Bacalaureat 2022 la matematică pedagogic: modelul oficial

Subiectul oficial pedagogic, modelul oficial 2022, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați 3(2−3)+3=12\sqrt3(2-\sqrt3)+3=\sqrt{12}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Dezvoltă: 2√3-3+3=2√3.3 p
  2. √12=√(4·3)=2√3, deci membrii coincid.2 p

I.25 p

f(x)=x+1,g(x)=2x-1. Determinați a naturale cu f(a)>g(a).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈{0,1}a\in\{0,1\}

Criterii (după barem)

  1. a+1>2a-1 dă a<2.2 p
  2. Naturalele admise sunt 0 și 1, ambele verificând inegalitatea strictă.3 p

I.35 p

Rezolvați 3x+22x+1+2⋅6x=1203^{x+2}2^{x+1}+2\cdot6^x=120.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1

Criterii (după barem)

  1. Primul termen este 18·6^x, deci suma 20·6^x=120.3 p
  2. 6^x=6, de unde x=1.2 p

I.45 p

Alegi n uniform dintre naturale nenule mai mici decât 114. Probabilitatea să fie divizibil cu 4?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 28/11328/113

Criterii (după barem)

  1. Sunt 113 cazuri posibile: 1,...,113. Multiplii lui 4 sunt 4,8,...,112, în număr de 28.2 p
  2. p=28/113.2 p
  3. p=28/113.1 p

I.55 p

M(a,15) aparține lui y=3x+2a. Determinați a.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=3a=3

Criterii (după barem)

  1. Înlocuiește coordonatele: 15=3a+2a=5a.3 p
  2. a=3.2 p

I.65 p

ABC dreptunghic în A, AB=3,AC=4,AD înălțimea pe BC. Arătați sin⁡∠BAD=3/5\sin\angle BAD=3/5.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. BC=5. Triunghiurile ABD și ABC sunt asemenea, deci unghiul BAD este egal cu C.3 p
  2. sin BAD=sin C=AB/BC=3/5.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II

Pe R\mathbb R, legea asociativă x∘y=2xy−x−y+1x\circ y=2xy-x-y+1.

II.15 p

Arătați (−1)∘(−1)=5(-1)\circ(-1)=5.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Formula dă 2+1+1+1.2 p
  2. Suma este 5.3 p

II.25 p

Demonstrați x∘y=2(x−1/2)(y−1/2)+1/2x\circ y=2(x-1/2)(y-1/2)+1/2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Dezvoltarea dă 2xy-x-y+1/2+1/2.3 p
  2. Rezultatul este 2xy-x-y+1, exact legea.2 p

II.35 p

Arătați e=1 element neutru.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∘1=2x-x-1+1=x.2 p
  2. Legea este simetrică, deci și 1∘x=x.3 p

II.45 p

Arătați x∘(1/2)=(1/2)∘x=1/2x\circ(1/2)=(1/2)\circ x=1/2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∘y=2(x−12)(y−12)+12x\circ y=2\left(x-\tfrac12\right)\left(y-\tfrac12\right)+\tfrac12.2 p
  2. Pentru y=12y=\tfrac12 (sau x=12x=\tfrac12) un factor este 00, deci rezultatul este 12\tfrac12.3 p

II.55 p

Calculați (1/3)∘(2/4)∘(3/5)∘⋯∘(2020/2022)(1/3)\circ(2/4)\circ(3/5)\circ\cdots\circ(2020/2022).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1/21/2

Criterii (după barem)

  1. În șir apare 2/4=1/2, element absorbant.2 p
  2. Prin asociativitate și comutativitate, îl poți grupa cu toți ceilalți termeni; rezultatul final este 1/2.3 p

II.65 p

Determinați x>0 cu (log⁡2x+1/2)∘(log⁡3x+1/2)=1/2(\log_2x+1/2)\circ(\log_3x+1/2)=1/2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1

Criterii (după barem)

  1. Forma factorizată reduce ecuația la 2log₂x·log₃x=0.3 p
  2. Cel puțin unul dintre logaritmi este 0, iar fiecare condiție dă x=1, admis.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

A=(0220)A=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}, M(a)=(a22a)M(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}, a∈Ra\in\mathbb R; I2I_2 identitatea.

III.15 p

Arătați A2=4I2A^2=4I_2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Produsul are diagonala (4,4) și elementele nediagonale zero.3 p
  2. Prin urmare A²=4I₂.2 p

III.25 p

Arătați aI2+A=M(a)aI_2+A=M(a).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. aI₂ pune a pe fiecare poziție diagonală.3 p
  2. Adunând A, elementele nediagonale devin 2 și obții [[a,2],[2,a]]=M(a).2 p

III.35 p

Arătați M(2)M(4)=6M(2)M(2)M(4)=6M(2).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Produsul este [[12,12],[12,12]].3 p
  2. Aceasta este 6[[2,2],[2,2]]=6M(2).2 p

III.45 p

Determinați a,b naturale cu M(a)M(b)=7I2+4AM(a)M(b)=7I_2+4A.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (a,b)=(1,3), (3,1)(a,b)=(1,3),\ (3,1)

Criterii (după barem)

  1. M(a)M(b)=(ab+4)I₂+(a+b)A, deoarece A²=4I₂.3 p
  2. Compararea dă ab=3 și a+b=4. Perechile naturale sunt (1,3) și (3,1).2 p

III.55 p

Determinați k natural cu det⁡M(k+2)≤0\det M(k+2)\le0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: k=0k=0

Criterii (după barem)

  1. Determinantul este (k+2)²-4=k(k+4).3 p
  2. Pentru k≥0 produsul este nenegativ și poate fi ≤0 numai dacă k=0.2 p

III.65 p

Determinați a<-2 dacă inversa lui M(a) este M(a)-2A.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−5a=-\sqrt5

Criterii (după barem)

  1. M(a)=aI₂+A, iar M(a)-2A=aI₂-A. Produsul este (a²-4)I₂.2 p
  2. Pentru a fi I₂, a²=5; condiția a<-2 păstrează numai a=-√5. Și produsul în ordine inversă este I₂.3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.