Bacalaureat 2024 la matematică pedagogic: sesiunea a doua (august)

Subiectul oficial pedagogic, sesiunea a doua (august) 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 2(2+3)−32+2=4\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+3\right)-3\sqrt{2}+2=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 2(2+3)−32+2=2⋅2+32−32+2=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+3\right)-3\sqrt{2}+2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2=2 p
  2. =2+2=4=2+2=43 p

I.25 p

Se consideră funcțiile f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+2f(x)=3x+2 și g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x+3g(x)=2x+3. Determinați numărul real mm pentru care f(m)=g(m)f(m)=g(m).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=1m=1

Criterii (după barem)

  1. f(m)=3m+2f(m)=3m+2, pentru orice număr real mm2 p
  2. g(m)=2m+3g(m)=2m+3, pentru orice număr real mm, deci 3m+2=2m+33m+2=2m+3, de unde obținem m=1m=13 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 24x−3=22−x2^{4x-3}=2^{2-x}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1

Criterii (după barem)

  1. 4x−3=2−x4x-3=2-x, de unde obținem 5x=55x=53 p
  2. x=1x=12 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, numărul 2n+12n+1 să aparțină mulțimii AA.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=49p=\frac{4}{9}

Criterii (după barem)

  1. Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile2 p
  2. Numerele nn, din mulțimea AA, pentru care numărul 2n+12n+1 aparține mulțimii AA sunt 11, 22, 33 și 44, deci sunt 44 cazuri favorabile, de unde obținem p=49p=\frac{4}{9}3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,0)A(3,0) și B(0,4)B(0,4). Calculați aria triunghiului AOBAOB.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 66

Criterii (după barem)

  1. AO=3AO=3, BO=4BO=43 p
  2. Cum triunghiul AOBAOB este dreptunghic în OO, obținem AΔAOB=AO⋅BO2=6\mathcal{A}_{\Delta AOB}=\frac{AO\cdot BO}{2}=62 p

I.65 p

Arătați că (sin⁡60∘+sin⁡30∘)(sin⁡60∘−sin⁡30∘)=sin⁡45∘⋅cos⁡45∘\left(\sin 60^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 60^\circ-\sin 30^\circ\right)=\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. sin⁡60∘=32\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}3 p
  2. (sin⁡60∘+sin⁡30∘)(sin⁡60∘−sin⁡30∘)=sin⁡45∘⋅cos⁡45∘⇔(32)2−(12)2=(22)2⇔12=12\left(\sin 60^\circ+\sin 30^\circ\right)\left(\sin 60^\circ-\sin 30^\circ\right)=\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ\Leftrightarrow\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{2}2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=3xy−2(x+y−1)x\circ y=3xy-2(x+y-1).

II.15 p

Arătați că 1∘2=21\circ 2=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 1∘2=3⋅1⋅2−2(1+2−1)=1\circ 2=3\cdot 1\cdot 2-2(1+2-1)=3 p
  2. =6−4=2=6-4=22 p

II.25 p

Arătați că e=1e=1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∘1=3⋅x⋅1−2(x+1−1)=3x−2x=xx\circ 1=3\cdot x\cdot 1-2(x+1-1)=3x-2x=x, pentru orice număr real xx2 p
  2. 1∘x=3⋅1⋅x−2(1+x−1)=3x−2x=x1\circ x=3\cdot 1\cdot x-2(1+x-1)=3x-2x=x, pentru orice număr real xx, deci e=1e=1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ”3 p

II.35 p

Determinați numărul real xx pentru care (x∘2)+(x∘3)=5(x\circ 2)+(x\circ 3)=5.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1

Criterii (după barem)

  1. (x∘2)+(x∘3)=4x−2+7x−4=11x−6(x\circ 2)+(x\circ 3)=4x-2+7x-4=11x-6, pentru orice număr real xx3 p
  2. 11x−6=511x-6=5, de unde obținem x=1x=12 p

II.45 p

Determinați numerele naturale nn pentru care (3n+1)∘1<7(3n+1)\circ 1<7.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n=0n=0 și n=1n=1

Criterii (după barem)

  1. (3n+1)∘1=3n+1(3n+1)\circ 1=3n+1, pentru orice număr natural nn2 p
  2. 3n+1<73n+1<7, de unde obținem n<2n<2 și, cum nn este număr natural, rezultă n=0n=0 și n=1n=13 p

II.55 p

Demonstrați că x∘y=3(x−23)(y−23)+23x\circ y=3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3}, pentru orice numere reale xx și yy.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∘y=3xy−2x−2y+43+23=3x(y−23)−2(y−23)+23=x\circ y=3xy-2x-2y+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=3x\left(y-\frac{2}{3}\right)-2\left(y-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3}=3 p
  2. =3(x−23)(y−23)+23=3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3}, pentru orice numere reale xx și yy2 p

II.65 p

Arătați că 12∘23∘34∘45=23\frac{1}{2}\circ\frac{2}{3}\circ\frac{3}{4}\circ\frac{4}{5}=\frac{2}{3}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∘23=23∘x=23x\circ\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\circ x=\frac{2}{3}, pentru orice număr real xx3 p
  2. (12∘23)∘(34∘45)=23∘(34∘45)=23\left(\frac{1}{2}\circ\frac{2}{3}\right)\circ\left(\frac{3}{4}\circ\frac{4}{5}\right)=\frac{2}{3}\circ\left(\frac{3}{4}\circ\frac{4}{5}\right)=\frac{2}{3}2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

Se consideră matricele I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a+1−11a−1)A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}, unde aa este număr real.

III.15 p

Arătați că det⁡(A(1))=1\det\left(A(1)\right)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(1)=(2−110)⇒det⁡(A(1))=∣2−110∣=2⋅0−1⋅(−1)=A(1)=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(1)\right)=\begin{vmatrix}2&-1\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot 0-1\cdot(-1)=3 p
  2. =0+1=1=0+1=12 p

III.25 p

Demonstrați că I2+A(a−1)=A(a)I_2+A(a-1)=A(a), pentru orice număr real aa.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. I2+A(a−1)=(1001)+(a−11a−2)=I_2+A(a-1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a&-1\\1&a-2\end{pmatrix}=3 p
  2. =(a+1−11a−1)=A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}=A(a), pentru orice număr real aa2 p

III.35 p

Determinați numerele reale aa pentru care det⁡(A(a))=a\det\left(A(a)\right)=a.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=0a=0 sau a=1a=1

Criterii (după barem)

  1. det⁡(A(a))=∣a+1−11a−1∣=(a+1)⋅(a−1)−1⋅(−1)=a2\det\left(A(a)\right)=\begin{vmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{vmatrix}=(a+1)\cdot(a-1)-1\cdot(-1)=a^2, pentru orice număr real aa3 p
  2. a2=aa^2=a, de unde obținem a=0a=0 sau a=1a=12 p

III.45 p

Determinați numărul real aa pentru care A(a)⋅A(a)=(8−440)A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}8&-4\\4&0\end{pmatrix}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Criterii (după barem)

  1. A(a)⋅A(a)=(a+1−11a−1)(a+1−11a−1)=(a2+2a−2a2aa2−2a)A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a+1&-1\\1&a-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+2a&-2a\\2a&a^2-2a\end{pmatrix}, pentru orice număr real aa3 p
  2. (a2+2a−2a2aa2−2a)=(8−440)\begin{pmatrix}a^2+2a&-2a\\2a&a^2-2a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&-4\\4&0\end{pmatrix}, de unde obținem a=2a=22 p

III.55 p

Determinați matricea X∈M2(R)X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care X⋅A(1)=A(2)X\cdot A(1)=A(2).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(11−13)X=\begin{pmatrix}1&1\\-1&3\end{pmatrix}

Criterii (după barem)

  1. Inversa matricei A(1)A(1) este matricea (01−12)\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}3 p
  2. X=(3−111)(01−12)=(11−13)X=\begin{pmatrix}3&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&3\end{pmatrix}2 p

III.65 p

Demonstrați că det⁡(A(a)+I2)≥0\det\left(A(a)+I_2\right)\ge 0, pentru orice număr real aa.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(a)+I2=(a+2−11a)⇒det⁡(A(a)+I2)=a2+2a+1A(a)+I_2=\begin{pmatrix}a+2&-1\\1&a\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(a)+I_2\right)=a^2+2a+1, pentru orice număr real aa3 p
  2. a2+2a+1=(a+1)2≥0a^2+2a+1=(a+1)^2\ge 0, pentru orice număr real aa2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.