Bacalaureat 2026 la matematică pedagogic: varianta de rezervă

Subiectul oficial pedagogic, varianta de rezervă 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 6(2+36)−36−24=12\sqrt{6}\left(2+3\sqrt{6}\right)-\sqrt{36}-\sqrt{24}=12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 6(2+36)−36−24=26+6⋅36−6−26=\sqrt{6}\left(2+3\sqrt{6}\right)-\sqrt{36}-\sqrt{24}=2\sqrt{6}+\sqrt{6}\cdot 3\sqrt{6}-6-2\sqrt{6}=3 p
  2. =18−6=12=18-6=122 p

I.25 p

Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x+16f(x)=4x+16. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficului funcției ff cu axa OxOx.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−4x=-4

Criterii (după barem)

  1. f(x)=0f(x)=0, de unde obținem 4x+16=04x+16=03 p
  2. x=−4x=-42 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+3x−15=x\sqrt{x^2+3x-15}=x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=5x=5

Criterii (după barem)

  1. x2+3x−15=x2x^2+3x-15=x^2, de unde obținem 3x−15=03x-15=03 p
  2. x=5x=5, care convine2 p

I.45 p

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={0,1,2,…,9}A=\{0,1,2,\ldots,9\}, n3n^3 să fie număr natural de două cifre.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=15p=\frac{1}{5}

Criterii (după barem)

  1. Mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile2 p
  2. În mulțimea AA sunt 22 numere nn pentru care n3n^3 este număr natural de două cifre, deci sunt 22 cazuri favorabile, de unde obținem p=210=15p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,4)A(2,4) și B(5,2)B(5,2). Determinați distanța dintre punctele BB și MM, unde MM este mijlocul segmentului OAOA.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: BM=4BM=4

Criterii (după barem)

  1. M(1,2)M(1,2)3 p
  2. BM=4BM=42 p

I.65 p

Arătați că 3sin⁡30∘+2cos⁡60∘−sin⁡60∘=1\sqrt{3}\sin 30^\circ+2\cos 60^\circ-\sin 60^\circ=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\frac{1}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}3 p
  2. 3sin⁡30∘+2cos⁡60∘−sin⁡60∘=3⋅12+2⋅12−32=1\sqrt{3}\sin 30^\circ+2\cos 60^\circ-\sin 60^\circ=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=12 p

Subiectul al II-lea 30 p

II

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy4+8−x−yx*y=\frac{xy}{4}+8-x-y.

II.15 p

Arătați că 1∗4=41*4=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 1∗4=1⋅44+8−1−4=1*4=\frac{1\cdot 4}{4}+8-1-4=3 p
  2. =1+3=4=1+3=42 p

II.25 p

Determinați numărul real xx pentru care x∗5=6x*5=6.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=12x=12

Criterii (după barem)

  1. x∗5=x4+3x*5=\frac{x}{4}+3, pentru orice număr real xx3 p
  2. x4+3=6\frac{x}{4}+3=6, de unde obținem x=12x=122 p

II.35 p

Arătați că x∗y=14(x−4)(y−4)+4x*y=\frac{1}{4}(x-4)(y-4)+4, pentru orice numere reale xx și yy.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∗y=14(xy−4x−4y+16)+4=x*y=\frac{1}{4}(xy-4x-4y+16)+4=2 p
  2. =14(x(y−4)−4(y−4))+4=14(x−4)(y−4)+4=\frac{1}{4}\left(x(y-4)-4(y-4)\right)+4=\frac{1}{4}(x-4)(y-4)+4, pentru orice numere reale xx și yy3 p

II.45 p

Arătați că, dacă xx și yy sunt numere reale pentru care x∗(y+1)=(x−1)∗yx*(y+1)=(x-1)*y, atunci x+y=8x+y=8.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∗(y+1)=14(x−4)(y−3)+4x*(y+1)=\frac{1}{4}(x-4)(y-3)+4, (x−1)∗y=14(x−5)(y−4)+4(x-1)*y=\frac{1}{4}(x-5)(y-4)+4, pentru orice numere reale xx și yy2 p
  2. (x−4)(y−3)=(x−5)(y−4)(x-4)(y-3)=(x-5)(y-4), de unde obținem x+y=8x+y=83 p

II.55 p

Arătați că, dacă x∈[4,+∞)x\in[4,+\infty) și y∈[4,+∞)y\in[4,+\infty), atunci x∗y∈[4,+∞)x*y\in[4,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x−4≥0x-4\ge 0, y−4≥0y-4\ge 0, de unde obținem (x−4)(y−4)≥0(x-4)(y-4)\ge 03 p
  2. 14(x−4)(y−4)+4≥4\frac{1}{4}(x-4)(y-4)+4\ge 4, deci x∗y∈[4,+∞)x*y\in[4,+\infty)2 p

II.65 p

Determinați perechile (m,n)(m,n) de numere naturale pentru care 4m∗(n+1)=(22m−1)∗n4^m*(n+1)=\left(2^{2m}-1\right)*n.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (0,7)(0,7) și (1,4)(1,4)

Criterii (după barem)

  1. 4m∗(n+1)=(4m−1)∗n4^m*(n+1)=\left(4^m-1\right)*n, de unde obținem 4m+n=84^m+n=83 p
  2. Cum mm și nn sunt numere naturale, obținem perechile (0,7)(0,7) și (1,4)(1,4)2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

Se consideră matricele A=(964−1)A=\begin{pmatrix}9&6\\4&-1\end{pmatrix} și B(x)=(x+232x−2)B(x)=\begin{pmatrix}x+2&3\\2&x-2\end{pmatrix}, unde xx este număr real.

III.15 p

Arătați că det⁡(B(4))=6\det\left(B(4)\right)=6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. B(4)=(6322)⇒det⁡(B(4))=∣6322∣=6⋅2−3⋅2=B(4)=\begin{pmatrix}6&3\\2&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(B(4)\right)=\begin{vmatrix}6&3\\2&2\end{vmatrix}=6\cdot 2-3\cdot 2=3 p
  2. =12−6=6=12-6=62 p

III.25 p

Arătați că 2B(3)+B(6)=3B(4)2B(3)+B(6)=3B(4).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 2B(3)+B(6)=(10642)+(8324)=(18966)=2B(3)+B(6)=\begin{pmatrix}10&6\\4&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}8&3\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18&9\\6&6\end{pmatrix}=3 p
  2. =3(6322)=3B(4)=3\begin{pmatrix}6&3\\2&2\end{pmatrix}=3B(4)2 p

III.35 p

Determinați numărul real aa pentru care B(−2)⋅B(5)=aB(0)B(-2)\cdot B(5)=aB(0).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=3a=3

Criterii (după barem)

  1. B(−2)⋅B(5)=(032−4)(7323)=(696−6)=3(232−2)=3B(0)B(-2)\cdot B(5)=\begin{pmatrix}0&3\\2&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7&3\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&9\\6&-6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2&3\\2&-2\end{pmatrix}=3B(0)3 p
  2. aB(0)=3B(0)aB(0)=3B(0), de unde obținem a=3a=32 p

III.45 p

Determinați numărul întreg mm pentru care det⁡(2B(m)−A)<0\det\left(2B(m)-A\right)<0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=2m=2

Criterii (după barem)

  1. 2B(m)−A=(2m−5002m−3)2B(m)-A=\begin{pmatrix}2m-5&0\\0&2m-3\end{pmatrix}, det⁡(2B(m)−A)=(2m−5)(2m−3)\det\left(2B(m)-A\right)=(2m-5)(2m-3), pentru orice număr întreg mm2 p
  2. (2m−5)(2m−3)<0(2m-5)(2m-3)<0 și, cum mm este număr întreg, obținem m=2m=23 p

III.55 p

Determinați perechile (n,p)(n,p) de numere naturale pentru care B(n)⋅B(−n)=2pI2B(n)\cdot B(-n)=2pI_2, unde I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (0,5)(0,5) și (2,3)(2,3)

Criterii (după barem)

  1. B(n)⋅B(−n)=(10−n20010−n2)B(n)\cdot B(-n)=\begin{pmatrix}10-n^2&0\\0&10-n^2\end{pmatrix}, pentru orice număr natural nn3 p
  2. (10−n20010−n2)=(2p002p)\begin{pmatrix}10-n^2&0\\0&10-n^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p&0\\0&2p\end{pmatrix} și, cum nn și pp sunt numere naturale, obținem perechile (0,5)(0,5) și (2,3)(2,3)2 p

III.65 p

Determinați matricea X∈M2(R)X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care B(4)⋅X=2AB(4)\cdot X=2A.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(252−6)X=\begin{pmatrix}2&5\\2&-6\end{pmatrix}

Criterii (după barem)

  1. Cum matricea B(4)B(4) este inversabilă, obținem X=(B(4))−1⋅(2A)X=\left(B(4)\right)^{-1}\cdot(2A)2 p
  2. (B(4))−1=(13−12−131)\left(B(4)\right)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&1\end{pmatrix}, de unde obținem X=(252−6)X=\begin{pmatrix}2&5\\2&-6\end{pmatrix}3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.