Bacalaureat 2024 la matematică tehnologic: sesiunea a doua (august)

Subiectul oficial tehnologic, sesiunea a doua (august) 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că $(0{,}3+0{,}4)\cdot 10+2\cdot 0{,}5=8$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$(0{,}3+0{,}4)\cdot 10+2\cdot 0{,}5=0{,}7\cdot 10+1=$ 3 p
$=7+1=8$ 2 p

I.25 p

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=2x-1$ . Arătați că $f(1)+f(2)=4$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f(1)=1$ 2 p
$f(2)=3$ , de unde obținem $f(1)+f(2)=4$ 3 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_5(2x+1)=\log_5 5$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=2$

Criterii (după barem)

$2x+1=5$ , de unde obținem $2x=4$ 3 p
$x=2$ , care convine2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{11,21,31,41,51,61,71,81,91\}$ , acesta să fie divizibil cu $3$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $p=\frac{1}{3}$

Criterii (după barem)

Mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci sunt $9$ cazuri posibile2 p
Numerele, din mulțimea $A$ , care sunt divizibile cu $3$ sunt $21$ , $51$ și $81$ , deci sunt $3$ cazuri favorabile, de unde obținem $p=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ 3 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ , $B(m,2)$ și $C(5,3)$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ , știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=4$

Criterii (după barem)

$m=\frac{3+5}{2}=$ 3 p
$=4$ 2 p

I.65 p

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $BC=20$ și $AC=16$ . Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $48$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$AB=12$ 3 p
$P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=48$ 2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&1\\1&x\end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că $\det\left(A(1)\right)=2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\det\left(A(1)\right)=\begin{vmatrix}3&1\\1&1\end{vmatrix}=3\cdot 1-1\cdot 1=$ 3 p
$=3-1=2$ 2 p

II.1.b5 p

Arătați că $A(1)+A(5)=2A(3)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$A(1)+A(5)=\begin{pmatrix}3&1\\1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}11&1\\1&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&2\\2&6\end{pmatrix}=$ 3 p
$=2\begin{pmatrix}7&1\\1&3\end{pmatrix}=2A(3)$ 2 p

II.1.c5 p

Determinați matricea $X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $X\cdot A(1)=A(3)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $X=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&4\end{pmatrix}$

Criterii (după barem)

Inversa matricei $A(1)$ este matricea $\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}$ 3 p
$X=\begin{pmatrix}7&1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&4\end{pmatrix}$ 2 p

II.2

Se consideră polinomul $f=X^3+mX^2+2X-5$ , unde $m$ este număr real.

II.2.a5 p

Arătați că $f(0)=-5$ , pentru orice număr real $m$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f(0)=0^3+m\cdot 0^2+2\cdot 0-5=$ 3 p
$=0+0+0-5=-5$ , pentru orice număr real $m$ 2 p

II.2.b5 p

Determinați numărul real $m$ , știind că $1$ este rădăcină a polinomului $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=2$

Criterii (după barem)

$f(1)=0\Rightarrow 1^3+m\cdot 1^2+2\cdot 1-5=0$ 3 p
$m-2=0$ , de unde obținem $m=2$ 2 p

II.2.c5 p

Determinați numărul natural $m$ pentru care $x_1^2+x_2^2+x_3^2=5$ , unde $x_1$ , $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=3$

Criterii (după barem)

$x_1+x_2+x_3=-m$ , $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2$ 2 p
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\right)=m^2-4$ , deci $m^2-4=5$ și, cum $m$ este număr natural, obținem $m=3$ 3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f'(x)=\frac{2x}{\left(x^2+1\right)^2}$ , $x\in\mathbb{R}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f'(x)=\frac{\left(x^2\right)'\cdot\left(x^2+1\right)-x^2\cdot\left(x^2+1\right)'}{\left(x^2+1\right)^2}=$ 2 p
$=\frac{2x\left(x^2+1\right)-x^2\cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{2x}{\left(x^2+1\right)^2}$ , $x\in\mathbb{R}$ 3 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=1$

Criterii (după barem)

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2+1}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=1$ 3 p
Dreapta de ecuație $y=1$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ 2 p

III.1.c5 p

Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $f$ este descrescătoare pe $(-\infty,0]$ și crescătoare pe $[0,+\infty)$

Criterii (după barem)

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=0$ , $f'(x)\le 0$ , pentru orice $x\in(-\infty,0]\Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(-\infty,0]$ ;3 p
$f'(x)\ge 0$ , pentru orice $x\in[0,+\infty)\Rightarrow f$ este crescătoare pe $[0,+\infty)$ 2 p

III.2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=e^x(x+1)$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\int_0^1\frac{f(x)}{x+1}\,dx=e-1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\int_0^1\frac{f(x)}{x+1}\,dx=\int_0^1 e^x\,dx=\left.e^x\right|_0^1=$ 3 p
$=e-1$ 2 p

III.2.b5 p

Arătați că $\int_0^1 f(x)\,dx=e$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 e^x(x+1)\,dx=\left.e^x(x+1)\right|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=\left.e^x(x+1)\right|_0^1-\left.e^x\right|_0^1=$ 3 p
$=2e-1-e+1=e$ 2 p

III.2.c5 p

Determinați numărul real $a$ , $a>1$ , pentru care $\int_1^a\frac{2xf\left(x^2\right)}{x^2+1}\,dx=e\left(e^3-1\right)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=2$

Criterii (după barem)

$\int_1^a\frac{2xf\left(x^2\right)}{x^2+1}\,dx=\int_1^a 2xe^{x^2}\,dx=\int_1^a e^{x^2}\left(x^2\right)'\,dx=\left.e^{x^2}\right|_1^a=e^{a^2}-e$ 3 p
$e^{a^2}-e=e\left(e^3-1\right)\Rightarrow e^{a^2}=e^4$ și, cum $a>1$ , obținem $a=2$ 2 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică tehnologic.

Bacalaureat 2024 la matematică tehnologic: sesiunea a doua (august)

Subiectul I 30 p

I.15 p

Criterii (după barem)

I.25 p

Criterii (după barem)

I.35 p

Criterii (după barem)

I.45 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.65 p

Criterii (după barem)

Subiectul al II-lea 30 p

II.1.a5 p

Criterii (după barem)

II.1.b5 p

Criterii (după barem)

II.1.c5 p

Criterii (după barem)

II.2.a5 p

Criterii (după barem)

II.2.b5 p

Criterii (după barem)

II.2.c5 p

Criterii (după barem)

Subiectul al III-lea 30 p

III.1.a5 p

Criterii (după barem)

III.1.b5 p

Criterii (după barem)

III.1.c5 p

Criterii (după barem)

III.2.a5 p

Criterii (după barem)

III.2.b5 p

Criterii (după barem)

III.2.c5 p

Criterii (după barem)

Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?