Bacalaureat 2024 la matematică pedagogic: sesiunea specială

Subiectul oficial pedagogic, sesiunea specială 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că $\sqrt{3}\cdot\left(2-\sqrt{3}\right)-2\sqrt{3}+4=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\sqrt{3}\cdot\left(2-\sqrt{3}\right)-2\sqrt{3}+4=2\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4=$ 2 p
$=-3+4=1$ 3 p

I.25 p

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=5x-4$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=a$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=1$

Criterii (după barem)

$f(a)=5a-4$ , pentru orice număr real $a$ 2 p
$5a-4=a$ , de unde obținem $a=1$ 3 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+4x+5}=1$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=-2$

Criterii (după barem)

$x^2+4x+5=1$ , de unde obținem $x^2+4x+4=0$ 3 p
$x=-2$ , care convine2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , numărul $n^2$ să aparțină mulțimii $A$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $p=\frac{2}{5}$

Criterii (după barem)

Mulțimea $A$ are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile2 p
Numerele $n$ , din mulțimea $A$ , pentru care numărul $n^2$ aparține mulțimii $A$ sunt $0$ , $1$ , $2$ și $3$ , deci sunt $4$ cazuri favorabile, de unde obținem $p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ 3 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,4)$ și $B(7,-4)$ . Arătați că $OA=OM$ , unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Punctul $M(5,0)$ este mijlocul segmentului $AB$ , de unde obținem $OM=5$ 3 p
$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$ , deci $OA=OM$ 2 p

I.65 p

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB=8$ , $AC=3$ și punctul $M$ mijlocul segmentului $AB$ . Arătați că perimetrul triunghiului $AMC$ este egal cu $12$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$AM=4$ 2 p
$MC=\sqrt{AM^2+AC^2}=5$ , deci $P_{\Delta AMC}=AM+AC+MC=12$ 3 p

Subiectul al II-lea 30 p

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=2xy-5(x+y)+15$ .

II.15 p

Arătați că $2\circ 2=3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$2\circ 2=2\cdot 2\cdot 2-5(2+2)+15=$ 3 p
$=8-20+15=3$ 2 p

II.25 p

Arătați că $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$x\circ 3=2\cdot x\cdot 3-5(x+3)+15=6x-5x-15+15=x$ , pentru orice număr real $x$ 2 p
$3\circ x=2\cdot 3\cdot x-5(3+x)+15=6x-15-5x+15=x$ , pentru orice număr real $x$ , deci $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”3 p

II.35 p

Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x\circ 4\le 1$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x\in(-\infty,2]$

Criterii (după barem)

$x\circ 4=3x-5$ , pentru orice număr real $x$ 2 p
$3x-5\le 1$ , de unde obținem $x\le 2$ , deci $x\in(-\infty,2]$ 3 p

II.45 p

Arătați că $x\circ y=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$x\circ y=2xy-5x-5y+\frac{25}{2}+\frac{5}{2}=2x\left(y-\frac{5}{2}\right)-5\left(y-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}=$ 3 p
$=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ 2 p

II.55 p

Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ x=x$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=\frac{5}{2}$ sau $x=3$

Criterii (după barem)

$x\circ x=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{5}{2}$ , pentru orice număr real $x$ 2 p
$2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{5}{2}=x$ , de unde obținem $2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\left(x-\frac{5}{2}\right)=0$ , deci $x=\frac{5}{2}$ sau $x=3$ 3 p

II.65 p

Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $n\circ\frac{1}{n}$ este număr natural.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $n=1$

Criterii (după barem)

$n\circ\frac{1}{n}=17-5n-\frac{5}{n}$ , pentru orice număr natural nenul $n$ 2 p
Cum $n\circ\frac{1}{n}$ și $n$ sunt numere naturale, obținem $n=1$ , care convine și $n=5$ , care nu convine3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix}1&a-1\\0&a\end{pmatrix}$ , unde $a$ este număr real.

III.15 p

Arătați că $\det\left(A(2)\right)=2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$A(2)=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(2)\right)=\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-0\cdot 1=$ 3 p
$=2-0=2$ 2 p

III.25 p

Arătați că $2A(3)-A(5)=I_2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$2A(3)-A(5)=\begin{pmatrix}2&4\\0&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&4\\0&5\end{pmatrix}=$ 3 p
$=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$ 2 p

III.35 p

Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det\left(A(a+1)\right)=2a^2$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=-\frac{1}{2}$ sau $a=1$

Criterii (după barem)

$\det\left(A(a+1)\right)=a+1$ , pentru orice număr real $a$ 3 p
$a+1=2a^2$ , de unde obținem $a=-\frac{1}{2}$ sau $a=1$ 2 p

III.45 p

Arătați că $A(a)\cdot A(b)=A(ab)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&a-1\\0&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&b-1\\0&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&b-1+(a-1)b\\0&ab\end{pmatrix}=$ 3 p
$=\begin{pmatrix}1&ab-1\\0&ab\end{pmatrix}=A(ab)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ 2 p

III.55 p

Determinați inversa matricei $B=A(2)\cdot A(3)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $B^{-1}=A\left(\frac{1}{6}\right)=\begin{pmatrix}1&-\frac{5}{6}\\0&\frac{1}{6}\end{pmatrix}$

Criterii (după barem)

$B=A(2)\cdot A(3)=A(6)$ 2 p
$A(6)\cdot A\left(\frac{1}{6}\right)=A\left(\frac{1}{6}\right)\cdot A(6)=A(1)=I_2$ , de unde obținem că inversa matricei $B$ este matricea $A\left(\frac{1}{6}\right)=\begin{pmatrix}1&-\frac{5}{6}\\0&\frac{1}{6}\end{pmatrix}$ 3 p

III.65 p

Determinați perechile $(a,b)$ de numere naturale pentru care $\det\left(bA(a)\right)=4$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $(1,2)$ și $(4,1)$

Criterii (după barem)

$\det\left(bA(a)\right)=ab^2$ , pentru orice numere naturale $a$ și $b$ 2 p
$ab^2=4$ și, cum $a$ și $b$ sunt numere naturale, obținem perechile $(1,2)$ și $(4,1)$ 3 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.

Bacalaureat 2024 la matematică pedagogic: sesiunea specială

Subiectul I 30 p

I.15 p

Criterii (după barem)

I.25 p

Criterii (după barem)

I.35 p

Criterii (după barem)

I.45 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.65 p

Criterii (după barem)

Subiectul al II-lea 30 p

II.15 p

Criterii (după barem)

II.25 p

Criterii (după barem)

II.35 p

Criterii (după barem)

II.45 p

Criterii (după barem)

II.55 p

Criterii (după barem)

II.65 p

Criterii (după barem)

Subiectul al III-lea 30 p

III.15 p

Criterii (după barem)

III.25 p

Criterii (după barem)

III.35 p

Criterii (după barem)

III.45 p

Criterii (după barem)

III.55 p

Criterii (după barem)

III.65 p

Criterii (după barem)

Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?