Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic Pe teme Legi de compoziție și structuri algebrice Legi de compoziție și structuri algebrice: Matematică tehnologic la Bacalaureat
60 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II.2
Pe R \mathbb R R x ∘ y = x y + 4 ( x + y ) x\circ y=xy+4(x+y) x ∘ y = x y + 4 ( x + y )
II.2.a 5 p Arătați 1 ∘ 2 = 14 1\circ2=14 1 ∘ 2 = 14
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calculează 1 ⋅ 2 + 4 ( 1 + 2 ) 1\cdot2+4(1+2) 1 ⋅ 2 + 4 ( 1 + 2 ) 3 p 2 + 12 = 14 2+12=14 2 + 12 = 14 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x x x x ∘ 3 = x x\circ3=x x ∘ 3 = x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 2 x=-2 x = − 2
Criterii (după barem) x ∘ 3 = 3 x + 4 x + 12 = 7 x + 12 x\circ3=3x+4x+12=7x+12 x ∘ 3 = 3 x + 4 x + 12 = 7 x + 12 3 p 7 x + 12 = x 7x+12=x 7 x + 12 = x 6 x = − 12 6x=-12 6 x = − 12 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R 2 x ∘ 4 = 2 x + 4 2^x\circ4=2^{x+4} 2 x ∘ 4 = 2 x + 4
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) Notând t=2^x>0, stânga este 4 t + 4 ( t + 4 ) = 8 t + 16 4t+4(t+4)=8t+16 4 t + 4 ( t + 4 ) = 8 t + 16 16 t 16t 16 t 2 p t = 2 t=2 t = 2 2 x = 2 2^x=2 2 x = 2 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∗ y = x y − 3 x − 3 y + 12 x*y=xy-3x-3y+12 x ∗ y = x y − 3 x − 3 y + 12
II.2.a 5 p Arătați că 2 ∗ 5 = 1 2*5=1 2 ∗ 5 = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește: 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 − 3 ⋅ 5 + 12 2\cdot5-3\cdot2-3\cdot5+12 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 − 3 ⋅ 5 + 12 3 p 10 − 6 − 15 + 12 = 1 10-6-15+12=1 10 − 6 − 15 + 12 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Arătați că e = 4 e=4 e = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x ∗ 4 = 4 x − 3 x − 12 + 12 = x x*4=4x-3x-12+12=x x ∗ 4 = 4 x − 3 x − 12 + 12 = x 2 p Tot astfel 4 ∗ x = 4 x − 12 − 3 x + 12 = x 4*x=4x-12-3x+12=x 4 ∗ x = 4 x − 12 − 3 x + 12 = x 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați a a a ( a − x ) ∗ ( a − x ) = ( a + x ) ∗ ( a + x ) (a-x)*(a-x)=(a+x)*(a+x) ( a − x ) ∗ ( a − x ) = ( a + x ) ∗ ( a + x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) Pentru orice t, t ∗ t = t 2 − 6 t + 12 t*t=t^2-6t+12 t ∗ t = t 2 − 6 t + 12 ( 12 − 4 a ) x (12-4a)x ( 12 − 4 a ) x 2 p Pentru a fi nulă la fiecare x, trebuie 12 − 4 a = 0 12-4a=0 12 − 4 a = 0 a = 3 a=3 a = 3 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∗ y = ( 4 − x ) ( 4 − y ) + 2 x*y=(4-x)(4-y)+2 x ∗ y = ( 4 − x ) ( 4 − y ) + 2
II.2.a 5 p Arătați că 0 ∗ 3 = 6 0*3=6 0 ∗ 3 = 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește în lege: ( 4 − 0 ) ( 4 − 3 ) + 2 (4-0)(4-3)+2 ( 4 − 0 ) ( 4 − 3 ) + 2 3 p Obții 4 ⋅ 1 + 2 = 6 4\cdot1+2=6 4 ⋅ 1 + 2 = 6 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R 2 ∗ x = 2 2*x=2 2 ∗ x = 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 4 x=4 x = 4
Criterii (după barem) 2 ∗ x = 2 ( 4 − x ) + 2 2*x=2(4-x)+2 2 ∗ x = 2 ( 4 − x ) + 2 3 p Egalitatea cu 2 2 2 2 ( 4 − x ) = 0 2(4-x)=0 2 ( 4 − x ) = 0 x = 4 x=4 x = 4 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați perechile întregi ( m , n ) (m,n) ( m , n ) ( 2 m ) ∗ ( 2 n + 1 ) = 10 (2m)*(2n+1)=10 ( 2 m ) ∗ ( 2 n + 1 ) = 10
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( − 2 , 1 ) , ( 6 , 2 ) (-2,1),\ (6,2) ( − 2 , 1 ) , ( 6 , 2 )
Criterii (după barem) Ecuația devine ( 2 − m ) ( 3 − 2 n ) = 4 (2-m)(3-2n)=4 ( 2 − m ) ( 3 − 2 n ) = 4 1 1 1 − 1 -1 − 1 4 4 4 2 p Pentru 3 − 2 n = 1 3-2n=1 3 − 2 n = 1 n = 1 , m = − 2 n=1,m=-2 n = 1 , m = − 2 3 − 2 n = − 1 3-2n=-1 3 − 2 n = − 1 n = 2 , m = 6 n=2,m=6 n = 2 , m = 6 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = x + y − x y + 1 x*y=x+y-xy+1 x ∗ y = x + y − x y + 1
II.2.a 5 p Arătați că 2 ∗ 3 = 0 2*3=0 2 ∗ 3 = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 2 ∗ 3 = 2 + 3 − 2 ⋅ 3 + 1 = 2*3=2+3-2\cdot 3+1= 2 ∗ 3 = 2 + 3 − 2 ⋅ 3 + 1 = 3 p = 2 + 3 − 6 + 1 = 0 =2+3-6+1=0 = 2 + 3 − 6 + 1 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real x x x x ∗ 5 = 10 x*5=10 x ∗ 5 = 10
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 1 x=-1 x = − 1
Criterii (după barem) x ∗ 5 = − 4 x + 6 x*5=-4x+6 x ∗ 5 = − 4 x + 6 x x x 3 p − 4 x + 6 = 10 -4x+6=10 − 4 x + 6 = 10 x = − 1 x=-1 x = − 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numerele naturale nenule n n n N = 3 n ∗ ( 3 + n ) N=\frac{3}{n}*(3+n) N = n 3 ∗ ( 3 + n )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: n = 2 n=2 n = 2 n = 3 n=3 n = 3 n = 6 n=6 n = 6
Criterii (după barem) N = 3 n ∗ ( 3 + n ) = − 6 n + n + 1 N=\frac{3}{n}*(3+n)=-\frac{6}{n}+n+1 N = n 3 ∗ ( 3 + n ) = − n 6 + n + 1 n n n 2 p N N N n n n n = 2 n=2 n = 2 n = 3 n=3 n = 3 n = 6 n=6 n = 6 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = 3 x − 2 y + x y x\circ y=3x-2y+xy x ∘ y = 3 x − 2 y + x y
II.2.a 5 p Arătați că 2 ∘ 2 = 6 2\circ 2=6 2 ∘ 2 = 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 2 ∘ 2 = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 2\circ 2=3\cdot 2-2\cdot 2+2\cdot 2= 2 ∘ 2 = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 3 p = 6 − 4 + 4 = 6 =6-4+4=6 = 6 − 4 + 4 = 6 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real x x x 3 ∘ x = 3 3\circ x=3 3 ∘ x = 3
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 6 x=-6 x = − 6
Criterii (după barem) 3 ∘ x = 9 + x 3\circ x=9+x 3 ∘ x = 9 + x x x x 3 p 9 + x = 3 9+x=3 9 + x = 3 x = − 6 x=-6 x = − 6 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numerele întregi m m m ( − m ) ∘ m > m ∘ m (-m)\circ m>m\circ m ( − m ) ∘ m > m ∘ m
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = − 2 m=-2 m = − 2 m = − 1 m=-1 m = − 1
Criterii (după barem) ( − m ) ∘ m = − 5 m − m 2 (-m)\circ m=-5m-m^2 ( − m ) ∘ m = − 5 m − m 2 m ∘ m = m + m 2 m\circ m=m+m^2 m ∘ m = m + m 2 m m m 2 p − 5 m − m 2 > m + m 2 ⇔ m 2 + 3 m < 0 -5m-m^2>m+m^2\Leftrightarrow m^2+3m<0 − 5 m − m 2 > m + m 2 ⇔ m 2 + 3 m < 0 m m m m = − 2 m=-2 m = − 2 m = − 1 m=-1 m = − 1 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∘ y = x + y + 6 x\circ y=x+y+6 x ∘ y = x + y + 6
II.2.a 5 p Arătați 1 ∘ ( − 3 ) = 4 1\circ(-3)=4 1 ∘ ( − 3 ) = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Aplică legea: 1+(-3)+6. 3 p Rezultatul este 4. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x cu x ∘ 2 = 3 x x\circ2=3x x ∘ 2 = 3 x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 4 x=4 x = 4
Criterii (după barem) x+2+6=3x. 3 p 2x=8, deci x=4. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Arătați ( x 2 + 2 ) ∘ ( 1 − 6 x ) ≥ 0 (x^2+2)\circ(1-6x)\ge0 ( x 2 + 2 ) ∘ ( 1 − 6 x ) ≥ 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Dezvoltarea dă x²+2+1-6x+6=x²-6x+9. 2 p Acesta este (x-3)², un pătrat nenegativ pentru orice x real. 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∗ y = x y − 2 x − 2 y + 6 x*y=xy-2x-2y+6 x ∗ y = x y − 2 x − 2 y + 6
II.2.a 5 p Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește: 0-0-4+6. 3 p Rezultatul este 2. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați x cu x*(2x)=6.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { 0 , 3 } x\in\{0,3\} x ∈ { 0 , 3 }
Criterii (după barem) Obții 2 x 2 − 6 x + 6 = 6 2x^2-6x+6=6 2 x 2 − 6 x + 6 = 6 2 p 2 x ( x − 3 ) = 0 2x(x-3)=0 2 x ( x − 3 ) = 0 3 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.