Bacalaureat 2023 la matematică pedagogic: examenul din vară

Subiectul oficial pedagogic, examenul din vară 2023, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați 25+64−169=0\sqrt{25}+\sqrt{64}-\sqrt{169}=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Radicalii sunt 5,8,13.3 p
  2. 5+8-13=0.2 p

I.25 p

f(x)=2x+2,g(x)=x²+2. Determinați n naturale cu f(n)≥g(n).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n∈{0,1,2}n\in\{0,1,2\}

Criterii (după barem)

  1. Inegalitatea devine 2n≥n², adică n(n-2)≤0.2 p
  2. n∈[0,2]; naturalele sunt 0,1,2.3 p

I.35 p

Rezolvați 2+log⁡3(2x−1)=log⁡3272+\log_3(2x-1)=\log_3 27.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Criterii (după barem)

  1. log₃27=3, deci log₃(2x-1)=1, cu x>1/2.3 p
  2. 2x-1=3 dă x=2, admis.2 p

I.45 p

Un obiect de 150 lei se scumpește succesiv de două ori cu câte 20%. Prețul final?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 216 lei

Criterii (după barem)

  1. După prima etapă costă 150·1,2=180 lei.2 p
  2. După a doua: 180·1,2=216 lei.3 p

I.55 p

A(0,4),M(3,6), M mijlocul AB. Determinați B.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: B(6,8)B(6,8)

Criterii (după barem)

  1. B=2M-A.3 p
  2. Coordonatele sunt (6-0,12-4)=(6,8).2 p

I.65 p

Arătați 32sin⁡60∘−13cos⁡30∘cos⁡60∘=1/2\frac{\sqrt3}{2}\sin60^\circ-\frac1{\sqrt3}\cos30^\circ\cos60^\circ=1/2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Primul produs este 3/4; al doilea este (1/√3)(√3/2)(1/2)=1/4.3 p
  2. Diferența este 3/4-1/4=1/2.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II

Pe R\mathbb R, x∗y=x+y−4x*y=x+y-4.

II.15 p

Arătați 2∗(−2)=−42*(-2)=-4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Înlocuiește 2-2-4.3 p
  2. Rezultatul este -4.2 p

II.25 p

Arătați că legea este asociativă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. (x*y)*z=(x+y-4)+z-4=x+y+z-8.2 p
  2. x*(y*z)=x+(y+z-4)-4=x+y+z-8. Cele două expresii coincid pentru toate x,y,z.3 p

II.35 p

Arătați 1∗2∗3∗4∗5∗6>01*2*3*4*5*6>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Prin asociativitate, pentru șase termeni suma este micșorată de cinci ori cu 4.3 p
  2. 1+2+3+4+5+6-5·4=21-20=1>0.2 p

II.45 p

Determinați x cu x∗x∗x=(x+1)∗xx*x*x=(x+1)*x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=5x=5

Criterii (după barem)

  1. Membrul stâng este 3x-8, iar dreptul 2x-3.2 p
  2. 3x-8=2x-3 dă x=5.3 p

II.55 p

Rezolvați 4x∗2x=24^x*2^x=2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1

Criterii (după barem)

  1. Notează t=2^x>0. Ecuația devine t²+t-4=2.2 p
  2. (t+3)(t-2)=0; numai t=2 este pozitiv. Din 2^x=2 rezultă x=1.3 p

II.65 p

Arătați x2∗(1/x2)≥−2x^2*(1/x^2)\ge-2 pentru x≠0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Formula dă x²+1/x²-4. Din (x-1/x)²≥0 rezultă x²+1/x²≥2.2 p
  2. Scăzând 4 obții cel puțin -2. Egalitatea are loc la x=±1.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

A=(101−1)A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}, B=(120−1)B=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}, I2I_2 identitatea, O2O_2 matricea nulă.

III.15 p

Arătați det⁡A=−1\det A=-1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A este triunghiulară.3 p
  2. Determinantul este 1·(-1)=-1.2 p

III.25 p

Arătați A2−B2=O2A^2-B^2=O_2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Înmulțirea dă A²=I₂ și B²=I₂.2 p
  2. Diferența este I₂-I₂=O₂.3 p

III.35 p

Determinați x cu det⁡(A2−xI2)=0\det(A^2-xI_2)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1

Criterii (după barem)

  1. A²=I₂, deci diferența este (1-x)I₂.3 p
  2. Determinantul este (1-x)²; el este zero numai la x=1.2 p

III.45 p

Determinați x cu A−B−xI2=(−2−21−2)A-B-xI_2=\begin{pmatrix}-2&-2\\1&-2\end{pmatrix}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Criterii (după barem)

  1. A-B-xI₂=[[-x,-2],[1,-x]].3 p
  2. Egalând diagonala, -x=-2 dă x=2. Elementele nediagonale coincid deja.2 p

III.55 p

Determinați a cu det⁡(a(A+B))=−6\det(a(A+B))=-6.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈{−1,1}a\in\{-1,1\}

Criterii (după barem)

  1. A+B=[[2,2],[1,-2]] are determinantul -6. Pentru ordinul 2, det(aM)=a²det M.3 p
  2. -6a²=-6 dă a²=1, deci a=±1.2 p

III.65 p

Rezolvați AX=BAX=B în M2(R)M_2(\mathbb R).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(1213)X=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}

Criterii (după barem)

  1. A²=I₂, deci A^-1=A.3 p
  2. Înmulțind la stânga, X=AB=[[1,2],[1,3]], soluție unică.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.