Acasă Bacalaureat Matematică pedagogic Pe teme Matrice și determinanți Matrice și determinanți: Matematică pedagogic la Bacalaureat
144 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
III
I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A = ( 1 6 0 − 2 ) A=\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix} A = ( 1 0 6 − 2 ) B = ( 1 2 0 0 ) B=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix} B = ( 1 0 2 0 ) M ( x , y ) = x A + y B M(x,y)=xA+yB M ( x , y ) = x A + y B x , y ∈ R x,y\in\mathbb R x , y ∈ R
III.1 5 p Arătați det A = − 2 \det A=-2 det A = − 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Matricea este triunghiulară. 3 p Determinantul este produsul diagonalei, 1 ⋅ ( − 2 ) = − 2 1\cdot(-2)=-2 1 ⋅ ( − 2 ) = − 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2 5 p Determinați a a a A + 2 I 2 = a B A+2I_2=aB A + 2 I 2 = a B
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) A + 2 I 2 = ( 3 6 0 0 ) A+2I_2=\begin{pmatrix}3&6\\0&0\end{pmatrix} A + 2 I 2 = ( 3 0 6 0 ) 3 p Aceasta este 3 B 3B 3 B 2 p Semnalează o greșeală
III.3 5 p Arătați A 2 + A = 2 I 2 A^2+A=2I_2 A 2 + A = 2 I 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A 2 = ( 1 − 6 0 4 ) A^2=\begin{pmatrix}1&-6\\0&4\end{pmatrix} A 2 = ( 1 0 − 6 4 ) 3 p Adunând A obții ( 2 0 0 2 ) = 2 I 2 \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I_2 ( 2 0 0 2 ) = 2 I 2 2 p Semnalează o greșeală
III.4 5 p Determinați x , y x,y x , y M ( x , y ) A = B M(x,y)A=B M ( x , y ) A = B
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 0 , y = 1 x=0,\ y=1 x = 0 , y = 1
Criterii (după barem) M ( x , y ) A = ( x + y − 6 x + 2 y 0 4 x ) M(x,y)A=\begin{pmatrix}x+y&-6x+2y\\0&4x\end{pmatrix} M ( x , y ) A = ( x + y 0 − 6 x + 2 y 4 x ) 3 p Compararea dă 4x=0 și x+y=1, deci x=0,y=1. Atunci elementul (1,2) este 2, cum se cere. 2 p Semnalează o greșeală
III.5 5 p Dacă x ≠ y x\ne y x = y det M ( x , y ) = det M ( y , x ) \det M(x,y)=\det M(y,x) det M ( x , y ) = det M ( y , x ) x + y = 0 x+y=0 x + y = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Determinanții sunt − 2 x ( x + y ) -2x(x+y) − 2 x ( x + y ) − 2 y ( x + y ) -2y(x+y) − 2 y ( x + y ) 2 p Egalitatea dă ( x − y ) ( x + y ) = 0 (x-y)(x+y)=0 ( x − y ) ( x + y ) = 0 3 p Semnalează o greșeală
III.6 5 p Determinați x x x M ( x , x ) M ( x , − x ) = M ( − 2 , 2 ) M(x,x)M(x,-x)=M(-2,2) M ( x , x ) M ( x , − x ) = M ( − 2 , 2 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { − 1 , 1 } x\in\{-1,1\} x ∈ { − 1 , 1 }
Criterii (după barem) Produsul este ( 0 − 8 x 2 0 4 x 2 ) \begin{pmatrix}0&-8x^2\\0&4x^2\end{pmatrix} ( 0 0 − 8 x 2 4 x 2 ) ( 0 − 8 0 4 ) \begin{pmatrix}0&-8\\0&4\end{pmatrix} ( 0 0 − 8 4 ) 3 p Egalitatea este echivalentă cu x²=1, deci x=±1. 2 p Semnalează o greșeală
III
I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( x ) = ( x 2 − x x − 1 3 − x ) A(x)=\begin{pmatrix}x&2-x\\x-1&3-x\end{pmatrix} A ( x ) = ( x x − 1 2 − x 3 − x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.1 5 p Arătați det A ( 4 ) = 2 \det A(4)=2 det A ( 4 ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 4 ) = ( 4 − 2 3 − 1 ) A(4)=\begin{pmatrix}4&-2\\3&-1\end{pmatrix} A ( 4 ) = ( 4 3 − 2 − 1 ) 3 p Determinantul este − 4 + 6 = 2 -4+6=2 − 4 + 6 = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2 5 p Determinați x x x A ( 3 ) + 3 A ( x ) = 4 A ( 6 ) A(3)+3A(x)=4A(6) A ( 3 ) + 3 A ( x ) = 4 A ( 6 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 7 x=7 x = 7
Criterii (după barem) Din elementul ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 3 + 3 x = 24 3+3x=24 3 + 3 x = 24 2 p x=7, iar celelalte elemente verifică A ( 3 ) + 3 A ( 7 ) = 4 A ( 6 ) A(3)+3A(7)=4A(6) A ( 3 ) + 3 A ( 7 ) = 4 A ( 6 ) 3 p Semnalează o greșeală
III.3 5 p Arătați A ( 5 ) ( 3 I 2 − A ( 5 ) ) = 2 I 2 A(5)(3I_2-A(5))=2I_2 A ( 5 ) ( 3 I 2 − A ( 5 )) = 2 I 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 5 ) = ( 5 − 3 4 − 2 ) A(5)=\begin{pmatrix}5&-3\\4&-2\end{pmatrix} A ( 5 ) = ( 5 4 − 3 − 2 ) 3 I 2 − A ( 5 ) = ( − 2 3 − 4 5 ) 3I_2-A(5)=\begin{pmatrix}-2&3\\-4&5\end{pmatrix} 3 I 2 − A ( 5 ) = ( − 2 − 4 3 5 ) 3 p Produsul are diagonala ( 2 , 2 ) (2,2) ( 2 , 2 ) 2 I 2 2I_2 2 I 2 2 p Semnalează o greșeală
III.4 5 p Arătați det ( A ( 0 ) A ( 1 ) − A ( x ) ) = 0 \det(A(0)A(1)-A(x))=0 det ( A ( 0 ) A ( 1 ) − A ( x )) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Diferența este ( − x x + 2 − x x + 2 ) \begin{pmatrix}-x&x+2\\-x&x+2\end{pmatrix} ( − x − x x + 2 x + 2 ) 3 p Cele două linii sunt identice, deci determinantul este zero pentru orice x. 2 p Semnalează o greșeală
III.5 5 p Arătați că N = det ( A ( n ) + n I 2 ) N=\det(A(n)+nI_2) N = det ( A ( n ) + n I 2 ) n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Matricea este ( 2 n 2 − n n − 1 3 ) \begin{pmatrix}2n&2-n\\n-1&3\end{pmatrix} ( 2 n n − 1 2 − n 3 ) n 2 + 3 n + 2 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) n^2+3n+2=(n+1)(n+2) n 2 + 3 n + 2 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 p Factorii sunt naturali consecutivi, deci produsul este natural par. 3 p Semnalează o greșeală
III.6 5 p Determinați X ∈ M 2 ( R ) X\in M_2(\mathbb R) X ∈ M 2 ( R ) A ( 5 ) X = A ( 0 ) + 3 X A(5)X=A(0)+3X A ( 5 ) X = A ( 0 ) + 3 X
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: X = ( − 3 / 2 − 1 / 2 − 1 − 1 ) X=\begin{pmatrix}-3/2&-1/2\\-1&-1\end{pmatrix} X = ( − 3/2 − 1 − 1/2 − 1 )
Criterii (după barem) Grupează: ( A ( 5 ) − 3 I 2 ) X = A ( 0 ) (A(5)-3I_2)X=A(0) ( A ( 5 ) − 3 I 2 ) X = A ( 0 ) ( 2 − 3 4 − 5 ) \begin{pmatrix}2&-3\\4&-5\end{pmatrix} ( 2 4 − 3 − 5 ) 3 p Inversa ei este 1 2 ( − 5 3 − 4 2 ) \frac12\begin{pmatrix}-5&3\\-4&2\end{pmatrix} 2 1 ( − 5 − 4 3 2 ) A ( 0 ) = ( 0 2 − 1 3 ) A(0)=\begin{pmatrix}0&2\\-1&3\end{pmatrix} A ( 0 ) = ( 0 − 1 2 3 ) 2 p Semnalează o greșeală
III
I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( x ) = ( 4 − x x − x 1 − x ) A(x)=\begin{pmatrix}4-x&x\\-x&1-x\end{pmatrix} A ( x ) = ( 4 − x − x x 1 − x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.1 5 p Arătați det A ( 2 ) = 2 \det A(2)=2 det A ( 2 ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 2 ) = ( 2 2 − 2 − 1 ) A(2)=\begin{pmatrix}2&2\\-2&-1\end{pmatrix} A ( 2 ) = ( 2 − 2 2 − 1 ) 3 p Determinantul este − 2 − ( − 4 ) = 2 -2-(-4)=2 − 2 − ( − 4 ) = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2 5 p Determinați a a a 3 A ( 2 ) − A ( 4 ) = 2 A ( a ) 3A(2)-A(4)=2A(a) 3 A ( 2 ) − A ( 4 ) = 2 A ( a )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 1 a=1 a = 1
Criterii (după barem) Diferența este ( 6 2 − 2 0 ) \begin{pmatrix}6&2\\-2&0\end{pmatrix} ( 6 − 2 2 0 ) 3 p Aceasta este 2 A ( 1 ) 2A(1) 2 A ( 1 ) ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) 2 a = 2 2a=2 2 a = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.3 5 p Determinați x x x det A ( x ) = x \det A(x)=x det A ( x ) = x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { 1 , 2 } x\in\{1,2\} x ∈ { 1 , 2 }
Criterii (după barem) det A ( x ) = ( 4 − x ) ( 1 − x ) + x 2 = 2 x 2 − 5 x + 4 \det A(x)=(4-x)(1-x)+x^2=2x^2-5x+4 det A ( x ) = ( 4 − x ) ( 1 − x ) + x 2 = 2 x 2 − 5 x + 4 2 p Ecuația devine 2 x 2 − 6 x + 4 = 2 ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 2x^2-6x+4=2(x-1)(x-2)=0 2 x 2 − 6 x + 4 = 2 ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 3 p Semnalează o greșeală
III.4 5 p Arătați că B = ( I 2 − A ( 2 ) ) / 2 B=(I_2-A(2))/2 B = ( I 2 − A ( 2 )) /2 A ( 2 ) A(2) A ( 2 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) B = ( − 1 / 2 − 1 1 1 ) B=\begin{pmatrix}-1/2&-1\\1&1\end{pmatrix} B = ( − 1/2 1 − 1 1 ) 2 p Înmulțirea în ambele ordine cu ( 2 2 − 2 − 1 ) \begin{pmatrix}2&2\\-2&-1\end{pmatrix} ( 2 − 2 2 − 1 ) I 2 I_2 I 2 3 p Semnalează o greșeală
III.5 5 p Determinați x , y x,y x , y A ( x ) 2 = y I 2 A(x)^2=yI_2 A ( x ) 2 = y I 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 5 / 2 , y = − 4 x=5/2,\ y=-4 x = 5/2 , y = − 4
Criterii (după barem) Elementele diagonale ale pătratului sunt 16 − 8 x 16-8x 16 − 8 x 1 − 2 x 1-2x 1 − 2 x 15 − 6 x = 0 15-6x=0 15 − 6 x = 0 3 p Elementele nediagonale sunt ± x ( 5 − 2 x ) \pm x(5-2x) ± x ( 5 − 2 x ) 2 p Semnalează o greșeală
III.6 5 p Determinați X ∈ M 2 ( R ) X\in M_2(\mathbb R) X ∈ M 2 ( R ) X − A ( 2 ) X = A ( 3 ) X-A(2)X=A(3) X − A ( 2 ) X = A ( 3 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: X = ( − 2 1 1 / 2 − 2 ) X=\begin{pmatrix}-2&1\\1/2&-2\end{pmatrix} X = ( − 2 1/2 1 − 2 )
Criterii (după barem) Factorizează la stânga: ( I 2 − A ( 2 ) ) X = A ( 3 ) (I_2-A(2))X=A(3) ( I 2 − A ( 2 )) X = A ( 3 ) I 2 − A ( 2 ) = ( − 1 − 2 2 2 ) I_2-A(2)=\begin{pmatrix}-1&-2\\2&2\end{pmatrix} I 2 − A ( 2 ) = ( − 1 2 − 2 2 ) 3 p Inversa sa este ( 1 1 − 1 − 1 / 2 ) \begin{pmatrix}1&1\\-1&-1/2\end{pmatrix} ( 1 − 1 1 − 1/2 ) A ( 3 ) = ( 1 3 − 3 − 2 ) A(3)=\begin{pmatrix}1&3\\-3&-2\end{pmatrix} A ( 3 ) = ( 1 − 3 3 − 2 ) 2 p Semnalează o greșeală
III
Se consideră matricele A = ( 9 6 4 − 1 ) A=\begin{pmatrix}9&6\\4&-1\end{pmatrix} A = ( 9 4 6 − 1 ) B ( x ) = ( x + 2 3 2 x − 2 ) B(x)=\begin{pmatrix}x+2&3\\2&x-2\end{pmatrix} B ( x ) = ( x + 2 2 3 x − 2 ) x x x
III.1 5 p Arătați că det ( B ( 4 ) ) = 6 \det\left(B(4)\right)=6 det ( B ( 4 ) ) = 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) B ( 4 ) = ( 6 3 2 2 ) ⇒ det ( B ( 4 ) ) = ∣ 6 3 2 2 ∣ = 6 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 = B(4)=\begin{pmatrix}6&3\\2&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(B(4)\right)=\begin{vmatrix}6&3\\2&2\end{vmatrix}=6\cdot 2-3\cdot 2= B ( 4 ) = ( 6 2 3 2 ) ⇒ det ( B ( 4 ) ) = 6 2 3 2 = 6 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 = 3 p = 12 − 6 = 6 =12-6=6 = 12 − 6 = 6 2 p Semnalează o greșeală
III.2 5 p Arătați că 2 B ( 3 ) + B ( 6 ) = 3 B ( 4 ) 2B(3)+B(6)=3B(4) 2 B ( 3 ) + B ( 6 ) = 3 B ( 4 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 2 B ( 3 ) + B ( 6 ) = ( 10 6 4 2 ) + ( 8 3 2 4 ) = ( 18 9 6 6 ) = 2B(3)+B(6)=\begin{pmatrix}10&6\\4&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}8&3\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18&9\\6&6\end{pmatrix}= 2 B ( 3 ) + B ( 6 ) = ( 10 4 6 2 ) + ( 8 2 3 4 ) = ( 18 6 9 6 ) = 3 p = 3 ( 6 3 2 2 ) = 3 B ( 4 ) =3\begin{pmatrix}6&3\\2&2\end{pmatrix}=3B(4) = 3 ( 6 2 3 2 ) = 3 B ( 4 ) 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.