Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2025 examenul din vară Bacalaureat 2025 la matematică tehnologic: examenul din vară
Subiectul oficial tehnologic, examenul din vară 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați 1 / 10 + 3 ( 1 / 2 − 1 / 5 ) = 1 1/10+3(1/2-1/5)=1 1/10 + 3 ( 1/2 − 1/5 ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Paranteza este 3 / 10 3/10 3/10 3 p 1 / 10 + 9 / 10 = 1 1/10+9/10=1 1/10 + 9/10 = 1 2 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p f ( x ) = 6 x − 3 f(x)=6x-3 f ( x ) = 6 x − 3 f ( 2 ) = a + f ( 0 ) f(2)=a+f(0) f ( 2 ) = a + f ( 0 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 12 a=12 a = 12
Criterii (după barem) f ( 2 ) = 9 f(2)=9 f ( 2 ) = 9 f ( 0 ) = − 3 f(0)=-3 f ( 0 ) = − 3 2 p 9 = a − 3 9=a-3 9 = a − 3 3 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați 5 2 x = 5 3 − x 5^{2x}=5^{3-x} 5 2 x = 5 3 − x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) Egalează exponenții: 2 x = 3 − x 2x=3-x 2 x = 3 − x 3 p 3 x = 3 3x=3 3 x = 3 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Alegi uniform n ∈ { 0 , 1 , … , 9 } n\in\{0,1,\ldots,9\} n ∈ { 0 , 1 , … , 9 } 6 n > 25 6n>25 6 n > 25
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 1 / 2 1/2 1/2
Criterii (după barem) Valorile favorabile sunt 5,6,7,8,9. 2 p Cinci cazuri din zece dau p=1/2. 3 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p A ( 2 , 0 ) A(2,0) A ( 2 , 0 ) B ( 2 , 1 ) B(2,1) B ( 2 , 1 ) C ( 6 , 4 ) C(6,4) C ( 6 , 4 ) B C = a ⋅ A B BC=a\cdot AB BC = a ⋅ A B
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 5 a=5 a = 5
Criterii (după barem) A B = 1 AB=1 A B = 1 B C = 4 2 + 3 2 = 5 BC=\sqrt{4^2+3^2}=5 BC = 4 2 + 3 2 = 5 2 p 5 = a ⋅ 1 5=a\cdot1 5 = a ⋅ 1 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p M N P MNP MNP M N = 8 = 4 M P MN=8=4MP MN = 8 = 4 MP
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) M P = 8 / 4 = 2 MP=8/4=2 MP = 8/4 = 2 2 p Aria este M N ⋅ M P / 2 = 8 ⋅ 2 / 2 = 8 MN\cdot MP/2=8\cdot2/2=8 MN ⋅ MP /2 = 8 ⋅ 2/2 = 8 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
A = ( 5 2 2 1 ) A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix} A = ( 5 2 2 1 ) B = ( 5 3 3 − 1 ) B=\begin{pmatrix}5&3\\3&-1\end{pmatrix} B = ( 5 3 3 − 1 ) I 2 I_2 I 2
II.1.a 5 p Arătați det A = 1 \det A=1 det A = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Aplică formula ad-bc. 3 p 5 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 = 1 5\cdot1-2\cdot2=1 5 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Determinați x cu 3 A − 5 I 2 = x B 3A-5I_2=xB 3 A − 5 I 2 = x B
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 2 x=2 x = 2
Criterii (după barem) 3 A − 5 I 2 = ( 10 6 6 − 2 ) 3A-5I_2=\begin{pmatrix}10&6\\6&-2\end{pmatrix} 3 A − 5 I 2 = ( 10 6 6 − 2 ) 3 p Aceasta este 2B; primul element impune unic x=2. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R det ( A ( B − A ) + x I 2 ) ≤ 2 \det(A(B-A)+xI_2)\le2 det ( A ( B − A ) + x I 2 ) ≤ 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ [ − 3 , 1 ] x\in[-3,1] x ∈ [ − 3 , 1 ]
Criterii (după barem) A ( B − A ) = ( 2 1 1 0 ) A(B-A)=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix} A ( B − A ) = ( 2 1 1 0 ) x 2 + 2 x − 1 x^2+2x-1 x 2 + 2 x − 1 3 p Inegalitatea este ( x + 3 ) ( x − 1 ) ≤ 0 (x+3)(x-1)\le0 ( x + 3 ) ( x − 1 ) ≤ 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2
f = X 3 − 3 X 2 + X + m f=X^3-3X^2+X+m f = X 3 − 3 X 2 + X + m m ∈ R m\in\mathbb R m ∈ R
II.2.a 5 p Pentru m=1 arătați f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește X=1 și m=1. 3 p 1 − 3 + 1 + 1 = 0 1-3+1+1=0 1 − 3 + 1 + 1 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați m cu 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 1 + x 1 x 2 x 3 2x_1+2x_2+2x_3=1+x_1x_2x_3 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 1 + x 1 x 2 x 3 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x 1 , x 2 , x 3
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = − 5 m=-5 m = − 5
Criterii (după barem) Viète dă suma rădăcinilor 3 și produsul -m. 3 p 2 ⋅ 3 = 1 − m 2\cdot3=1-m 2 ⋅ 3 = 1 − m 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Restul împărțirii lui f la X-2 este -5. Arătați X 2 + 1 ∣ f X^2+1\mid f X 2 + 1 ∣ f
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Teorema restului dă f ( 2 ) = m − 2 = − 5 f(2)=m-2=-5 f ( 2 ) = m − 2 = − 5 3 p X 3 − 3 X 2 + X − 3 = ( X 2 + 1 ) ( X − 3 ) X^3-3X^2+X-3=(X^2+1)(X-3) X 3 − 3 X 2 + X − 3 = ( X 2 + 1 ) ( X − 3 ) 2 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = ( x − 2 ) / e x f(x)=(x-2)/e^x f ( x ) = ( x − 2 ) / e x
III.1.a 5 p Arătați f ′ ( x ) = ( 3 − x ) / e x f\prime(x)=(3-x)/e^x f ′ ( x ) = ( 3 − x ) / e x
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Scrie f = ( x − 2 ) e − x f=(x-2)e^{-x} f = ( x − 2 ) e − x 3 p f ′ = e − x − ( x − 2 ) e − x = ( 3 − x ) e − x f\prime=e^{-x}-(x-2)e^{-x}=(3-x)e^{-x} f ′ = e − x − ( x − 2 ) e − x = ( 3 − x ) e − x 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați tangenta la abscisa 0.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 3 x − 2 y=3x-2 y = 3 x − 2
Criterii (după barem) f ( 0 ) = − 2 f(0)=-2 f ( 0 ) = − 2 f ′ ( 0 ) = 3 f\prime(0)=3 f ′ ( 0 ) = 3 2 p Formula tangentei dă y+2=3x, deci y=3x-2. 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați − e x − 1 ≤ x − 2 ≤ e x − 3 -e^{x-1}\le x-2\le e^{x-3} − e x − 1 ≤ x − 2 ≤ e x − 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f crește până la 3, apoi scade. Pe [1,4], minimul este f(1)=-1/e, deoarece f(4)>0; maximul este f(3)=1/e³. 2 p Înmulțește − 1 / e ≤ ( x − 2 ) / e x ≤ 1 / e 3 -1/e\le(x-2)/e^x\le1/e^3 − 1/ e ≤ ( x − 2 ) / e x ≤ 1/ e 3 e x > 0 e^x>0 e x > 0 3 p Semnalează o greșeală
III.2
f ( x ) = x 2 + 4 x + 8 f(x)=x^2+4x+8 f ( x ) = x 2 + 4 x + 8 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.2.a 5 p Arătați ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 2 − 8 ) d x = 2 \int_0^1(f(x)-x^2-8)\,dx=2 ∫ 0 1 ( f ( x ) − x 2 − 8 ) d x = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul se reduce la 4x. 3 p [ 2 x 2 ] 0 1 = 2 [2x^2]_0^1=2 [ 2 x 2 ] 0 1 = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați ∫ 0 8 x / ( f ( x ) − 4 x ) d x = ln 3 \int_0^8x/(f(x)-4x)\,dx=\ln3 ∫ 0 8 x / ( f ( x ) − 4 x ) d x = ln 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul este x / ( x 2 + 8 ) x/(x^2+8) x / ( x 2 + 8 ) 1 2 ln ( x 2 + 8 ) \frac12\ln(x^2+8) 2 1 ln ( x 2 + 8 ) 3 p Valoarea este 1 2 ln ( 72 / 8 ) = 1 2 ln 9 = ln 3 \frac12\ln(72/8)=\frac12\ln9=\ln3 2 1 ln ( 72/8 ) = 2 1 ln 9 = ln 3 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați a>0 cu ∫ 0 a d x / ( f ( x ) − 4 ) = 1 / 4 \int_0^a dx/(f(x)-4)=1/4 ∫ 0 a d x / ( f ( x ) − 4 ) = 1/4
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 2 a=2 a = 2
Criterii (după barem) f ( x ) − 4 = ( x + 2 ) 2 f(x)-4=(x+2)^2 f ( x ) − 4 = ( x + 2 ) 2 [ − 1 / ( x + 2 ) ] 0 a = 1 / 2 − 1 / ( a + 2 ) [-1/(x+2)]_0^a=1/2-1/(a+2) [ − 1/ ( x + 2 ) ] 0 a = 1/2 − 1/ ( a + 2 ) 3 p Din 1 / ( a + 2 ) = 1 / 4 1/(a+2)=1/4 1/ ( a + 2 ) = 1/4 2 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.