Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2024 rezerva din august Bacalaureat 2024 la matematică tehnologic: rezerva din august
Subiectul oficial tehnologic, rezerva din august 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați că ( 1 2 + 1 4 ) ⋅ 4 3 = 1 \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{4}{3}=1 ( 2 1 + 4 1 ) ⋅ 3 4 = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ( 1 2 + 1 4 ) ⋅ 4 3 = ( 2 4 + 1 4 ) ⋅ 4 3 = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{4}{3}=\left(\frac{2}{4}+\frac{1}{4}\right)\cdot\frac{4}{3}= ( 2 1 + 4 1 ) ⋅ 3 4 = ( 4 2 + 4 1 ) ⋅ 3 4 = 2 p = 3 4 ⋅ 4 3 = 1 =\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=1 = 4 3 ⋅ 3 4 = 1 3 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 2 x − 8 f(x)=2x-8 f ( x ) = 2 x − 8 a a a f ( a ) = 0 f(a)=0 f ( a ) = 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 4 a=4 a = 4
Criterii (după barem) f ( a ) = 2 a − 8 f(a)=2a-8 f ( a ) = 2 a − 8 a a a 2 p 2 a − 8 = 0 2a-8=0 2 a − 8 = 0 a = 4 a=4 a = 4 3 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 x − 2 = 1 \sqrt{3x-2}=1 3 x − 2 = 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) 3 x − 2 = 1 3x-2=1 3 x − 2 = 1 3 x = 3 3x=3 3 x = 3 3 p x = 1 x=1 x = 1 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n n n A = { 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 } A=\{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\} A = { 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 } 2 2 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: p = 1 5 p=\frac{1}{5} p = 5 1
Criterii (după barem) Mulțimea A A A 10 10 10 10 10 10 2 p Numerele, din mulțimea A A A 2 2 2 11 11 11 20 20 20 2 2 2 p = 2 10 = 1 5 p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} p = 10 2 = 5 1 3 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 3 , 4 ) A(3,4) A ( 3 , 4 ) B ( 6 , 8 ) B(6,8) B ( 6 , 8 ) O A = A B OA=AB O A = A B
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) O A = 3 2 + 4 2 = 5 OA=\sqrt{3^2+4^2}=5 O A = 3 2 + 4 2 = 5 2 p A B = 3 2 + 4 2 = 5 AB=\sqrt{3^2+4^2}=5 A B = 3 2 + 4 2 = 5 O A = A B OA=AB O A = A B 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 12 AB=12 A B = 12 A C = 8 AC=8 A C = 8 M M M A B AB A B C M = 10 CM=10 CM = 10
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A M = 6 AM=6 A M = 6 2 p C M = A C 2 + A M 2 = 10 CM=\sqrt{AC^2+AM^2}=10 CM = A C 2 + A M 2 = 10 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( x ) = ( x − 1 2 1 x ) A(x)=\begin{pmatrix}x-1&2\\1&x\end{pmatrix} A ( x ) = ( x − 1 1 2 x ) x x x
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 0 \det\left(A(2)\right)=0 det ( A ( 2 ) ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 2 ) = ( 1 2 1 2 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = ∣ 1 2 1 2 ∣ = 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 = A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(2)\right)=\begin{vmatrix}1&2\\1&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-1\cdot 2= A ( 2 ) = ( 1 1 2 2 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = 1 1 2 2 = 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 2 = 3 p = 2 − 2 = 0 =2-2=0 = 2 − 2 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că A ( 3 ) + 2 I 2 = A ( 5 ) A(3)+2I_2=A(5) A ( 3 ) + 2 I 2 = A ( 5 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 3 ) + 2 I 2 = ( 2 2 1 3 ) + ( 2 0 0 2 ) = ( 4 2 1 5 ) = A(3)+2I_2=\begin{pmatrix}2&2\\1&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\1&5\end{pmatrix}= A ( 3 ) + 2 I 2 = ( 2 1 2 3 ) + ( 2 0 0 2 ) = ( 4 1 2 5 ) = 3 p = ( 5 − 1 2 1 5 ) = A ( 5 ) =\begin{pmatrix}5-1&2\\1&5\end{pmatrix}=A(5) = ( 5 − 1 1 2 5 ) = A ( 5 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați numerele reale x x x det ( A ( x ) + x I 2 ) = 0 \det\left(A(x)+xI_2\right)=0 det ( A ( x ) + x I 2 ) = 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1 x = − 1 2 x=-\frac{1}{2} x = − 2 1
Criterii (după barem) A ( x ) + x I 2 = ( x − 1 2 1 x ) + ( x 0 0 x ) = ( 2 x − 1 2 1 2 x ) A(x)+xI_2=\begin{pmatrix}x-1&2\\1&x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-1&2\\1&2x\end{pmatrix} A ( x ) + x I 2 = ( x − 1 1 2 x ) + ( x 0 0 x ) = ( 2 x − 1 1 2 2 x ) det ( A ( x ) + x I 2 ) = 4 x 2 − 2 x − 2 \det\left(A(x)+xI_2\right)=4x^2-2x-2 det ( A ( x ) + x I 2 ) = 4 x 2 − 2 x − 2 x x x 3 p 4 x 2 − 2 x − 2 = 0 4x^2-2x-2=0 4 x 2 − 2 x − 2 = 0 x = 1 x=1 x = 1 x = − 1 2 x=-\frac{1}{2} x = − 2 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = 2 x + 2 y − 1 x\circ y=2x+2y-1 x ∘ y = 2 x + 2 y − 1
II.2.a 5 p Arătați că 2 ∘ 1 = 5 2\circ 1=5 2 ∘ 1 = 5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 2 ∘ 1 = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 − 1 = 2\circ 1=2\cdot 2+2\cdot 1-1= 2 ∘ 1 = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 − 1 = 3 p = 4 + 2 − 1 = 5 =4+2-1=5 = 4 + 2 − 1 = 5 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real x x x x ∘ ( x + 1 ) = 5 x\circ(x+1)=5 x ∘ ( x + 1 ) = 5
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) x ∘ ( x + 1 ) = 2 x + 2 ( x + 1 ) − 1 = 4 x + 1 x\circ(x+1)=2x+2(x+1)-1=4x+1 x ∘ ( x + 1 ) = 2 x + 2 ( x + 1 ) − 1 = 4 x + 1 x x x 3 p 4 x + 1 = 5 4x+1=5 4 x + 1 = 5 x = 1 x=1 x = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Arătați că x ∘ x ≤ 4 x 2 x\circ x\le 4x^2 x ∘ x ≤ 4 x 2 x x x
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x ∘ x = 4 x − 1 x\circ x=4x-1 x ∘ x = 4 x − 1 x x x 2 p 4 x − 1 = − 4 x 2 + 4 x − 1 + 4 x 2 = − ( 2 x − 1 ) 2 + 4 x 2 ≤ 4 x 2 4x-1=-4x^2+4x-1+4x^2=-(2x-1)^2+4x^2\le 4x^2 4 x − 1 = − 4 x 2 + 4 x − 1 + 4 x 2 = − ( 2 x − 1 ) 2 + 4 x 2 ≤ 4 x 2 x x x 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = x − 2 ln x f(x)=x-2\ln x f ( x ) = x − 2 ln x
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = x − 2 x f'(x)=\frac{x-2}{x} f ′ ( x ) = x x − 2 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = x ′ − 2 ⋅ ( ln x ) ′ = f'(x)=x'-2\cdot(\ln x)'= f ′ ( x ) = x ′ − 2 ⋅ ( ln x ) ′ = 2 p = 1 − 2 ⋅ 1 x = x − 2 x =1-2\cdot\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x} = 1 − 2 ⋅ x 1 = x x − 2 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 3 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = 1 x=1 x = 1 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = − x + 2 y=-x+2 y = − x + 2
Criterii (după barem) f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1 f ′ ( 1 ) = − 1 f'(1)=-1 f ′ ( 1 ) = − 1 2 p Ecuația tangentei este y − f ( 1 ) = f ′ ( 1 ) ( x − 1 ) y-f(1)=f'(1)(x-1) y − f ( 1 ) = f ′ ( 1 ) ( x − 1 ) y = − x + 2 y=-x+2 y = − x + 2 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că ln ( x 2 ) ≤ x − 2 2 \ln\left(\frac{x}{2}\right)\le\frac{x-2}{2} ln ( 2 x ) ≤ 2 x − 2 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 2 f'(x)=0\Leftrightarrow x=2 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 2 f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 x ∈ ( 0 , 2 ] ⇒ f x\in(0,2]\Rightarrow f x ∈ ( 0 , 2 ] ⇒ f ( 0 , 2 ] (0,2] ( 0 , 2 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 x ∈ [ 2 , + ∞ ) ⇒ f x\in[2,+\infty)\Rightarrow f x ∈ [ 2 , + ∞ ) ⇒ f [ 2 , + ∞ ) [2,+\infty) [ 2 , + ∞ ) 3 p f ( 2 ) = 2 − 2 ln 2 f(2)=2-2\ln 2 f ( 2 ) = 2 − 2 ln 2 2 − 2 ln 2 ≤ f ( x ) 2-2\ln 2\le f(x) 2 − 2 ln 2 ≤ f ( x ) x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) ln ( x 2 ) ≤ x − 2 2 \ln\left(\frac{x}{2}\right)\le\frac{x-2}{2} ln ( 2 x ) ≤ 2 x − 2 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 1 x 2 + 1 f(x)=\frac{1}{x^2+1} f ( x ) = x 2 + 1 1
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 3 1 f ( x ) d x = 12 \int_0^3\frac{1}{f(x)}\,dx=12 ∫ 0 3 f ( x ) 1 d x = 12
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 3 1 f ( x ) d x = ∫ 0 3 ( x 2 + 1 ) d x = ( x 3 3 + x ) ∣ 0 3 = \int_0^3\frac{1}{f(x)}\,dx=\int_0^3\left(x^2+1\right)dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\right|_0^3= ∫ 0 3 f ( x ) 1 d x = ∫ 0 3 ( x 2 + 1 ) d x = ( 3 x 3 + x ) 0 3 = 3 p = 27 3 + 3 = 12 =\frac{27}{3}+3=12 = 3 27 + 3 = 12 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați că ∫ 2 3 2 x f ( x ) d x = ln 2 \int_2^3 2xf(x)\,dx=\ln 2 ∫ 2 3 2 x f ( x ) d x = ln 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 2 3 2 x f ( x ) d x = ∫ 2 3 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 2 3 ( x 2 + 1 ) ′ x 2 + 1 d x = ln ( x 2 + 1 ) ∣ 2 3 = \int_2^3 2xf(x)\,dx=\int_2^3\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\int_2^3\frac{\left(x^2+1\right)'}{x^2+1}\,dx=\left.\ln\left(x^2+1\right)\right|_2^3= ∫ 2 3 2 x f ( x ) d x = ∫ 2 3 x 2 + 1 2 x d x = ∫ 2 3 x 2 + 1 ( x 2 + 1 ) ′ d x = ln ( x 2 + 1 ) 2 3 = 3 p = ln 10 − ln 5 = ln 2 =\ln 10-\ln 5=\ln 2 = ln 10 − ln 5 = ln 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați numărul real a a a ∫ 1 2 e x f ( x ) d x = e ( a e − a + 1 ) \int_1^2\frac{e^x}{f(x)}\,dx=e(ae-a+1) ∫ 1 2 f ( x ) e x d x = e ( a e − a + 1 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) ∫ 1 2 e x f ( x ) d x = ∫ 1 2 e x ( x 2 + 1 ) d x = e x ( x 2 + 1 ) ∣ 1 2 − ∫ 1 2 2 x e x d x = 5 e 2 − 2 e − ( 2 x e x − 2 e x ) ∣ 1 2 = 3 e 2 − 2 e \int_1^2\frac{e^x}{f(x)}\,dx=\int_1^2 e^x\left(x^2+1\right)dx=\left.e^x\left(x^2+1\right)\right|_1^2-\int_1^2 2xe^x\,dx=5e^2-2e-\left.\left(2xe^x-2e^x\right)\right|_1^2=3e^2-2e ∫ 1 2 f ( x ) e x d x = ∫ 1 2 e x ( x 2 + 1 ) d x = e x ( x 2 + 1 ) 1 2 − ∫ 1 2 2 x e x d x = 5 e 2 − 2 e − ( 2 x e x − 2 e x ) ∣ 1 2 = 3 e 2 − 2 e 3 p e ( 3 e − 2 ) = e ( a e − a + 1 ) e(3e-2)=e(ae-a+1) e ( 3 e − 2 ) = e ( a e − a + 1 ) a = 3 a=3 a = 3 2 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.