Bacalaureat 2025 la matematică pedagogic: sesiunea a doua (august)

Subiectul oficial pedagogic, sesiunea a doua (august) 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 3⋅(32−16)+2:12=83\cdot\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\right)+2:\frac{1}{2}=8.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 3⋅(32−16)+2:12=3⋅86+2⋅2=3\cdot\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\right)+2:\frac{1}{2}=3\cdot\frac{8}{6}+2\cdot 2=3 p
  2. =4+4=8=4+4=82 p

I.25 p

Se consideră funcțiile f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x−2f(x)=5x-2 și g:R→Rg:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x+7g(x)=2x+7. Determinați numărul real mm pentru care f(1)+g(1)=2mf(1)+g(1)=2m.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=6m=6

Criterii (după barem)

  1. f(1)=3f(1)=3, g(1)=9g(1)=92 p
  2. 3+9=2m3+9=2m, de unde obținem m=6m=63 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2−x=22x−62^{-x}=2^{2x-6}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Criterii (după barem)

  1. −x=2x−6-x=2x-63 p
  2. x=2x=22 p

I.45 p

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={0,1,2,3,…,19}A=\{0,1,2,3,\ldots,19\}, numărul 3n+23n+2 să aparțină mulțimii AA.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: p=310p=\frac{3}{10}

Criterii (după barem)

  1. Mulțimea AA are 2020 de elemente, deci sunt 2020 de cazuri posibile2 p
  2. În mulțimea AA sunt 66 numere nn pentru care numărul 3n+23n+2 aparține mulțimii AA, deci sunt 66 cazuri favorabile, de unde obținem p=620=310p=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}3 p

I.55 p

În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,0)A(1,0), B(0,6)B(0,6), C(5,4)C(5,4) și DD, mijlocul segmentului ACAC. Determinați distanța dintre punctele BB și DD.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: BD=5BD=5

Criterii (după barem)

  1. D(3,2)D(3,2)2 p
  2. BD=5BD=53 p

I.65 p

Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=4AB=4 și AC=8AC=8. Arătați că sin⁡C=55\sin C=\frac{\sqrt{5}}{5}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. BC=45BC=4\sqrt{5}2 p
  2. sin⁡C=ABBC=445=55\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+90−9x−9yx*y=xy+90-9x-9y.

II.15 p

Arătați că 0∗9=90*9=9.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 0∗9=0⋅9+90−9⋅0−9⋅9=0*9=0\cdot 9+90-9\cdot 0-9\cdot 9=3 p
  2. =90−81=9=90-81=92 p

II.25 p

Arătați că x∗y=(x−9)(y−9)+9x*y=(x-9)(y-9)+9, pentru orice numere reale xx și yy.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∗y=xy−9x−9y+81+9=x*y=xy-9x-9y+81+9=2 p
  2. =x(y−9)−9(y−9)+9=(x−9)(y−9)+9=x(y-9)-9(y-9)+9=(x-9)(y-9)+9, pentru orice numere reale xx și yy3 p

II.35 p

Arătați că e=10e=10 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x∗10=(x−9)(10−9)+9=x−9+9=xx*10=(x-9)(10-9)+9=x-9+9=x, pentru orice număr real xx2 p
  2. 10∗x=(10−9)(x−9)+9=x−9+9=x10*x=(10-9)(x-9)+9=x-9+9=x, pentru orice număr real xx, deci e=10e=10 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*”3 p

II.45 p

Determinați simetricul numărului 263\frac{26}{3} în raport cu legea de compoziție „∗*”.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=6x=6

Criterii (după barem)

  1. 263∗x=x∗263=10\frac{26}{3}*x=x*\frac{26}{3}=10, deci (263−9)(x−9)+9=(x−9)(263−9)+9=10\left(\frac{26}{3}-9\right)(x-9)+9=(x-9)\left(\frac{26}{3}-9\right)+9=103 p
  2. x=6x=62 p

II.55 p

Calculați 30∗31∗32∗33∗343^0*3^1*3^2*3^3*3^4.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 99

Criterii (după barem)

  1. x∗9=9x*9=9 și 9∗y=99*y=9, pentru orice numere reale xx și yy2 p
  2. 30∗31∗32∗33∗34=(30∗31)∗9∗33∗34=9∗(33∗34)=93^0*3^1*3^2*3^3*3^4=\left(3^0*3^1\right)*9*3^3*3^4=9*\left(3^3*3^4\right)=93 p

II.65 p

Determinați numerele naturale de forma ab‾\overline{ab} pentru care a∗b=12a*b=12.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 6868 și 8686

Criterii (după barem)

  1. (a−9)(b−9)+9=12⇔(a−9)(b−9)=3(a-9)(b-9)+9=12\Leftrightarrow(a-9)(b-9)=32 p
  2. Cum aa și bb sunt cifre, a≠0a\ne 0, obținem numerele 6868 și 86863 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

Se consideră matricele I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(a)=(a1−32−a)M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\-3&2-a\end{pmatrix}, unde aa este număr real.

III.15 p

Arătați că det⁡(M(1))=4\det\left(M(1)\right)=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. M(1)=(11−31)⇒det⁡(M(1))=∣11−31∣=1⋅1−1⋅(−3)=M(1)=\begin{pmatrix}1&1\\-3&1\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(M(1)\right)=\begin{vmatrix}1&1\\-3&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-1\cdot(-3)=3 p
  2. =1+3=4=1+3=42 p

III.25 p

Arătați că 3M(4)−M(2)=2M(5)3M(4)-M(2)=2M(5).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. 3M(4)−M(2)=3(41−3−2)−(21−30)=(102−6−6)=3M(4)-M(2)=3\begin{pmatrix}4&1\\-3&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&1\\-3&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&2\\-6&-6\end{pmatrix}=3 p
  2. =2(51−3−3)=2M(5)=2\begin{pmatrix}5&1\\-3&-3\end{pmatrix}=2M(5)2 p

III.35 p

Determinați numerele reale aa pentru care det⁡(M(a))=0\det\left(M(a)\right)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−1a=-1 sau a=3a=3

Criterii (după barem)

  1. det⁡(M(a))=∣a1−32−a∣=−a2+2a+3\det\left(M(a)\right)=\begin{vmatrix}a&1\\-3&2-a\end{vmatrix}=-a^2+2a+3, pentru orice număr real aa3 p
  2. −a2+2a+3=0-a^2+2a+3=0, de unde obținem a=−1a=-1 sau a=3a=32 p

III.45 p

Determinați numărul real xx pentru care M(3)⋅M(3)=xM(3)M(3)\cdot M(3)=xM(3).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Criterii (după barem)

  1. M(3)=(31−3−1)M(3)=\begin{pmatrix}3&1\\-3&-1\end{pmatrix}, M(3)⋅M(3)=(62−6−2)=2M(3)M(3)\cdot M(3)=\begin{pmatrix}6&2\\-6&-2\end{pmatrix}=2M(3)3 p
  2. 2M(3)=xM(3)2M(3)=xM(3), de unde obținem x=2x=22 p

III.55 p

Determinați matricea X∈M2(R)X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care M(1)⋅X=2M(−1)M(1)\cdot X=2M(-1).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(1−1−33)X=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&3\end{pmatrix}

Criterii (după barem)

  1. (M(1))−1=(14−143414)\left(M(1)\right)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{pmatrix}3 p
  2. X=2(M(1))−1⋅M(−1)X=2\left(M(1)\right)^{-1}\cdot M(-1), deci X=(1−1−33)X=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&3\end{pmatrix}2 p

III.65 p

Determinați numerele întregi mm pentru care det⁡(M(m)+mI2)≤det⁡(M(−2m))\det\left(M(m)+mI_2\right)\le\det\left(M(-2m)\right).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=−2m=-2, m=−1m=-1 și m=0m=0

Criterii (după barem)

  1. det⁡(M(m)+mI2)=4m+3\det\left(M(m)+mI_2\right)=4m+3, det⁡(M(−2m))=−4m2−4m+3\det\left(M(-2m)\right)=-4m^2-4m+3, pentru orice număr întreg mm2 p
  2. 4m+3≤−4m2−4m+34m+3\le-4m^2-4m+3, deci m2+2m≤0m^2+2m\le 0 și, cum mm este număr întreg, obținem m=−2m=-2, m=−1m=-1 și m=0m=03 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.