Bacalaureat 2025 la matematică pedagogic: examenul din vară

Subiectul oficial pedagogic, examenul din vară 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați 3(1,5−0,3)+0,8:2=43(1{,}5-0{,}3)+0{,}8:2=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Paranteza este 1,2 și primul produs este 3,6.3 p
  2. Al doilea termen este 0,4, deci suma este 4.2 p

I.25 p

Pentru f(x)=2x+1, determinați a cu f(a)=f(3)-a.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Criterii (după barem)

  1. f(3)=7, deci 2a+1=7-a.3 p
  2. 3a=6, de unde a=2.2 p

I.35 p

Rezolvați log⁡2(5x−12)=log⁡2(2x)\log_2(5x-12)=\log_2(2x).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=4x=4

Criterii (după barem)

  1. Argumentele trebuie pozitive: x>12/5. Egalează 5x-12=2x.3 p
  2. 3x=12, deci x=4, admis.2 p

I.45 p

După o scumpire cu 35%, un obiect costă 54 lei. Prețul inițial?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 40 lei

Criterii (după barem)

  1. Prețul final este 1,35P.3 p
  2. 1,35P=54 dă P=40 lei.2 p

I.55 p

A(2,5),B(4,1),C(6,0), iar M mijlocul AB. Arătați OM=CM.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. M=(3,3), deci OM²=18.3 p
  2. CM²=(6-3)²+(0-3)²=18, de unde OM=CM=√18=3√2.2 p

I.65 p

ABC dreptunghic în A, AB=16 și 5AB=4BC. Arătați AC=12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. BC=5·16/4=20.2 p
  2. Pitagora dă AC²=400-256=144, deci AC=12.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II

Pe R\mathbb R, x∗y=xy−6(x+y)+14x*y=xy-6(x+y)+14.

II.15 p

Arătați 0*2=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Înlocuiește: 0-6(0+2)+14.3 p
  2. Rezultatul este -12+14=2.2 p

II.25 p

Arătați că legea este comutativă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Atât xy, cât și x+y rămân neschimbate la permutarea lui x cu y.3 p
  2. Formula xy-6(x+y)+14 este astfel simetrică: x*y=y*x pentru toate x,y.2 p

II.35 p

Determinați x cu x*4=4.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−7x=-7

Criterii (după barem)

  1. x*4=4x-6x-24+14=-2x-10.3 p
  2. -2x-10=4 dă -2x=14, deci x=-7.2 p

II.45 p

Determinați m,n naturale, m<n, cu (−m)∗(−n)=(m∗n)+36(-m)*(-n)=(m*n)+36.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (m,n)=(0,3), (1,2)(m,n)=(0,3),\ (1,2)

Criterii (după barem)

  1. Diferența dintre cei doi termeni cu legea este 12(m+n). Egalitatea cere m+n=3.2 p
  2. Cu 0≤m<n, rezultă numai (0,3) și (1,2); ambele verifică enunțul.3 p

II.55 p

Determinați x cu (1+3x)∗(1−3x)=0(1+3^x)*(1-3^x)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1/2x=1/2

Criterii (după barem)

  1. Notând t=3^x>0, suma argumentelor este 2 și produsul 1-t². Formula dă 3-t².3 p
  2. t2=3t^2=3 înseamnă 32x=33^{2x}=3, deci 2x=12x=1 și x=1/2x=1/2.2 p

II.65 p

Arătați x∗(1/x)≤3x*(1/x)\le3 pentru x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Formula dă 15-6(x+1/x). Pentru x>0, (x−1)2/x≥0(x-1)^2/x\ge0 implică x+1/x≥2.2 p
  2. Înmulțind cu -6 schimbi sensul: 15-6(x+1/x)≤15-12=3.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

M(x)=(23xx2)M(x)=\begin{pmatrix}2&3x\\x&2\end{pmatrix}, x∈Rx\in\mathbb R; I2I_2 este identitatea.

III.15 p

Arătați det⁡M(1)=1\det M(1)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. M(1) are liniile (2,3),(1,2).3 p
  2. Determinantul este 4-3=1.2 p

III.25 p

Arătați M(1)+2M(4)=3M(3)M(1)+2M(4)=3M(3).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Suma este (62796)\begin{pmatrix}6&27\\9&6\end{pmatrix}.3 p
  2. Împărțind fiecare element la 3 obții M(3), deci egalitatea este verificată.2 p

III.35 p

Determinați a cu M(2)M(−2)=aI2M(2)M(-2)=aI_2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−8a=-8

Criterii (după barem)

  1. Produsul are elementele diagonale 4-12=-8 și elementele nediagonale zero.3 p
  2. Deci este -8I₂ și a=-8.2 p

III.45 p

Determinați x cu det⁡(M(x)+M(−2x))=4\det(M(x)+M(-2x))=4.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{−2,2}x\in\{-2,2\}

Criterii (după barem)

  1. Suma este (4−3x−x4)\begin{pmatrix}4&-3x\\-x&4\end{pmatrix}, cu determinantul 16-3x².3 p
  2. 16-3x²=4 dă x²=4, deci x=±2.2 p

III.55 p

Determinați x,y cu M(x)M(−1)+M(y)=12M(−1)M(x)M(-1)+M(y)=12M(-1).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−6, y=2x=-6,\ y=2

Criterii (după barem)

  1. Diagonala ecuației dă 6-3x=24, deci x=-6. Elementul (2,1) dă 2x-2+y=-12.3 p
  2. Cu x=-6 rezultă y=2. Elementul (1,2) este de trei ori aceeași egalitate, deci toate sunt satisfăcute.2 p

III.65 p

Arătați că N=det⁡(2M(1)+nI2)N=\det(2M(1)+nI_2) este natural multiplu de 4 pentru n natural par.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Determinantul este (n+4)²-12=n²+8n+4.3 p
  2. Scrie n=2k cu k natural: N=4(k²+4k+1), multiplu pozitiv de 4.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.