Bacalaureat 2025 la matematică tehnologic: sesiunea a doua (august)

Subiectul oficial tehnologic, sesiunea a doua (august) 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 5⋅(0,7−0,2)+0,5=35\cdot(0{,}7-0{,}2)+0{,}5=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 5⋅(0,7−0,2)+0,5=5⋅0,5+0,5=5\cdot(0{,}7-0{,}2)+0{,}5=5\cdot 0{,}5+0{,}5=2 p
  2. =2,5+0,5=3=2{,}5+0{,}5=33 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=6x−2f(x)=6x-2. Determinați numărul real mm pentru care f(m)=10f(m)=10.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=2m=2

Criterii (după barem)

  1. f(m)=6m−2f(m)=6m-2, pentru orice număr real mm2 p
  2. 6m−2=106m-2=10, de unde obținem m=2m=23 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 16−3x=1\sqrt{16-3x}=1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=5x=5

Criterii (după barem)

  1. 16−3x=116-3x=13 p
  2. x=5x=5, care convine2 p

I.45 p

După o scumpire cu 60%60\%, un obiect costă 320320 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 200200 de lei

Criterii (după barem)

  1. x+60100⋅x=320x+\frac{60}{100}\cdot x=320, unde xx este prețul obiectului înainte de scumpire3 p
  2. x=200x=200 de lei2 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,0)A(3,0), B(3,2)B(3,2) și C(a,b)C(a,b), unde aa și bb sunt numere reale. Determinați numerele reale aa și bb, știind că punctul BB este mijlocul segmentului ACAC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=3a=3, b=4b=4

Criterii (după barem)

  1. a=3a=32 p
  2. 2=0+b22=\frac{0+b}{2}, de unde obținem b=4b=43 p

I.65 p

Arătați că 5cos⁡60∘−sin⁡30∘+4(sin⁡60∘)2=55\cos 60^\circ-\sin 30^\circ+4\left(\sin 60^\circ\right)^2=5.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}3 p
  2. 5cos⁡60∘−sin⁡30∘+4(sin⁡60∘)2=5⋅12−12+4⋅(32)2=52−12+4⋅34=55\cos 60^\circ-\sin 30^\circ+4\left(\sin 60^\circ\right)^2=5\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}+4\cdot\frac{3}{4}=52 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(2x−x−2)A(x)=\begin{pmatrix}2&x\\-x&-2\end{pmatrix}, unde xx este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡(A(5))=21\det\left(A(5)\right)=21.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(5)=(25−5−2)⇒det⁡(A(5))=∣25−5−2∣=2⋅(−2)−5⋅(−5)=A(5)=\begin{pmatrix}2&5\\-5&-2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(5)\right)=\begin{vmatrix}2&5\\-5&-2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-5\cdot(-5)=3 p
  2. =−4+25=21=-4+25=212 p

II.1.b5 p

Arătați că 2A(−1)+A(5)=3A(1)2A(-1)+A(5)=3A(1).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(−1)=(2−11−2)A(-1)=\begin{pmatrix}2&-1\\1&-2\end{pmatrix}, 2A(−1)+A(5)=(63−3−6)=2A(-1)+A(5)=\begin{pmatrix}6&3\\-3&-6\end{pmatrix}=3 p
  2. =3(21−1−2)=3A(1)=3\begin{pmatrix}2&1\\-1&-2\end{pmatrix}=3A(1)2 p

II.1.c5 p

Determinați mulțimea numerelor reale xx pentru care det⁡(A(x)⋅A(−x)−x2I2)≥0\det\left(A(x)\cdot A(-x)-x^2I_2\right)\ge 0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈[−1,1]x\in[-1,1]

Criterii (după barem)

  1. A(−x)=(2−xx−2)⇒A(x)⋅A(−x)−x2I2=(4−4x−4x4)A(-x)=\begin{pmatrix}2&-x\\x&-2\end{pmatrix}\Rightarrow A(x)\cdot A(-x)-x^2I_2=\begin{pmatrix}4&-4x\\-4x&4\end{pmatrix}, de unde obținem det⁡(A(x)⋅A(−x)−x2I2)=16(1−x2)\det\left(A(x)\cdot A(-x)-x^2I_2\right)=16\left(1-x^2\right), pentru orice număr real xx3 p
  2. 16(1−x2)≥016\left(1-x^2\right)\ge 0, de unde obținem x∈[−1,1]x\in[-1,1]2 p

II.2

Se consideră polinomul f=X3+mX2−X−mf=X^3+mX^2-X-m, unde mm este număr real.

II.2.a5 p

Arătați că f(1)=0f(1)=0, pentru orice număr real mm.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f(1)=13+m⋅12−1−m=f(1)=1^3+m\cdot 1^2-1-m=3 p
  2. =1+m−1−m=0=1+m-1-m=0, pentru orice număr real mm2 p

II.2.b5 p

Pentru m=−3m=-3, arătați că 33 este rădăcină a polinomului ff.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f=X3−3X2−X+3⇒f(3)=33−3⋅32−3+3=f=X^3-3X^2-X+3\Rightarrow f(3)=3^3-3\cdot 3^2-3+3=3 p
  2. =27−27−3+3=0=27-27-3+3=0, deci 33 este rădăcină a polinomului ff2 p

II.2.c5 p

Determinați numărul real mm pentru care (x1x2+x1x3+x2x3)2+x1x2x3(x1+x2+x3)=1\left(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\right)^2+x_1x_2x_3\left(x_1+x_2+x_3\right)=1, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=0m=0

Criterii (după barem)

  1. x1+x2+x3=−mx_1+x_2+x_3=-m, x1x2+x1x3+x2x3=−1x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1, x1x2x3=mx_1x_2x_3=m, pentru orice număr real mm3 p
  2. 1−m2=11-m^2=1, de unde obținem m=0m=02 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−1+4xf(x)=2x^2-1+\frac{4}{x}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=4(x3−1)x2f'(x)=\frac{4\left(x^3-1\right)}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=4x−4x2=f'(x)=4x-\frac{4}{x^2}=3 p
  2. =4x3−4x2=4(x3−1)x2=\frac{4x^3-4}{x^2}=\frac{4\left(x^3-1\right)}{x^2}, x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty)2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x=2, situat pe graficul funcției ff.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=7x−5y=7x-5

Criterii (după barem)

  1. f(2)=9f(2)=9, f′(2)=7f'(2)=72 p
  2. Ecuația tangentei este y−f(2)=f′(2)(x−2)y-f(2)=f'(2)(x-2), adică y=7x−5y=7x-53 p

III.1.c5 p

Arătați că 6≤2x2+4x≤336\le 2x^2+\frac{4}{x}\le 33, pentru orice x∈[14,4]x\in\left[\frac{1}{4},4\right].

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=0⇔x=1f'(x)=0\Leftrightarrow x=1; pentru orice x∈[14,1]x\in\left[\frac{1}{4},1\right], f′(x)≤0f'(x)\le 0, deci ff este descrescătoare pe [14,1]\left[\frac{1}{4},1\right] și, pentru orice x∈[1,4]x\in[1,4], f′(x)≥0f'(x)\ge 0, deci ff este crescătoare pe [1,4][1,4]2 p
  2. Cum f(14)=1218f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{121}{8}, f(1)=5f(1)=5, f(4)=32f(4)=32, obținem f(1)≤f(x)≤f(4)f(1)\le f(x)\le f(4), pentru orice x∈[14,4]x\in\left[\frac{1}{4},4\right], deci 6≤2x2+4x≤336\le 2x^2+\frac{4}{x}\le 33, pentru orice x∈[14,4]x\in\left[\frac{1}{4},4\right]3 p

III.2

Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−1+2ln⁡xf(x)=x-1+2\ln x.

III.2.a5 p

Arătați că ∫13(f(x)−2ln⁡x)dx=2\int_1^3\left(f(x)-2\ln x\right)dx=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫13(f(x)−2ln⁡x)dx=∫13(x−1) dx=x22∣13−x∣13=\int_1^3\left(f(x)-2\ln x\right)dx=\int_1^3(x-1)\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3-\left.x\right|_1^3=3 p
  2. =4−2=2=4-2=22 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫1ef(x)−x+1x dx=1\int_1^e\frac{f(x)-x+1}{x}\,dx=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. ∫1ef(x)−x+1x dx=∫1e2ln⁡xx dx=∫1e2ln⁡x⋅(ln⁡x)′ dx=ln⁡2x∣1e=\int_1^e\frac{f(x)-x+1}{x}\,dx=\int_1^e\frac{2\ln x}{x}\,dx=\int_1^e 2\ln x\cdot(\ln x)'\,dx=\left.\ln^2 x\right|_1^e=3 p
  2. =ln⁡2e−ln⁡21=1=\ln^2 e-\ln^2 1=12 p

III.2.c5 p

Determinați numărul real aa, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=3x(f(x)+1)g(x)=3x\left(f(x)+1\right), axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x=1 și x=3x=3 este egală cu a+27ln⁡3a+27\ln 3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=14a=14

Criterii (după barem)

  1. g(x)=3x(x+2ln⁡x)g(x)=3x(x+2\ln x), x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty), deci A=∫13∣g(x)∣dx=x3∣13+∫13(3x2)′⋅ln⁡x dx=\mathcal{A}=\int_1^3\left|g(x)\right|dx=\left.x^3\right|_1^3+\int_1^3\left(3x^2\right)'\cdot\ln x\,dx=3 p
  2. =26+3x2ln⁡x∣13−3x22∣13=14+27ln⁡3=26+\left.3x^2\ln x\right|_1^3-\left.\frac{3x^2}{2}\right|_1^3=14+27\ln 3, deci a+27ln⁡3=14+27ln⁡3a+27\ln 3=14+27\ln 3, de unde obținem a=14a=142 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică tehnologic.