Vectori și geometrie analitică în plan, Bac Matematică pedagogic

Bacalaureat 2026, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

$A(0,4)$ , $B(2,0)$ , $C(6,6)$ , iar M este mijlocul OC. Arătați MA=MB.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Mijlocul este M(3,3).2 p
$MA^2=3^2+(-1)^2=10$ și $MB^2=(-1)^2+(-3)^2=10$ , deci lungimile sunt egale.3 p

Bacalaureat 2026, simularea, I.55 p

I.55 p

$A(3,3)$ este mijlocul lui $BC$ , cu $B(4,6)$ . Determinați $OC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 2

Criterii (după barem)

$C=2A-B=(2,0)$ .3 p
$OC=\sqrt{2^2+0^2}=2$ .2 p

Bacalaureat 2026, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

$A(4,0)$ , $B(6,2)$ , iar C este mijlocul lui OB. Arătați $AC=\sqrt2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Mijlocul este $C(3,1)$ .2 p
$AC=\sqrt{(3-4)^2+(1-0)^2}=\sqrt2$ .3 p

Bacalaureat 2026, varianta de rezervă, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(5,2)$ . Determinați distanța dintre punctele $B$ și $M$ , unde $M$ este mijlocul segmentului $OA$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $BM=4$

Criterii (după barem)

$M(1,2)$ 3 p
$BM=4$ 2 p

Bacalaureat 2026, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,3)$ și $N(7,1)$ . Arătați că triunghiul $OMN$ este dreptunghic.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$OM=\sqrt{10}$ , $ON=\sqrt{50}$ 2 p
$MN=\sqrt{40}$ și, cum $ON^2=50=10+40=OM^2+MN^2$ , obținem că triunghiul $OMN$ este dreptunghic3 p

Bacalaureat 2025, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

A(2,3),B(5,7), iar B este mijlocul lui AC. Determinați AC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 10

Criterii (după barem)

AB=√((5-2)²+(7-3)²)=5.3 p
B fiind mijloc, AC=2AB=10.2 p

Bacalaureat 2025, simularea, I.55 p

I.55 p

A(1,5),B(5,3),C(8,4), D mijlocul AB. Arătați ODC isoscel.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

D=(3,4), deci OD=5.2 p
DC=√((8-3)²+(4-4)²)=5; cele două laturi sunt egale.3 p

Bacalaureat 2025, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,8)$ , $B(5,0)$ și $C$ , mijlocul segmentului $OA$ . Determinați distanța dintre punctele $B$ și $C$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $BC=5$

Criterii (după barem)

$C(2,4)$ 3 p
$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ 2 p

Bacalaureat 2025, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

A(2,5),B(4,1),C(6,0), iar M mijlocul AB. Arătați OM=CM.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

M=(3,3), deci OM²=18.3 p
CM²=(6-3)²+(0-3)²=18, de unde OM=CM=√18=3√2.2 p

Bacalaureat 2025, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,0)$ , $B(0,6)$ , $C(5,4)$ și $D$ , mijlocul segmentului $AC$ . Determinați distanța dintre punctele $B$ și $D$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $BD=5$

Criterii (după barem)

$D(3,2)$ 2 p
$BD=5$ 3 p

Bacalaureat 2024, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

A(-1,2),B(1,m),C(3,6), C simetricul lui A față de B. Determinați m.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=4$

Criterii (după barem)

B trebuie să fie mijlocul lui AC.3 p
Ordonata mijlocului este (2+6)/2=4, deci m=4. Abscisa (-1+3)/2=1 verifică și ea condiția.2 p

Bacalaureat 2024, simularea, I.55 p

I.55 p

A(3,1),B(1,3),C(a,a). AB și OC au același mijloc. Determinați a.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=4$

Criterii (după barem)

Mijlocul lui AB este (2,2). Mijlocul lui OC este (a/2,a/2).2 p
a/2=2 dă a=4.3 p

Bacalaureat 2024, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,4)$ și $B(7,-4)$ . Arătați că $OA=OM$ , unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Punctul $M(5,0)$ este mijlocul segmentului $AB$ , de unde obținem $OM=5$ 3 p
$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$ , deci $OA=OM$ 2 p

Bacalaureat 2024, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

A(0,4),B(8,4),C(4,0), M mijlocul AB. Arătați BM=CM.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

M=(4,4), deci BM=4 pe orizontală.2 p
CM=4 pe verticală, astfel BM=CM.3 p

Bacalaureat 2024, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,0)$ și $B(0,4)$ . Calculați aria triunghiului $AOB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $6$

Criterii (după barem)

$AO=3$ , $BO=4$ 3 p
Cum triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$ , obținem $\mathcal{A}_{\Delta AOB}=\frac{AO\cdot BO}{2}=6$ 2 p

Bacalaureat 2023, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

A(1,3),B(-2,-1),C(1,-1). Arătați ABC dreptunghic.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

AC este vertical, deoarece A și C au aceeași abscisă 1. BC este orizontal, deoarece B și C au aceeași ordonată -1.3 p
Cele două segmente sunt perpendiculare și nenule, deci unghiul C este drept.2 p

Bacalaureat 2023, simularea, I.55 p

I.55 p

A(-1,2),B(1,1),C(3,m). Determinați m pentru coliniaritate.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=0$

Criterii (după barem)

Panta AB este (1-2)/(1+1)=-1/2.3 p
C are abscisa cu 2 mai mare decât B, deci ordonata scade cu 1: m=0.2 p

Bacalaureat 2023, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

A(0,4),M(3,6), M mijlocul AB. Determinați B.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $B(6,8)$

Criterii (după barem)

B=2M-A.3 p
Coordonatele sunt (6-0,12-4)=(6,8).2 p

Bacalaureat 2022, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

M(a,15) aparține lui y=3x+2a. Determinați a.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=3$

Criterii (după barem)

Înlocuiește coordonatele: 15=3a+2a=5a.3 p
a=3.2 p

Bacalaureat 2022, simularea, I.55 p

I.55 p

A(1,4),B(-3,2),C(5,2). Lungimea medianei din A?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 2

Criterii (după barem)

Mijlocul BC este M(1,2).2 p
AM este vertical, cu lungimea |4-2|=2.3 p

Vectori și geometrie analitică în plan: Matematică pedagogic la Bacalaureat

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

Alte teme

Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?