Acasă Bacalaureat Matematică pedagogic Pe teme Trigonometrie și rezolvarea triunghiurilor Trigonometrie și rezolvarea triunghiurilor: Matematică pedagogic la Bacalaureat
24 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
I.6 5 p Arătați 4 sin 2 60 ∘ − sin 2 45 ∘ − 2 sin 2 30 ∘ = 2 4\sin^260^\circ-\sin^245^\circ-2\sin^230^\circ=2 4 sin 2 6 0 ∘ − sin 2 4 5 ∘ − 2 sin 2 3 0 ∘ = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Pătratele valorilor sunt 3 / 4 3/4 3/4 1 / 2 1/2 1/2 1 / 4 1/4 1/4 3 p 4 ⋅ 3 / 4 − 1 / 2 − 2 ⋅ 1 / 4 = 3 − 1 = 2 4\cdot3/4-1/2-2\cdot1/4=3-1=2 4 ⋅ 3/4 − 1/2 − 2 ⋅ 1/4 = 3 − 1 = 2 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p D E F DEF D EF D E = 3 DE=3 D E = 3 sin F = 1 / 3 \sin F=1/3 sin F = 1/3 D F = 6 2 DF=6\sqrt2 D F = 6 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin F = D E / E F \sin F=DE/EF sin F = D E / EF 3 p Pitagora dă D F = 81 − 9 = 72 = 6 2 DF=\sqrt{81-9}=\sqrt{72}=6\sqrt2 D F = 81 − 9 = 72 = 6 2 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați 2 sin 45 ∘ sin 30 ∘ − 2 cos 60 ∘ = 0 2\sin45^\circ\sin30^\circ-\sqrt2\cos60^\circ=0 2 sin 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ − 2 cos 6 0 ∘ = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Valorile sunt sin 45 ∘ = 2 / 2 \sin45^\circ=\sqrt2/2 sin 4 5 ∘ = 2 /2 sin 30 ∘ = cos 60 ∘ = 1 / 2 \sin30^\circ=\cos60^\circ=1/2 sin 3 0 ∘ = cos 6 0 ∘ = 1/2 3 p Primul produs este 2 / 2 \sqrt2/2 2 /2 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că 3 sin 30 ∘ + 2 cos 60 ∘ − sin 60 ∘ = 1 \sqrt{3}\sin 30^\circ+2\cos 60^\circ-\sin 60^\circ=1 3 sin 3 0 ∘ + 2 cos 6 0 ∘ − sin 6 0 ∘ = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 cos 60 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ=\frac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 sin 60 ∘ = 3 2 \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} sin 6 0 ∘ = 2 3 3 p 3 sin 30 ∘ + 2 cos 60 ∘ − sin 60 ∘ = 3 ⋅ 1 2 + 2 ⋅ 1 2 − 3 2 = 1 \sqrt{3}\sin 30^\circ+2\cos 60^\circ-\sin 60^\circ=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=1 3 sin 3 0 ∘ + 2 cos 6 0 ∘ − sin 6 0 ∘ = 3 ⋅ 2 1 + 2 ⋅ 2 1 − 2 3 = 1 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A B C = 8 BC=8 BC = 8 B B B 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ A B C ABC A BC 8 ( 1 + 2 ) 8\left(1+\sqrt{2}\right) 8 ( 1 + 2 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A B = A C = 4 2 AB=AC=4\sqrt{2} A B = A C = 4 2 2 p P Δ A B C = B C + A B + A C = 8 + 8 2 = 8 ( 1 + 2 ) P_{\Delta ABC}=BC+AB+AC=8+8\sqrt{2}=8\left(1+\sqrt{2}\right) P Δ A BC = BC + A B + A C = 8 + 8 2 = 8 ( 1 + 2 ) 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați 4 ( sin 60 ∘ cos 30 ∘ − sin 45 ∘ cos 45 ∘ ) = 1 4(\sin60^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\cos45^\circ)=1 4 ( sin 6 0 ∘ cos 3 0 ∘ − sin 4 5 ∘ cos 4 5 ∘ ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Produsele sunt 3/4 și 1/2. 2 p 4(3/4-1/2)=4·1/4=1. 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, AB=4, sin B=1/3. Arătați A C = 2 AC=\sqrt2 A C = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin B=AC/BC dă BC=3AC. 2 p Pitagora: 16+AC²=9AC², deci AC²=2 și AC=√2. 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că 2 sin 30 ∘ − ( cos 45 ∘ ) 2 − cos 60 ∘ = 0 2\sin 30^\circ-\left(\cos 45^\circ\right)^2-\cos 60^\circ=0 2 sin 3 0 ∘ − ( cos 4 5 ∘ ) 2 − cos 6 0 ∘ = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 cos 45 ∘ = 2 2 \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} cos 4 5 ∘ = 2 2 cos 60 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ=\frac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 3 p 2 sin 30 ∘ − ( cos 45 ∘ ) 2 − cos 60 ∘ = 2 ⋅ 1 2 − ( 2 2 ) 2 − 1 2 = 1 − 1 2 − 1 2 = 0 2\sin 30^\circ-\left(\cos 45^\circ\right)^2-\cos 60^\circ=2\cdot\frac{1}{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0 2 sin 3 0 ∘ − ( cos 4 5 ∘ ) 2 − cos 6 0 ∘ = 2 ⋅ 2 1 − ( 2 2 ) 2 − 2 1 = 1 − 2 1 − 2 1 = 0 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, AB=16 și 5AB=4BC. Arătați AC=12.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) BC=5·16/4=20. 2 p Pitagora dă AC²=400-256=144, deci AC=12. 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 4 AB=4 A B = 4 A C = 8 AC=8 A C = 8 sin C = 5 5 \sin C=\frac{\sqrt{5}}{5} sin C = 5 5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) B C = 4 5 BC=4\sqrt{5} BC = 4 5 2 p sin C = A B B C = 4 4 5 = 5 5 \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} sin C = BC A B = 4 5 4 = 5 5 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați sin 30 ∘ cos 45 ∘ − 1 2 sin 45 ∘ = 0 \sin30^\circ\cos45^\circ-\frac12\sin45^\circ=0 sin 3 0 ∘ cos 4 5 ∘ − 2 1 sin 4 5 ∘ = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin30°=1/2 și cos45°=sin45°=√2/2. 3 p Cei doi termeni sunt ambii √2/4, deci diferența este 0. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, A B = 8 3 AB=8\sqrt3 A B = 8 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Pitagora dă AC=√(256-192)=8. 2 p Mediana la ipotenuză are lungimea jumătății ipotenuzei: AM=MC=8. Toate cele trei laturi ale lui AMC sunt egale. 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Se consideră triunghiul A B C ABC A BC A A A A B = 8 AB=8 A B = 8 A C = 3 AC=3 A C = 3 M M M A B AB A B A M C AMC A MC 12 12 12
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A M = 4 AM=4 A M = 4 2 p M C = A M 2 + A C 2 = 5 MC=\sqrt{AM^2+AC^2}=5 MC = A M 2 + A C 2 = 5 P Δ A M C = A M + A C + M C = 12 P_{\Delta AMC}=AM+AC+MC=12 P Δ A MC = A M + A C + MC = 12 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, AB=12,BC=13. Arătați perimetrul 30.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) AC=√(13²-12²)=√25=5. 3 p Perimetrul este 12+13+5=30. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că ( sin 60 ∘ + sin 30 ∘ ) ( sin 60 ∘ − sin 30 ∘ ) = sin 45 ∘ ⋅ cos 45 ∘ \left(\sin 60^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 60^\circ-\sin 30^\circ\right)=\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ ( sin 6 0 ∘ + sin 3 0 ∘ ) ( sin 6 0 ∘ − sin 3 0 ∘ ) = sin 4 5 ∘ ⋅ cos 4 5 ∘
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin 60 ∘ = 3 2 \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} sin 6 0 ∘ = 2 3 sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 sin 45 ∘ = cos 45 ∘ = 2 2 \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} sin 4 5 ∘ = cos 4 5 ∘ = 2 2 3 p ( sin 60 ∘ + sin 30 ∘ ) ( sin 60 ∘ − sin 30 ∘ ) = sin 45 ∘ ⋅ cos 45 ∘ ⇔ ( 3 2 ) 2 − ( 1 2 ) 2 = ( 2 2 ) 2 ⇔ 1 2 = 1 2 \left(\sin 60^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 60^\circ-\sin 30^\circ\right)=\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ\Leftrightarrow\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{2} ( sin 6 0 ∘ + sin 3 0 ∘ ) ( sin 6 0 ∘ − sin 3 0 ∘ ) = sin 4 5 ∘ ⋅ cos 4 5 ∘ ⇔ ( 2 3 ) 2 − ( 2 1 ) 2 = ( 2 2 ) 2 ⇔ 2 1 = 2 1 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Raza cercului circumscris lui ABC este 5, iar BC=10. Calculați sin A.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 1
Criterii (după barem) Teorema sinusurilor dă BC/sin A=2R. 3 p sin A=10/(2·5)=1. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, AB=6,C=60°. Arătați B C = 4 3 BC=4\sqrt3 BC = 4 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin C=AB/BC=√3/2. 3 p BC=12/√3=4√3. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați 3 2 sin 60 ∘ − 1 3 cos 30 ∘ cos 60 ∘ = 1 / 2 \frac{\sqrt3}{2}\sin60^\circ-\frac1{\sqrt3}\cos30^\circ\cos60^\circ=1/2 2 3 sin 6 0 ∘ − 3 1 cos 3 0 ∘ cos 6 0 ∘ = 1/2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Primul produs este 3/4; al doilea este (1/√3)(√3/2)(1/2)=1/4. 3 p Diferența este 3/4-1/4=1/2. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, AB=3,AC=4,AD înălțimea pe BC. Arătați sin ∠ B A D = 3 / 5 \sin\angle BAD=3/5 sin ∠ B A D = 3/5
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) BC=5. Triunghiurile ABD și ABC sunt asemenea, deci unghiul BAD este egal cu C. 3 p sin BAD=sin C=AB/BC=3/5. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Calculați 3 sin 60 ∘ sin 45 ∘ − 3 sin 30 ∘ cos 45 ∘ \sqrt3\sin60^\circ\sin45^\circ-3\sin30^\circ\cos45^\circ 3 sin 6 0 ∘ sin 4 5 ∘ − 3 sin 3 0 ∘ cos 4 5 ∘
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 0
Criterii (după barem) Primul produs este 3√2/4. 3 p Al doilea este tot 3√2/4, deci diferența este zero. 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.