Acasă Bacalaureat Matematică pedagogic Pe teme Legi de compoziție și structuri algebrice Legi de compoziție și structuri algebrice: Matematică pedagogic la Bacalaureat
144 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II
Pe R \mathbb R R x ∗ y = ( x + y ) / 3 − 4 x*y=(x+y)/3-4 x ∗ y = ( x + y ) /3 − 4
II.1 5 p Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește: ( 7 + 8 ) / 3 − 4 (7+8)/3-4 ( 7 + 8 ) /3 − 4 3 p 15 / 3 − 4 = 5 − 4 = 1 15/3-4=5-4=1 15/3 − 4 = 5 − 4 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2 5 p Determinați x x x 4 ∗ x = x 4*x=x 4 ∗ x = x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 4 x=-4 x = − 4
Criterii (după barem) ( 4 + x ) / 3 − 4 = x (4+x)/3-4=x ( 4 + x ) /3 − 4 = x 4 + x − 12 = 3 x 4+x-12=3x 4 + x − 12 = 3 x 2 p − 8 = 2 x -8=2x − 8 = 2 x 3 p Semnalează o greșeală
II.3 5 p Determinați x x x x ∗ x 2 = 0 x*x^2=0 x ∗ x 2 = 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { − 4 , 3 } x\in\{-4,3\} x ∈ { − 4 , 3 }
Criterii (după barem) x ∗ x 2 = ( x + x 2 ) / 3 − 4 x*x^2=(x+x^2)/3-4 x ∗ x 2 = ( x + x 2 ) /3 − 4 x 2 + x − 12 = 0 x^2+x-12=0 x 2 + x − 12 = 0 3 p ( x + 4 ) ( x − 3 ) = 0 (x+4)(x-3)=0 ( x + 4 ) ( x − 3 ) = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.4 5 p Arătați ( 2 x ) ∗ ( 2 y ) = 2 ( x ∗ ( y + 6 ) ) (2x)*(2y)=2(x*(y+6)) ( 2 x ) ∗ ( 2 y ) = 2 ( x ∗ ( y + 6 ))
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Membrul stâng este 2 ( x + y ) / 3 − 4 2(x+y)/3-4 2 ( x + y ) /3 − 4 2 p Membrul drept este 2 ( ( x + y + 6 ) / 3 − 4 ) = 2 ( x + y ) / 3 − 4 2((x+y+6)/3-4)=2(x+y)/3-4 2 (( x + y + 6 ) /3 − 4 ) = 2 ( x + y ) /3 − 4 3 p Semnalează o greșeală
II.5 5 p Determinați n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N ( 3 n ) ∗ ( ( 2 n ) ∗ n ) ≤ − n (3n)*((2n)*n)\le-n ( 3 n ) ∗ (( 2 n ) ∗ n ) ≤ − n
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: n ∈ { 0 , 1 , 2 } n\in\{0,1,2\} n ∈ { 0 , 1 , 2 }
Criterii (după barem) ( 2 n ) ∗ n = n − 4 (2n)*n=n-4 ( 2 n ) ∗ n = n − 4 4 n / 3 − 16 / 3 4n/3-16/3 4 n /3 − 16/3 2 p Inegalitatea este 7 n ≤ 16 7n\le16 7 n ≤ 16 n ≤ 16 / 7 n\le16/7 n ≤ 16/7 3 p Semnalează o greșeală
II.6 5 p Determinați x > 0 x>0 x > 0 ( lg x ) ∗ ( lg x ) = ( − 3 ) ∗ ( lg ( 1 / x ) ) (\lg x)*(\lg x)=(-3)*(\lg(1/x)) ( lg x ) ∗ ( lg x ) = ( − 3 ) ∗ ( lg ( 1/ x ))
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 / 10 x=1/10 x = 1/10
Criterii (după barem) Notează L=lg x și folosește lg(1/x)=-L. Egalitatea este 2 L / 3 − 4 = − 5 − L / 3 2L/3-4=-5-L/3 2 L /3 − 4 = − 5 − L /3 2 p Rezultă L=-1, deci x=10^-1=1/10, valoare pozitivă. 3 p Semnalează o greșeală
II
Pe R \mathbb R R x ∗ y = ( x − 4 y ) ( y − 4 x ) + 4 x*y=(x-4y)(y-4x)+4 x ∗ y = ( x − 4 y ) ( y − 4 x ) + 4
II.1 5 p Arătați 1 ∗ 3 = 15 1*3=15 1 ∗ 3 = 15
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește: ( 1 − 12 ) ( 3 − 4 ) + 4 (1-12)(3-4)+4 ( 1 − 12 ) ( 3 − 4 ) + 4 3 p ( − 11 ) ( − 1 ) + 4 = 15 (-11)(-1)+4=15 ( − 11 ) ( − 1 ) + 4 = 15 2 p Semnalează o greșeală
II.2 5 p Arătați că legea este comutativă.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) La schimbarea lui x cu y, factorii devin ( y − 4 x ) (y-4x) ( y − 4 x ) ( x − 4 y ) (x-4y) ( x − 4 y ) 3 p Produsul nu se modifică, iar constanta 4 rămâne aceeași. Prin urmare x*y=y*x pentru orice x,y. 2 p Semnalează o greșeală
II.3 5 p Determinați x x x x ∗ 0 = 0 x*0=0 x ∗ 0 = 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { − 1 , 1 } x\in\{-1,1\} x ∈ { − 1 , 1 }
Criterii (după barem) x ∗ 0 = x ( − 4 x ) + 4 = 4 − 4 x 2 x*0=x(-4x)+4=4-4x^2 x ∗ 0 = x ( − 4 x ) + 4 = 4 − 4 x 2 3 p Din 4 − 4 x 2 = 0 4-4x^2=0 4 − 4 x 2 = 0 x 2 = 1 x^2=1 x 2 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.4 5 p Arătați x ∗ ( x + 1 ) = 9 x ( x + 1 ) x*(x+1)=9x(x+1) x ∗ ( x + 1 ) = 9 x ( x + 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Factorii sunt − 3 x − 4 -3x-4 − 3 x − 4 1 − 3 x 1-3x 1 − 3 x 3 p Produsul lor plus 4 este 9 x 2 + 9 x − 4 + 4 = 9 x ( x + 1 ) 9x^2+9x-4+4=9x(x+1) 9 x 2 + 9 x − 4 + 4 = 9 x ( x + 1 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.5 5 p Determinați x x x ( x − 1 ) ∗ x = ( x + 1 ) ∗ ( x + 2 ) (x-1)*x=(x+1)*(x+2) ( x − 1 ) ∗ x = ( x + 1 ) ∗ ( x + 2 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 1 / 2 x=-1/2 x = − 1/2
Criterii (după barem) Folosind identitatea precedentă: 9 ( x − 1 ) x = 9 ( x + 1 ) ( x + 2 ) 9(x-1)x=9(x+1)(x+2) 9 ( x − 1 ) x = 9 ( x + 1 ) ( x + 2 ) 3 p x 2 − x = x 2 + 3 x + 2 x^2-x=x^2+3x+2 x 2 − x = x 2 + 3 x + 2 4 x = − 2 4x=-2 4 x = − 2 2 p Semnalează o greșeală
II.6 5 p Determinați m m m x ∗ ( m x ) = 4 x*(mx)=4 x ∗ ( m x ) = 4 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m ∈ { 1 / 4 , 4 } m\in\{1/4,4\} m ∈ { 1/4 , 4 }
Criterii (după barem) x ∗ ( m x ) = ( 1 − 4 m ) ( m − 4 ) x 2 + 4 x*(mx)=(1-4m)(m-4)x^2+4 x ∗ ( m x ) = ( 1 − 4 m ) ( m − 4 ) x 2 + 4 2 p Identitatea pentru orice x cere ( 1 − 4 m ) ( m − 4 ) = 0 (1-4m)(m-4)=0 ( 1 − 4 m ) ( m − 4 ) = 0 3 p Semnalează o greșeală
II
Pe R \mathbb R R x ∗ y = x y − x − 2 y + 4 x*y=xy-x-2y+4 x ∗ y = x y − x − 2 y + 4
II.1 5 p Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește: 9 − 3 − 6 + 4 9-3-6+4 9 − 3 − 6 + 4 3 p Suma este 4 4 4 2 p Semnalează o greșeală
II.2 5 p Determinați x x x x ∗ ( − 2 ) = x x*(-2)=x x ∗ ( − 2 ) = x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 2 x=2 x = 2
Criterii (după barem) x ∗ ( − 2 ) = − 2 x − x + 4 + 4 = − 3 x + 8 x*(-2)=-2x-x+4+4=-3x+8 x ∗ ( − 2 ) = − 2 x − x + 4 + 4 = − 3 x + 8 3 p − 3 x + 8 = x -3x+8=x − 3 x + 8 = x 4 x = 8 4x=8 4 x = 8 2 p Semnalează o greșeală
II.3 5 p Determinați x x x ( − x ) ∗ x = 2 x (-x)*x=2x ( − x ) ∗ x = 2 x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { − 4 , 1 } x\in\{-4,1\} x ∈ { − 4 , 1 }
Criterii (după barem) ( − x ) ∗ x = − x 2 − x + 4 (-x)*x=-x^2-x+4 ( − x ) ∗ x = − x 2 − x + 4 x 2 + 3 x − 4 = 0 x^2+3x-4=0 x 2 + 3 x − 4 = 0 2 p Factorizează ( x + 4 ) ( x − 1 ) = 0 (x+4)(x-1)=0 ( x + 4 ) ( x − 1 ) = 0 3 p Semnalează o greșeală
II.4 5 p Arătați x ∗ y = ( x − 2 ) ( y − 1 ) + 2 x*y=(x-2)(y-1)+2 x ∗ y = ( x − 2 ) ( y − 1 ) + 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Dezvoltă membrul drept: x y − x − 2 y + 2 + 2 xy-x-2y+2+2 x y − x − 2 y + 2 + 2 2 p Obții x y − x − 2 y + 4 xy-x-2y+4 x y − x − 2 y + 4 3 p Semnalează o greșeală
II.5 5 p Determinați a ≠ 0 a\ne0 a = 0 4 ∗ ( 4 ∗ a ) = 1 / a 4*(4*a)=1/a 4 ∗ ( 4 ∗ a ) = 1/ a
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = ± 1 / 2 a=\pm1/2 a = ± 1/2
Criterii (după barem) 4 ∗ a = 2 a 4*a=2a 4 ∗ a = 2 a 4 ∗ ( 4 ∗ a ) = 4 a 4*(4*a)=4a 4 ∗ ( 4 ∗ a ) = 4 a 4 a 2 = 1 4a^2=1 4 a 2 = 1 2 p Rezultă a 2 = 1 / 4 a^2=1/4 a 2 = 1/4 a = − 1 / 2 a=-1/2 a = − 1/2 a = 1 / 2 a=1/2 a = 1/2 3 p Semnalează o greșeală
II.6 5 p Determinați perechile naturale ( n , p ) (n,p) ( n , p ) n ∗ p = p n*p=p n ∗ p = p
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( n , p ) = ( 2 , 2 ) , ( 4 , 0 ) (n,p)=(2,2),\ (4,0) ( n , p ) = ( 2 , 2 ) , ( 4 , 0 )
Criterii (după barem) Rearanjează n p − n − 3 p + 4 = 0 np-n-3p+4=0 n p − n − 3 p + 4 = 0 ( n − 3 ) ( p − 1 ) = − 1 (n-3)(p-1)=-1 ( n − 3 ) ( p − 1 ) = − 1 2 p Factorii întregi sunt -1 și 1, în oricare ordine. Rezultă ( 2 , 2 ) (2,2) ( 2 , 2 ) ( 4 , 0 ) (4,0) ( 4 , 0 ) 3 p Semnalează o greșeală
II
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = x y 4 + 8 − x − y x*y=\frac{xy}{4}+8-x-y x ∗ y = 4 x y + 8 − x − y
II.1 5 p Arătați că 1 ∗ 4 = 4 1*4=4 1 ∗ 4 = 4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 1 ∗ 4 = 1 ⋅ 4 4 + 8 − 1 − 4 = 1*4=\frac{1\cdot 4}{4}+8-1-4= 1 ∗ 4 = 4 1 ⋅ 4 + 8 − 1 − 4 = 3 p = 1 + 3 = 4 =1+3=4 = 1 + 3 = 4 2 p Semnalează o greșeală
II.2 5 p Determinați numărul real x x x x ∗ 5 = 6 x*5=6 x ∗ 5 = 6
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 12 x=12 x = 12
Criterii (după barem) x ∗ 5 = x 4 + 3 x*5=\frac{x}{4}+3 x ∗ 5 = 4 x + 3 x x x 3 p x 4 + 3 = 6 \frac{x}{4}+3=6 4 x + 3 = 6 x = 12 x=12 x = 12 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.