Acasă Bacalaureat Matematică pedagogic 2025 sesiunea specială Bacalaureat 2025 la matematică pedagogic: sesiunea specială
Subiectul oficial pedagogic, sesiunea specială 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați că 6 ⋅ ( 6 − 2 ) − 16 + 2 6 = 2 \sqrt{6}\cdot\left(\sqrt{6}-2\right)-\sqrt{16}+2\sqrt{6}=2 6 ⋅ ( 6 − 2 ) − 16 + 2 6 = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 6 ( 6 − 2 ) − 16 + 2 6 = 6 ⋅ 6 − 2 6 − 4 + 2 6 = \sqrt{6}\left(\sqrt{6}-2\right)-\sqrt{16}+2\sqrt{6}=\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}-2\sqrt{6}-4+2\sqrt{6}= 6 ( 6 − 2 ) − 16 + 2 6 = 6 ⋅ 6 − 2 6 − 4 + 2 6 = 3 p = 6 − 4 = 2 =6-4=2 = 6 − 4 = 2 2 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 3 x − 1 f(x)=3x-1 f ( x ) = 3 x − 1 a a a f ( a ) = 4 f ( 1 ) f(a)=4f(1) f ( a ) = 4 f ( 1 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) f ( 1 ) = 2 f(1)=2 f ( 1 ) = 2 f ( a ) = 3 a − 1 f(a)=3a-1 f ( a ) = 3 a − 1 a a a 3 p 3 a − 1 = 4 ⋅ 2 3a-1=4\cdot 2 3 a − 1 = 4 ⋅ 2 a = 3 a=3 a = 3 2 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 4 + x = 3 2 − x 3^{4+x}=3^{2-x} 3 4 + x = 3 2 − x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 1 x=-1 x = − 1
Criterii (după barem) 4 + x = 2 − x 4+x=2-x 4 + x = 2 − x 3 p x = − 1 x=-1 x = − 1 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Se consideră mulțimea A = { 1 , 2 , 3 , … , 15 } A=\{1,2,3,\ldots,15\} A = { 1 , 2 , 3 , … , 15 } A A A 15 15 15
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: p = 4 15 p=\frac{4}{15} p = 15 4
Criterii (după barem) Mulțimea A A A 15 15 15 15 15 15 2 p În mulțimea A A A 4 4 4 15 15 15 4 4 4 p = 4 15 p=\frac{4}{15} p = 15 4 3 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p În reperul cartezian x O y xOy x O y A ( 4 , 8 ) A(4,8) A ( 4 , 8 ) B ( 5 , 0 ) B(5,0) B ( 5 , 0 ) C C C O A OA O A B B B C C C
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: B C = 5 BC=5 BC = 5
Criterii (după barem) C ( 2 , 4 ) C(2,4) C ( 2 , 4 ) 3 p B C = 3 2 + 4 2 = 5 BC=\sqrt{3^2+4^2}=5 BC = 3 2 + 4 2 = 5 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați că 2 sin 30 ∘ − ( cos 45 ∘ ) 2 − cos 60 ∘ = 0 2\sin 30^\circ-\left(\cos 45^\circ\right)^2-\cos 60^\circ=0 2 sin 3 0 ∘ − ( cos 4 5 ∘ ) 2 − cos 6 0 ∘ = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) sin 30 ∘ = 1 2 \sin 30^\circ=\frac{1}{2} sin 3 0 ∘ = 2 1 cos 45 ∘ = 2 2 \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2} cos 4 5 ∘ = 2 2 cos 60 ∘ = 1 2 \cos 60^\circ=\frac{1}{2} cos 6 0 ∘ = 2 1 3 p 2 sin 30 ∘ − ( cos 45 ∘ ) 2 − cos 60 ∘ = 2 ⋅ 1 2 − ( 2 2 ) 2 − 1 2 = 1 − 1 2 − 1 2 = 0 2\sin 30^\circ-\left(\cos 45^\circ\right)^2-\cos 60^\circ=2\cdot\frac{1}{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0 2 sin 3 0 ∘ − ( cos 4 5 ∘ ) 2 − cos 6 0 ∘ = 2 ⋅ 2 1 − ( 2 2 ) 2 − 2 1 = 1 − 2 1 − 2 1 = 0 2 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = x y + x + y + 10 x*y=xy+x+y+10 x ∗ y = x y + x + y + 10
II.1 5 p Arătați că 2 ∗ 5 = 27 2*5=27 2 ∗ 5 = 27
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 2 ∗ 5 = 2 ⋅ 5 + 2 + 5 + 10 = 2*5=2\cdot 5+2+5+10= 2 ∗ 5 = 2 ⋅ 5 + 2 + 5 + 10 = 3 p = 10 + 2 + 5 + 10 = 27 =10+2+5+10=27 = 10 + 2 + 5 + 10 = 27 2 p Semnalează o greșeală
II.2 5 p Arătați că x ∗ y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) + 9 x*y=(x+1)(y+1)+9 x ∗ y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) + 9 x x x y y y
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x ∗ y = x y + x + y + 1 + 9 = x*y=xy+x+y+1+9= x ∗ y = x y + x + y + 1 + 9 = 2 p = x ( y + 1 ) + ( y + 1 ) + 9 = ( x + 1 ) ( y + 1 ) + 9 =x(y+1)+(y+1)+9=(x+1)(y+1)+9 = x ( y + 1 ) + ( y + 1 ) + 9 = ( x + 1 ) ( y + 1 ) + 9 x x x y y y 3 p Semnalează o greșeală
II.3 5 p Determinați numărul real x x x ( − 10 ) ∗ x = 10 + x (-10)*x=10+x ( − 10 ) ∗ x = 10 + x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 1 x=-1 x = − 1
Criterii (după barem) ( − 10 ) ∗ x = − 9 x (-10)*x=-9x ( − 10 ) ∗ x = − 9 x x x x 2 p − 9 x = 10 + x -9x=10+x − 9 x = 10 + x x = − 1 x=-1 x = − 1 3 p Semnalează o greșeală
II.4 5 p Determinați numerele reale x x x x ∗ ( − x ) = 1 x*(-x)=1 x ∗ ( − x ) = 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 3 x=-3 x = − 3 x = 3 x=3 x = 3
Criterii (după barem) x ∗ ( − x ) = − x 2 + 10 x*(-x)=-x^2+10 x ∗ ( − x ) = − x 2 + 10 x x x 3 p − x 2 + 10 = 1 -x^2+10=1 − x 2 + 10 = 1 − x 2 + 9 = 0 -x^2+9=0 − x 2 + 9 = 0 x = − 3 x=-3 x = − 3 x = 3 x=3 x = 3 2 p Semnalează o greșeală
II.5 5 p Determinați x ∈ [ 0 , + ∞ ) x\in[0,+\infty) x ∈ [ 0 , + ∞ ) ( x − 9 ) ∗ ( 9 − x ) = 9 (x-9)*\left(9-\sqrt{x}\right)=9 ( x − 9 ) ∗ ( 9 − x ) = 9
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 8 x=8 x = 8 x = 100 x=100 x = 100
Criterii (după barem) ( x − 9 ) ∗ ( 9 − x ) = ( x − 8 ) ( 10 − x ) + 9 (x-9)*\left(9-\sqrt{x}\right)=(x-8)\left(10-\sqrt{x}\right)+9 ( x − 9 ) ∗ ( 9 − x ) = ( x − 8 ) ( 10 − x ) + 9 x ∈ [ 0 , + ∞ ) x\in[0,+\infty) x ∈ [ 0 , + ∞ ) 2 p ( x − 8 ) ( 10 − x ) + 9 = 9 (x-8)\left(10-\sqrt{x}\right)+9=9 ( x − 8 ) ( 10 − x ) + 9 = 9 ( x − 8 ) ( 10 − x ) = 0 (x-8)\left(10-\sqrt{x}\right)=0 ( x − 8 ) ( 10 − x ) = 0 x = 8 x=8 x = 8 x = 100 x=100 x = 100 3 p Semnalează o greșeală
II.6 5 p Arătați că, pentru orice număr natural n n n 3 3 3 ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) (n+1)*(n+2) ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) 3 3 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) = ( n + 2 ) ( n + 3 ) + 9 (n+1)*(n+2)=(n+2)(n+3)+9 ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) = ( n + 2 ) ( n + 3 ) + 9 n n n 2 p n = 3 m n=3m n = 3 m m m m ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) = 3 ( ( 3 m + 2 ) ( m + 1 ) + 3 ) (n+1)*(n+2)=3\left((3m+2)(m+1)+3\right) ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) = 3 ( ( 3 m + 2 ) ( m + 1 ) + 3 ) ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) (n+1)*(n+2) ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) 3 3 3 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A = ( 1 − 1 3 1 ) A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&1\end{pmatrix} A = ( 1 3 − 1 1 ) B ( a , b ) = ( a a b a ) B(a,b)=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix} B ( a , b ) = ( a b a a ) a a a b b b
III.1 5 p Arătați că det ( B ( 1 , − 1 ) ) = 2 \det\left(B(1,-1)\right)=2 det ( B ( 1 , − 1 ) ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) B ( 1 , − 1 ) = ( 1 1 − 1 1 ) ⇒ det ( B ( 1 , − 1 ) ) = ∣ 1 1 − 1 1 ∣ = 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ ( − 1 ) = B(1,-1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(B(1,-1)\right)=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-1\cdot(-1)= B ( 1 , − 1 ) = ( 1 − 1 1 1 ) ⇒ det ( B ( 1 , − 1 ) ) = 1 − 1 1 1 = 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ ( − 1 ) = 3 p = 1 + 1 = 2 =1+1=2 = 1 + 1 = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.2 5 p Arătați că A ⋅ B ( 1 , − 3 ) = 4 I 2 A\cdot B(1,-3)=4I_2 A ⋅ B ( 1 , − 3 ) = 4 I 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) B ( 1 , − 3 ) = ( 1 1 − 3 1 ) ⇒ A ⋅ B ( 1 , − 3 ) = ( 4 0 0 4 ) = B(1,-3)=\begin{pmatrix}1&1\\-3&1\end{pmatrix}\Rightarrow A\cdot B(1,-3)=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}= B ( 1 , − 3 ) = ( 1 − 3 1 1 ) ⇒ A ⋅ B ( 1 , − 3 ) = ( 4 0 0 4 ) = 3 p = 4 ( 1 0 0 1 ) = 4 I 2 =4\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=4I_2 = 4 ( 1 0 0 1 ) = 4 I 2 2 p Semnalează o greșeală
III.3 5 p Determinați numerele reale a a a b b b A − 2 I 2 = B ( a , b ) A-2I_2=B(a,b) A − 2 I 2 = B ( a , b )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = − 1 a=-1 a = − 1 b = 3 b=3 b = 3
Criterii (după barem) A − 2 I 2 = ( − 1 − 1 3 − 1 ) A-2I_2=\begin{pmatrix}-1&-1\\3&-1\end{pmatrix} A − 2 I 2 = ( − 1 3 − 1 − 1 ) 2 p ( − 1 − 1 3 − 1 ) = ( a a b a ) \begin{pmatrix}-1&-1\\3&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&a\\b&a\end{pmatrix} ( − 1 3 − 1 − 1 ) = ( a b a a ) a = − 1 a=-1 a = − 1 b = 3 b=3 b = 3 3 p Semnalează o greșeală
III.4 5 p Determinați matricea X ∈ M 2 ( R ) X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) X ∈ M 2 ( R ) X ⋅ B ( 1 , − 1 ) = A X\cdot B(1,-1)=A X ⋅ B ( 1 , − 1 ) = A
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: X = ( 0 − 1 2 − 1 ) X=\begin{pmatrix}0&-1\\2&-1\end{pmatrix} X = ( 0 2 − 1 − 1 )
Criterii (după barem) ( B ( 1 , − 1 ) ) − 1 = ( 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ) \left(B(1,-1)\right)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} ( B ( 1 , − 1 ) ) − 1 = ( 2 1 2 1 − 2 1 2 1 ) 3 p X = A ⋅ ( B ( 1 , − 1 ) ) − 1 = ( 0 − 1 2 − 1 ) X=A\cdot\left(B(1,-1)\right)^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1\\2&-1\end{pmatrix} X = A ⋅ ( B ( 1 , − 1 ) ) − 1 = ( 0 2 − 1 − 1 ) 2 p Semnalează o greșeală
III.5 5 p Știind că a a a b b b a ≠ 0 a\ne 0 a = 0 det ( a A − B ( a , b ) ) = 0 \det\left(aA-B(a,b)\right)=0 det ( a A − B ( a , b ) ) = 0 3 a = b 3a=b 3 a = b
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) a A − B ( a , b ) = ( 0 − 2 a 3 a − b 0 ) ⇒ det ( a A − B ( a , b ) ) = 2 a ( 3 a − b ) aA-B(a,b)=\begin{pmatrix}0&-2a\\3a-b&0\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(aA-B(a,b)\right)=2a(3a-b) a A − B ( a , b ) = ( 0 3 a − b − 2 a 0 ) ⇒ det ( a A − B ( a , b ) ) = 2 a ( 3 a − b ) a a a b b b 3 p 2 a ( 3 a − b ) = 0 2a(3a-b)=0 2 a ( 3 a − b ) = 0 a ≠ 0 a\ne 0 a = 0 3 a = b 3a=b 3 a = b 2 p Semnalează o greșeală
III.6 5 p Determinați perechile ( a , b ) (a,b) ( a , b ) a < b a<b a < b ( a + b ) B ( a , b ) + b B ( a + b , − b ) = B ( 25 , 6 ) (a+b)B(a,b)+bB(a+b,-b)=B(25,6) ( a + b ) B ( a , b ) + b B ( a + b , − b ) = B ( 25 , 6 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( 2 , 3 ) (2,3) ( 2 , 3 ) ( − 3 , − 2 ) (-3,-2) ( − 3 , − 2 )
Criterii (după barem) ( a + b ) B ( a , b ) + b B ( a + b , − b ) = ( ( a + b ) 2 ( a + b ) 2 a b ( a + b ) 2 ) (a+b)B(a,b)+bB(a+b,-b)=\begin{pmatrix}(a+b)^2&(a+b)^2\\ab&(a+b)^2\end{pmatrix} ( a + b ) B ( a , b ) + b B ( a + b , − b ) = ( ( a + b ) 2 ab ( a + b ) 2 ( a + b ) 2 ) a a a b b b 2 p ( ( a + b ) 2 ( a + b ) 2 a b ( a + b ) 2 ) = ( 25 25 6 25 ) \begin{pmatrix}(a+b)^2&(a+b)^2\\ab&(a+b)^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25&25\\6&25\end{pmatrix} ( ( a + b ) 2 ab ( a + b ) 2 ( a + b ) 2 ) = ( 25 6 25 25 ) a + b = 5 a+b=5 a + b = 5 a b = 6 ab=6 ab = 6 a + b = − 5 a+b=-5 a + b = − 5 a b = 6 ab=6 ab = 6 a < b a<b a < b ( 2 , 3 ) (2,3) ( 2 , 3 ) ( − 3 , − 2 ) (-3,-2) ( − 3 , − 2 ) 3 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.