Acasă Bacalaureat Matematică pedagogic 2025 modelul oficial Bacalaureat 2025 la matematică pedagogic: modelul oficial
Subiectul oficial pedagogic, modelul oficial 2025, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Progresie aritmetică cu a₂=4,a₃=6. Calculați a₁.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 2
Criterii (după barem) Rația este 6-4=2. 3 p a₁=a₂-r=4-2=2. 2 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p Pentru f(x)=x²-x+4, arătați f(0)=f(1).
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f(0)=0-0+4=4. 2 p f(1)=1-1+4=4; deci sunt egale. 3 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați 7 3 x − 2 − 49 ⋅ 7 x = 0 7^{3x-2}-49\cdot7^x=0 7 3 x − 2 − 49 ⋅ 7 x = 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 2 x=2 x = 2
Criterii (după barem) Scrie 49 ⋅ 7 x = 7 x + 2 49\cdot7^x=7^{x+2} 49 ⋅ 7 x = 7 x + 2 7 7 7 3 p 3x-2=x+2 dă 2x=4, x=2. 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p După ce parcurge 75% din traseu, unui alpinist îi mai rămân 2 km. Lungimea traseului?
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 8 km
Criterii (după barem) Restul de 25% reprezintă 2 km. 3 p Lungimea totală este 2/0,25=8 km. 2 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p A(2,3),B(5,7), iar B este mijlocul lui AC. Determinați AC.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 10
Criterii (după barem) AB=√((5-2)²+(7-3)²)=5. 3 p B fiind mijloc, AC=2AB=10. 2 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p Arătați 4 ( sin 60 ∘ cos 30 ∘ − sin 45 ∘ cos 45 ∘ ) = 1 4(\sin60^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\cos45^\circ)=1 4 ( sin 6 0 ∘ cos 3 0 ∘ − sin 4 5 ∘ cos 4 5 ∘ ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Produsele sunt 3/4 și 1/2. 2 p 4(3/4-1/2)=4·1/4=1. 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II
Pe R \mathbb R R x ∘ y = ( x + y ) / 2 − 1 x\circ y=(x+y)/2-1 x ∘ y = ( x + y ) /2 − 1
II.1 5 p Arătați ( − 2 ) ∘ 4 = 0 (-2)\circ4=0 ( − 2 ) ∘ 4 = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește: (-2+4)/2-1. 3 p 2/2-1=0. 2 p Semnalează o greșeală
II.2 5 p Arătați că legea este comutativă.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Suma x+y este egală cu y+x. 3 p Împărțirea la 2 și scăderea lui 1 păstrează egalitatea, deci x∘y=y∘x pentru orice x,y. 2 p Semnalează o greșeală
II.3 5 p Demonstrați ( 2 x + 1 ) ∘ 1 = x (2x+1)\circ1=x ( 2 x + 1 ) ∘ 1 = x
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Formula dă (2x+1+1)/2-1. 2 p Aceasta este x+1-1=x, pentru orice x. 3 p Semnalează o greșeală
II.4 5 p Determinați x cu x 2 ∘ x = 2 x^2\circ x=2 x 2 ∘ x = 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { − 3 , 2 } x\in\{-3,2\} x ∈ { − 3 , 2 }
Criterii (după barem) (x²+x)/2-1=2 dă x²+x-6=0. 2 p Factorizează (x+3)(x-2)=0, de unde x=-3 sau 2. 3 p Semnalează o greșeală
II.5 5 p Arătați ( x 2 + 3 ) ∘ ( 4 x + 5 ) ≥ 1 (x^2+3)\circ(4x+5)\ge1 ( x 2 + 3 ) ∘ ( 4 x + 5 ) ≥ 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Formula dă (x²+4x+8)/2-1=(x²+4x+6)/2. 2 p Completează pătratul: (x+2)²/2+1≥1. 3 p Semnalează o greșeală
II.6 5 p Determinați m,n naturale, m<n, cu m ∘ n ≤ 0 m\circ n\le0 m ∘ n ≤ 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( m , n ) = ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 ) (m,n)=(0,1),\ (0,2) ( m , n ) = ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 )
Criterii (după barem) Inegalitatea înseamnă m+n≤2. Cu 0≤m<n, dacă m≥1 suma este cel puțin 1+2=3, imposibil. 2 p Rămâne m=0 și 0<n≤2, deci (0,1),(0,2). 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III
A ( a ) = ( a − 1 a a a + 1 ) A(a)=\begin{pmatrix}a-1&a\\a&a+1\end{pmatrix} A ( a ) = ( a − 1 a a a + 1 ) a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R I 2 I_2 I 2
III.1 5 p Arătați det A ( 2 ) = − 1 \det A(2)=-1 det A ( 2 ) = − 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A(2) are liniile (1,2),(2,3). 3 p Determinantul este 3-4=-1. 2 p Semnalează o greșeală
III.2 5 p Arătați A ( 2 ) + A ( 0 ) = 2 A ( 1 ) A(2)+A(0)=2A(1) A ( 2 ) + A ( 0 ) = 2 A ( 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Suma este ( 0 2 2 4 ) \begin{pmatrix}0&2\\2&4\end{pmatrix} ( 0 2 2 4 ) 3 p Aceasta este 2A(1), prin înmulțirea fiecărui element cu 2. 2 p Semnalează o greșeală
III.3 5 p Arătați A ( 0 ) 2 = I 2 A(0)^2=I_2 A ( 0 ) 2 = I 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A(0)=diag(-1,1). 3 p Pătratul unei matrice diagonale ridică fiecare element la pătrat: diag(1,1)=I₂. 2 p Semnalează o greșeală
III.4 5 p Demonstrați că A(a) este inversabilă pentru orice a real.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) det A(a)=(a-1)(a+1)-a²=-1. 3 p Determinantul nu este niciodată zero, deci inversa există pentru fiecare a real. 2 p Semnalează o greșeală
III.5 5 p Determinați a cu det ( A ( a ) + a I 2 ) = 11 \det(A(a)+aI_2)=11 det ( A ( a ) + a I 2 ) = 11
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a ∈ { − 2 , 2 } a\in\{-2,2\} a ∈ { − 2 , 2 }
Criterii (după barem) Suma are diagonala 2a-1,2a+1 și elementele nediagonale a. Determinantul este 3a²-1. 3 p 3a²-1=11 dă a²=4, deci a=±2. 2 p Semnalează o greșeală
III.6 5 p C ( a , b ) = a A ( b ) + b A ( a ) C(a,b)=aA(b)+bA(a) C ( a , b ) = a A ( b ) + b A ( a )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( a , b ) = ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) (a,b)=(1,3),\ (3,1) ( a , b ) = ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 )
Criterii (după barem) Suma elementelor lui A(t) este 4t, deci suma elementelor lui C este 8ab. 2 p 8ab=24 dă ab=3. Perechile naturale de factori sunt (1,3) și (3,1). 3 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.