Bacalaureat 2023 la matematică tehnologic: modelul oficial

Subiectul oficial tehnologic, modelul oficial 2023, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Progresie aritmetică a₂=7,a₆=23. Determinați a₁.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 3

Criterii (după barem)

  1. Între a₂ și a₆ sunt patru rații: r=(23-7)/4=4.3 p
  2. a₁=7-4=3.2 p

I.25 p

f(x)=8x-5. A(a,3a) aparține graficului. Determinați a.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=1a=1

Criterii (după barem)

  1. Condiția este 8a-5=3a.3 p
  2. 5a=5, deci a=1.2 p

I.35 p

Rezolvați log⁡4x+log⁡4(3x)=log⁡412\log_4x+\log_4(3x)=\log_4 12.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Criterii (după barem)

  1. Domeniul cere x>0. Suma devine log₄(3x²), deci 3x²=12.3 p
  2. x²=4; numai x=2 este pozitiv.2 p

I.45 p

Alegi n uniform dintre numerele naturale de două cifre. Probabilitatea ca n\sqrt n să fie natural par?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1/301/30

Criterii (după barem)

  1. Pătratele numerelor naturale pare care au două cifre sunt 16,36,64.2 p
  2. Sunt trei cazuri din 90, deci p=3/90=1/30.3 p

I.55 p

A(-3,2),B(1,4),C(6,0). Distanța dintre mijloacele AB și OC?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 5

Criterii (după barem)

  1. Mijloacele sunt M(-1,3) și N(3,0).2 p
  2. MN=√(4²+(-3)²)=5.3 p

I.65 p

ABC dreptunghic în A, BC=16,B=30°. Arătați aria 32332\sqrt3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. AC=16sin30°=8, AB=16cos30°=8√3.2 p
  2. Aria este 8·8√3/2=32√3.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

A=(−33−2−1)A=\begin{pmatrix}-3&3\\-2&-1\end{pmatrix}, B(x)=(x+1−32x−1)B(x)=\begin{pmatrix}x+1&-3\\2&x-1\end{pmatrix}, x∈Rx\in\mathbb R.

II.1.a5 p

Arătați det⁡A=9\det A=9.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Determinantul este (-3)(-1)-3(-2).3 p
  2. 3+6=9.2 p

II.1.b5 p

Determinați x cu B(3)B(4)=xB(1)B(3)B(4)=xB(1).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=7x=7

Criterii (după barem)

  1. Produsul este [[14,-21],[14,0]].3 p
  2. Acesta este 7[[2,-3],[2,0]]=7B(1); x=7 unic.2 p

II.1.c5 p

Determinați a pentru care B(a) este inversa lui C=A/9.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−2a=-2

Criterii (după barem)

  1. C^-1=9A^-1=adj(A)=[[-1,-3],[2,-3]], deoarece det A=9.2 p
  2. Comparând cu B(a), obții a+1=-1 și a-1=-3, ambele echivalente cu a=-2.3 p

II.2

f=X3+X2+mX−4f=X^3+X^2+mX-4, m∈Rm\in\mathbb R.

II.2.a5 p

Pentru m=1 arătați f(2)=10.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Înlocuiește: 8+4+2-4.3 p
  2. Suma este 10.2 p

II.2.b5 p

Pentru m=-4 determinați rădăcinile lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{−2,−1,2}x\in\{-2,-1,2\}

Criterii (după barem)

  1. f=X³+X²-4X-4=(X+1)(X²-4).2 p
  2. Factorizează încă o dată: (X+1)(X-2)(X+2). Rădăcinile sunt -1,2,-2.3 p

II.2.c5 p

Arătați că f nu are toate rădăcinile reale pentru orice m natural nenul.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f′(x)=3x²+2x+m=3(x+1/3)²+m-1/3>0 pentru m≥1.3 p
  2. Cubica este strict crescătoare, cu limite -∞ și +∞, deci are exact o rădăcină reală. Derivata pozitivă exclude o rădăcină reală multiplă; celelalte două sunt nereale.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

f:(−2,+∞)→Rf:(-2,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=(x2−2x+1)/(x+2)f(x)=(x^2-2x+1)/(x+2).

III.1.a5 p

Arătați f′(x)=(x2+4x−5)/(x+2)2f\prime(x)=(x^2+4x-5)/(x+2)^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Împărțirea dă f=x-4+9/(x+2).3 p
  2. Derivând: f′=1-9/(x+2)²=(x²+4x-5)/(x+2)².2 p

III.1.b5 p

Arătați lim⁡x→+∞f(x)/ex=0\lim_{x\to+\infty}f(x)/e^x=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Scrie raportul ca x/e^x-4/e^x+9/((x+2)e^x).3 p
  2. Fiecare termen tinde la zero; pentru x/e^x poți aplica l’Hospital. Rezultatul este 0.2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că f este convexă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Derivata a doua este f″=18/(x+2)³.3 p
  2. Pe x>-2, aceasta este pozitivă, deci f este strict convexă pe întreg domeniul.2 p

III.2

f:(−1,+∞)→Rf:(-1,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=x+1+1/x+1f(x)=x+1+1/\sqrt{x+1}.

III.2.a5 p

Arătați ∫13(f(x)−1/x+1) dx=6\int_1^3(f(x)-1/\sqrt{x+1})\,dx=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Integrandul este x+1, cu primitiva x²/2+x.3 p
  2. [x²/2+x]₁³=15/2-3/2=6.2 p

III.2.b5 p

Arătați ∫08(f(x)−x−1) dx=4\int_0^8(f(x)-x-1)\,dx=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Integrandul este (x+1)^-1/2, cu primitiva 2√(x+1).3 p
  2. Evaluând: 2(3-1)=4.2 p

III.2.c5 p

Pentru g=f pe [0,3], arătați volumul de rotație V=π(91/3+ln⁡4)V=\pi(91/3+\ln4).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f²=(x+1)²+2√(x+1)+1/(x+1). Volumul este π∫₀³f².2 p
  2. Cele trei integrale sunt 21,28/3 și ln4. Suma este 91/3+ln4, deci volumul are valoarea cerută.3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică tehnologic.