Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2024 sesiunea specială Bacalaureat 2024 la matematică tehnologic: sesiunea specială
Subiectul oficial tehnologic, sesiunea specială 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați că 2 ⋅ ( 3 + 2 2 ) − 3 2 + 3 = 7 \sqrt{2}\cdot\left(3+2\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}+3=7 2 ⋅ ( 3 + 2 2 ) − 3 2 + 3 = 7
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 2 ⋅ ( 3 + 2 2 ) − 3 2 + 3 = 3 2 + 2 2 ⋅ 2 − 3 2 + 3 = \sqrt{2}\cdot\left(3+2\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}+3=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-3\sqrt{2}+3= 2 ⋅ ( 3 + 2 2 ) − 3 2 + 3 = 3 2 + 2 2 ⋅ 2 − 3 2 + 3 = 2 p = 4 + 3 = 7 =4+3=7 = 4 + 3 = 7 3 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 3 x − 6 f(x)=3x-6 f ( x ) = 3 x − 6 m m m f ( m ) = 3 f(m)=3 f ( m ) = 3
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 3 m=3 m = 3
Criterii (după barem) f ( m ) = 3 m − 6 f(m)=3m-6 f ( m ) = 3 m − 6 m m m 3 p 3 m − 6 = 3 3m-6=3 3 m − 6 = 3 m = 3 m=3 m = 3 2 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 4 x − 2 = 5 2 5^{4x-2}=5^2 5 4 x − 2 = 5 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) 4 x − 2 = 2 4x-2=2 4 x − 2 = 2 4 x = 4 4x=4 4 x = 4 3 p x = 1 x=1 x = 1 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Prețul unui obiect este 300 300 300 30 % 30\% 30%
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 210 210 210
Criterii (după barem) 30 100 ⋅ 300 = 90 \frac{30}{100}\cdot 300=90 100 30 ⋅ 300 = 90 3 p Prețul după ieftinire este 300 − 90 = 210 300-90=210 300 − 90 = 210 2 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 1 , 1 ) A(1,1) A ( 1 , 1 ) B ( 5 , m ) B(5,m) B ( 5 , m ) M ( 3 , 4 ) M(3,4) M ( 3 , 4 ) m m m M M M A B AB A B
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 7 m=7 m = 7
Criterii (după barem) 3 = 1 + 5 2 3=\frac{1+5}{2} 3 = 2 1 + 5 4 = m + 1 2 4=\frac{m+1}{2} 4 = 2 m + 1 3 p m = 7 m=7 m = 7 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că 2 ( sin 45 ∘ + sin 30 ∘ ) ( sin 45 ∘ − sin 30 ∘ ) = cos 60 ∘ 2\left(\sin 45^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 45^\circ-\sin 30^\circ\right)=\cos 60^\circ 2 ( sin 4 5 ∘ + sin 3 0 ∘ ) ( sin 4 5 ∘ − sin 3 0 ∘ ) = cos 6 0 ∘
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 sin 45 ∘ = 2 2 \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} sin 4 5 ∘ = 2 2 cos 60 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ=\frac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 3 p 2 ( sin 45 ∘ + sin 30 ∘ ) ( sin 45 ∘ − sin 30 ∘ ) = 2 ( ( 2 2 ) 2 − ( 1 2 ) 2 ) = 1 2 = cos 60 ∘ 2\left(\sin 45^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 45^\circ-\sin 30^\circ\right)=2\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)=\frac{1}{2}=\cos 60^\circ 2 ( sin 4 5 ∘ + sin 3 0 ∘ ) ( sin 4 5 ∘ − sin 3 0 ∘ ) = 2 ( ( 2 2 ) 2 − ( 2 1 ) 2 ) = 2 1 = cos 6 0 ∘ 2 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( x ) = ( 1 x x + 1 0 ) A(x)=\begin{pmatrix}1&x\\x+1&0\end{pmatrix} A ( x ) = ( 1 x + 1 x 0 ) x x x
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 0 \det\left(A(0)\right)=0 det ( A ( 0 ) ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 0 ) = ( 1 0 1 0 ) ⇒ det ( A ( 0 ) ) = ∣ 1 0 1 0 ∣ = 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 = A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(0)\right)=\begin{vmatrix}1&0\\1&0\end{vmatrix}=1\cdot 0-1\cdot 0= A ( 0 ) = ( 1 1 0 0 ) ⇒ det ( A ( 0 ) ) = 1 1 0 0 = 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 = 3 p = 0 − 0 = 0 =0-0=0 = 0 − 0 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că A ( 3 ) + A ( 5 ) = 2 A ( 4 ) A(3)+A(5)=2A(4) A ( 3 ) + A ( 5 ) = 2 A ( 4 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 3 ) + A ( 5 ) = ( 1 3 4 0 ) + ( 1 5 6 0 ) = ( 2 8 10 0 ) = A(3)+A(5)=\begin{pmatrix}1&3\\4&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&5\\6&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&8\\10&0\end{pmatrix}= A ( 3 ) + A ( 5 ) = ( 1 4 3 0 ) + ( 1 6 5 0 ) = ( 2 10 8 0 ) = 3 p = 2 ( 1 4 5 0 ) = 2 A ( 4 ) =2\begin{pmatrix}1&4\\5&0\end{pmatrix}=2A(4) = 2 ( 1 5 4 0 ) = 2 A ( 4 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați numerele naturale n n n det ( A ( n ) + I 2 ) ≥ 0 \det\left(A(n)+I_2\right)\ge 0 det ( A ( n ) + I 2 ) ≥ 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: n = 0 n=0 n = 0 n = 1 n=1 n = 1
Criterii (după barem) A ( n ) + I 2 = ( 1 n n + 1 0 ) + ( 1 0 0 1 ) = ( 2 n n + 1 1 ) A(n)+I_2=\begin{pmatrix}1&n\\n+1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&n\\n+1&1\end{pmatrix} A ( n ) + I 2 = ( 1 n + 1 n 0 ) + ( 1 0 0 1 ) = ( 2 n + 1 n 1 ) det ( A ( n ) + I 2 ) = 2 − n ( n + 1 ) \det\left(A(n)+I_2\right)=2-n(n+1) det ( A ( n ) + I 2 ) = 2 − n ( n + 1 ) n n n 2 p n ( n + 1 ) ≤ 2 n(n+1)\le 2 n ( n + 1 ) ≤ 2 n n n n = 0 n=0 n = 0 n = 1 n=1 n = 1 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 + m X − 1 f=X^3-3X^2+mX-1 f = X 3 − 3 X 2 + m X − 1 m m m
II.2.a 5 p Arătați că f ( 0 ) = − 1 f(0)=-1 f ( 0 ) = − 1 m m m
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ( 0 ) = 0 3 − 3 ⋅ 0 2 + m ⋅ 0 − 1 = f(0)=0^3-3\cdot 0^2+m\cdot 0-1= f ( 0 ) = 0 3 − 3 ⋅ 0 2 + m ⋅ 0 − 1 = 3 p = 0 − 0 + 0 − 1 = − 1 =0-0+0-1=-1 = 0 − 0 + 0 − 1 = − 1 m m m 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Arătați că x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 x_1+x_2+x_3=3x_1x_2x_3 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 m m m x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x 1 + x 2 + x 3 = 3 x_1+x_2+x_3=3 x 1 + x 2 + x 3 = 3 2 p x 1 x 2 x 3 = 1 x_1x_2x_3=1 x 1 x 2 x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 x_1+x_2+x_3=3x_1x_2x_3 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 m m m 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numărul real m m m f f f X − 1 X-1 X − 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 3 m=3 m = 3
Criterii (după barem) f ( 1 ) = 1 3 − 3 ⋅ 1 2 + m ⋅ 1 − 1 = 1 − 3 + m − 1 = m − 3 f(1)=1^3-3\cdot 1^2+m\cdot 1-1=1-3+m-1=m-3 f ( 1 ) = 1 3 − 3 ⋅ 1 2 + m ⋅ 1 − 1 = 1 − 3 + m − 1 = m − 3 m m m 2 p f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 m = 3 m=3 m = 3 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x x 2 + 1 f(x)=\frac{x}{x^2+1} f ( x ) = x 2 + 1 x
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 1 − x 2 ( x 2 + 1 ) 2 f'(x)=\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2} f ′ ( x ) = ( x 2 + 1 ) 2 1 − x 2 x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = x ′ ⋅ ( x 2 + 1 ) − x ⋅ ( x 2 + 1 ) ′ ( x 2 + 1 ) 2 = f'(x)=\frac{x'\cdot\left(x^2+1\right)-x\cdot\left(x^2+1\right)'}{\left(x^2+1\right)^2}= f ′ ( x ) = ( x 2 + 1 ) 2 x ′ ⋅ ( x 2 + 1 ) − x ⋅ ( x 2 + 1 ) ′ = 3 p = x 2 + 1 − 2 x 2 ( x 2 + 1 ) 2 = 1 − x 2 ( x 2 + 1 ) 2 =\frac{x^2+1-2x^2}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2} = ( x 2 + 1 ) 2 x 2 + 1 − 2 x 2 = ( x 2 + 1 ) 2 1 − x 2 x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Arătați că lim x → + ∞ x f ( x ) = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}xf(x)=1 x → + ∞ lim x f ( x ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → + ∞ x f ( x ) = lim x → + ∞ x 2 x 2 + 1 = lim x → + ∞ x 2 x 2 ( 1 + 1 x 2 ) = \lim\limits_{x\to+\infty}xf(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2+1}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}= x → + ∞ lim x f ( x ) = x → + ∞ lim x 2 + 1 x 2 = x → + ∞ lim x 2 ( 1 + x 2 1 ) x 2 = 3 p = lim x → + ∞ 1 1 + 1 x 2 = 1 =\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=1 = x → + ∞ lim 1 + x 2 1 1 = 1 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați intervalele de monotonie a funcției f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: f f f ( − ∞ , − 1 ] (-\infty,-1] ( − ∞ , − 1 ] [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ )
Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 1 f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 1 x = 1 x=1 x = 1 f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 x ∈ ( − ∞ , − 1 ] ⇒ f x\in(-\infty,-1]\Rightarrow f x ∈ ( − ∞ , − 1 ] ⇒ f ( − ∞ , − 1 ] (-\infty,-1] ( − ∞ , − 1 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 x ∈ [ − 1 , 1 ] ⇒ f x\in[-1,1]\Rightarrow f x ∈ [ − 1 , 1 ] ⇒ f [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] 3 p f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le 0 f ′ ( x ) ≤ 0 x ∈ [ 1 , + ∞ ) ⇒ f x\in[1,+\infty)\Rightarrow f x ∈ [ 1 , + ∞ ) ⇒ f [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ ) 2 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = ( x 2 + 1 ) e x f(x)=\left(x^2+1\right)e^x f ( x ) = ( x 2 + 1 ) e x
III.2.a 5 p Arătați că ∫ 0 1 f ( x ) e x d x = 4 3 \int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\frac{4}{3} ∫ 0 1 e x f ( x ) d x = 3 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ∫ 0 1 f ( x ) e x d x = ∫ 0 1 ( x 2 + 1 ) e x e x d x = ∫ 0 1 ( x 2 + 1 ) d x = ( x 3 3 + x ) ∣ 0 1 = \int_0^1\frac{f(x)}{e^x}\,dx=\int_0^1\frac{\left(x^2+1\right)e^x}{e^x}\,dx=\int_0^1\left(x^2+1\right)dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\right|_0^1= ∫ 0 1 e x f ( x ) d x = ∫ 0 1 e x ( x 2 + 1 ) e x d x = ∫ 0 1 ( x 2 + 1 ) d x = ( 3 x 3 + x ) 0 1 = 3 p = 1 3 + 1 − 0 − 0 = 4 3 =\frac{1}{3}+1-0-0=\frac{4}{3} = 3 1 + 1 − 0 − 0 = 3 4 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Demonstrați că funcția F : R → R F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} F : R → R F ( x ) = ( x 2 − 2 x + 3 ) e x F(x)=\left(x^2-2x+3\right)e^x F ( x ) = ( x 2 − 2 x + 3 ) e x f f f
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Funcția F F F F ′ ( x ) = ( 2 x − 2 ) e x + ( x 2 − 2 x + 3 ) e x = ( x 2 + 1 ) e x F'(x)=(2x-2)e^x+\left(x^2-2x+3\right)e^x=\left(x^2+1\right)e^x F ′ ( x ) = ( 2 x − 2 ) e x + ( x 2 − 2 x + 3 ) e x = ( x 2 + 1 ) e x 3 p F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) x x x F F F f f f 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f f f O x Ox O x x = 0 x=0 x = 0 x = 2 x=2 x = 2 3 ( e 2 − 1 ) 3\left(e^2-1\right) 3 ( e 2 − 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A = ∫ 0 2 ∣ f ( x ) ∣ d x = ∫ 0 2 ( x 2 + 1 ) e x d x = F ( x ) ∣ 0 2 = F ( 2 ) − F ( 0 ) = \mathcal{A}=\int_0^2\left|f(x)\right|dx=\int_0^2\left(x^2+1\right)e^x\,dx=\left.F(x)\right|_0^2=F(2)-F(0)= A = ∫ 0 2 ∣ f ( x ) ∣ d x = ∫ 0 2 ( x 2 + 1 ) e x d x = F ( x ) ∣ 0 2 = F ( 2 ) − F ( 0 ) = 3 p = 3 e 2 − 3 = 3 ( e 2 − 1 ) =3e^2-3=3\left(e^2-1\right) = 3 e 2 − 3 = 3 ( e 2 − 1 ) 2 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.