2 ) \pi(e+1)/(e+2) π ( e + 1 ) / ( e + 2 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 f ′ ( x ) = 1 + ( x + 1 ) e x > 0 f\prime(x)=1+(x+1)e^x>0 f ′ ( x ) = 1 + ( x + 1 ) e x > 0 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] π ∫ 0 1 f ′ ( x ) / f ( x ) 2 d x \pi\int_0^1f\prime(x)/f(x)^2\,dx π ∫ 0 1 f ′ ( x ) / f ( x ) 2 d x 3 p Primitiva este − 1 / f ( x ) -1/f(x) − 1/ f ( x ) f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1 f ( 1 ) = e + 2 f(1)=e+2 f ( 1 ) = e + 2 V = π ( 1 − 1 / ( e + 2 ) ) V=\pi(1-1/(e+2)) V = π ( 1 − 1/ ( e + 2 )) 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 4 x + 3 − 6 x f(x)=4x+3-6\sqrt{x} f ( x ) = 4 x + 3 − 6 x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 1 2 ( f ( x ) − 3 + 6 x ) d x = 6 \int_1^2\left(f(x)-3+6\sqrt{x}\right)dx=6 ∫ 1 2 ( f ( x ) − 3 + 6 x ) d x = 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 2 ( f ( x ) − 3 + 6 x ) d x = ∫ 1 2 4 x d x = 2 x 2 ∣ 1 2 = \int_1^2\left(f(x)-3+6\sqrt{x}\right)dx=\int_1^2 4x\,dx=\left.2x^2\right|_1^2= ∫ 1 2 ( f ( x ) − 3 + 6 x ) d x = ∫ 1 2 4 x d x = 2 x 2 1 2 = 3 p = 8 − 2 = 6 =8-2=6 = 8 − 2 = 6 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 4 4 x − f ( x ) x d x = 12 \int_1^4\frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=12 ∫ 1 4 x 4 x − f ( x ) d x = 12
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 4 4 x − f ( x ) x d x = ∫ 1 4 − 3 + 6 x x d x = ∫ 1 4 ( − 3 x + 6 ) d x = − 6 x ∣ 1 4 + 6 x ∣ 1 4 = \int_1^4\frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=\int_1^4\frac{-3+6\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx=\int_1^4\left(\frac{-3}{\sqrt{x}}+6\right)dx=\left.-6\sqrt{x}\right|_1^4+\left.6x\right|_1^4= ∫ 1 4 x 4 x − f ( x ) d x = ∫ 1 4 x − 3 + 6 x d x = ∫ 1 4 ( x − 3 + 6 ) d x = − 6 x ∣ 1 4 + 6 x ∣ 1 4 = 3 p = − 6 + 18 = 12 =-6+18=12 = − 6 + 18 = 12 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Demonstrați că orice primitivă G : ( 0 , + ∞ ) → R G:(0,+\infty)\to\mathbb{R} G : ( 0 , + ∞ ) → R g : ( 0 , + ∞ ) → R g:(0,+\infty)\to\mathbb{R} g : ( 0 , + ∞ ) → R g ( x ) = f ( x ) ⋅ x g(x)=f(x)\cdot\sqrt{x} g ( x ) = f ( x ) ⋅ x
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) G ′ ( x ) = g ( x ) G'(x)=g(x) G ′ ( x ) = g ( x ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) G ′ ′ ( x ) = g ′ ( x ) = 4 x + ( 4 x + 3 ) ⋅ 1 2 x − 6 = G''(x)=g'(x)=4\sqrt{x}+(4x+3)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-6= G ′′ ( x ) = g ′ ( x ) = 4 x + ( 4 x + 3 ) ⋅ 2 x 1 − 6 = 3 p = 12 x − 12 x + 3 2 x = 3 ( 2 x − 1 ) 2 2 x ≥ 0 =\frac{12x-12\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}}=\frac{3\left(2\sqrt{x}-1\right)^2}{2\sqrt{x}}\ge 0 = 2 x 12 x − 12 x + 3 = 2 x 3 ( 2 x − 1 ) 2 ≥ 0 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) G G G 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : ( − 2 , + ∞ ) → R f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 2 , + ∞ ) → R f ( x ) = e x x + 2 f(x)=\frac{e^x}{x+2} f ( x ) = x + 2 e x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = e − 1 \int_0^1(x+2)\cdot f(x)\,dx=e-1 ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = e − 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = ∫ 0 1 e x d x = e x ∣ 0 1 = \int_0^1(x+2)\cdot f(x)\,dx=\int_0^1 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^1= ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ f ( x ) d x = ∫ 0 1 e x d x = e x ∣ 0 1 = 3 p = e 1 − e 0 = e − 1 =e^1-e^0=e-1 = e 1 − e 0 = e − 1 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 0 6 f ( x ) e x d x = 2 ln 2 \int_0^6\frac{f(x)}{e^x}\,dx=2\ln 2 ∫ 0 6 e x f ( x ) d x = 2 ln 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 6 f ( x ) e x d x = ∫ 0 6 ( x + 2 ) ′ x + 2 d x = ln ( x + 2 ) ∣ 0 6 = \int_0^6\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^6\frac{(x+2)'}{x+2}\,dx=\left.\ln(x+2)\right|_0^6= ∫ 0 6 e x f ( x ) d x = ∫ 0 6 x + 2 ( x + 2 ) ′ d x = ln ( x + 2 ) ∣ 0 6 = 3 p = ln 8 − ln 2 = 2 ln 2 =\ln 8-\ln 2=2\ln 2 = ln 8 − ln 2 = 2 ln 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați numărul real a a a ∫ 0 1 ( a − 1 f ( x ) ) d x = 4 e \int_0^1\left(a-\frac{1}{f(x)}\right)dx=\frac{4}{e} ∫ 0 1 ( a − f ( x ) 1 ) d x = e 4
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) ∫ 0 1 ( a − 1 f ( x ) ) d x = a x ∣ 0 1 − ∫ 0 1 ( x + 2 ) e − x d x = a − ∫ 0 1 ( x + 2 ) ( − e − x ) ′ d x = a + ( x + 2 ) e − x ∣ 0 1 + e − x ∣ 0 1 = \int_0^1\left(a-\frac{1}{f(x)}\right)dx=\left.ax\right|_0^1-\int_0^1(x+2)e^{-x}\,dx=a-\int_0^1(x+2)\left(-e^{-x}\right)'\,dx=a+\left.(x+2)e^{-x}\right|_0^1+\left.e^{-x}\right|_0^1= ∫ 0 1 ( a − f ( x ) 1 ) d x = a x ∣ 0 1 − ∫ 0 1 ( x + 2 ) e − x d x = a − ∫ 0 1 ( x + 2 ) ( − e − x ) ′ d x = a + ( x + 2 ) e − x ∣ 0 1 + e − x ∣ 0 1 = 3 p = a − 3 + 4 e =a-3+\frac{4}{e} = a − 3 + e 4 a − 3 + 4 e = 4 e a-3+\frac{4}{e}=\frac{4}{e} a − 3 + e 4 = e 4 a = 3 a=3 a = 3 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 5 x − 4 f(x)=5x-4 f ( x ) = 5 x − 4
III.2.a 5 p Arătați că ∫ − 1 1 ( f ( x ) + 4 ) d x = 0 \int_{-1}^1\left(f(x)+4\right)dx=0 ∫ − 1 1 ( f ( x ) + 4 ) d x = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ − 1 1 ( f ( x ) + 4 ) d x = ∫ − 1 1 5 x d x = 5 x 2 2 ∣ − 1 1 = \int_{-1}^1\left(f(x)+4\right)dx=\int_{-1}^1 5x\,dx=\left.\frac{5x^2}{2}\right|_{-1}^1= ∫ − 1 1 ( f ( x ) + 4 ) d x = ∫ − 1 1 5 x d x = 2 5 x 2 − 1 1 = 3 p = 5 2 − 5 2 = 0 =\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=0 = 2 5 − 2 5 = 0 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 1 4 1 f ( x ) d x = 6 5 \int_1^4\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\,dx=\frac{6}{5} ∫ 1 4 f ( x ) 1 d x = 5 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 1 4 1 f ( x ) d x = ∫ 1 4 1 5 x − 4 d x = 2 5 ∫ 1 4 ( 5 x − 4 ) ′ 2 5 x − 4 d x = 2 5 5 x − 4 ∣ 1 4 = \int_1^4\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\,dx=\int_1^4\frac{1}{\sqrt{5x-4}}\,dx=\frac{2}{5}\int_1^4\frac{(5x-4)'}{2\sqrt{5x-4}}\,dx=\left.\frac{2}{5}\sqrt{5x-4}\right|_1^4= ∫ 1 4 f ( x ) 1 d x = ∫ 1 4 5 x − 4 1 d x = 5 2 ∫ 1 4 2 5 x − 4 ( 5 x − 4 ) ′ d x = 5 2 5 x − 4 1 4 = 3 p = 8 5 − 2 5 = 6 5 =\frac{8}{5}-\frac{2}{5}=\frac{6}{5} = 5 8 − 5 2 = 5 6 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.