Bacalaureat 2026 la matematică pedagogic: sesiunea a doua (august)

Subiectul oficial pedagogic, sesiunea a doua (august) 2026, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n\ge 1}$ , în care $a_1=2$ și $a_2=16$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a_3=30$

Criterii (după barem)

$r=a_2-a_1=14$ , unde $r$ este rația progresiei3 p
$a_3=16+14=30$ 2 p

I.25 p

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x-2$ . Determinați numărul real $m$ pentru care $f(3)+f(5)=f(m)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=6$

Criterii (după barem)

$f(3)=1$ , $f(5)=3$ , $f(m)=m-2$ , pentru orice număr real $m$ 3 p
$1+3=m-2$ , de unde obținem $m=6$ 2 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x}=\sqrt{12-x}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=3$

Criterii (după barem)

$3x=12-x$ 3 p
$x=3$ , care convine2 p

I.45 p

Se consideră mulțimea $A=\{20,21,22,\ldots,35\}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$ , acesta să fie multiplu de $5$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $p=\frac{1}{4}$

Criterii (după barem)

Mulțimea $A$ are $16$ elemente, deci sunt $16$ cazuri posibile2 p
În mulțimea $A$ sunt $4$ multipli de $5$ , deci sunt $4$ cazuri favorabile, de unde obținem $p=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ 3 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,3)$ și $N(7,1)$ . Arătați că triunghiul $OMN$ este dreptunghic.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$OM=\sqrt{10}$ , $ON=\sqrt{50}$ 2 p
$MN=\sqrt{40}$ și, cum $ON^2=50=10+40=OM^2+MN^2$ , obținem că triunghiul $OMN$ este dreptunghic3 p

I.65 p

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $BC=8$ și măsura unghiului $B$ egală cu $45^\circ$ . Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $8\left(1+\sqrt{2}\right)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$AB=AC=4\sqrt{2}$ 2 p
$P_{\Delta ABC}=BC+AB+AC=8+8\sqrt{2}=8\left(1+\sqrt{2}\right)$ 3 p

Subiectul al II-lea 30 p

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\frac{1}{3}(x-2)(y-2)+2$ .

II.15 p

Arătați că $4\circ 8=6$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$4\circ 8=\frac{1}{3}(4-2)(8-2)+2=$ 3 p
$=4+2=6$ 2 p

II.25 p

Determinați numărul real $x$ pentru care $(-1)\circ x=x$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=2$

Criterii (după barem)

$(-1)\circ x=-x+4$ , pentru orice număr real $x$ 3 p
$-x+4=x$ , de unde obținem $x=2$ 2 p

II.35 p

Arătați că $e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$x\circ 5=\frac{1}{3}(x-2)(5-2)+2=x-2+2=x$ , pentru orice număr real $x$ 2 p
$5\circ x=\frac{1}{3}(5-2)(x-2)+2=x-2+2=x$ , pentru orice număr real $x$ , deci $e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”3 p

II.45 p

Determinați numerele naturale $n$ pentru care numărul $N=n\circ(-n)$ este natural.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $n=1$ și $n=2$

Criterii (după barem)

$N=\frac{10-n^2}{3}$ , pentru orice număr natural $n$ 2 p
Cum $N$ și $n$ sunt numere naturale, obținem $n=1$ și $n=2$ 3 p

II.55 p

Determinați numărul real $x$ , știind că $1$ este simetricul lui $x$ în raport cu legea de compoziție „ $\circ$ ”.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=-7$

Criterii (după barem)

$x\circ 1=1\circ x=5$ , de unde obținem $-\frac{1}{3}(x-2)+2=5$ 3 p
$x=-7$ 2 p

II.65 p

Determinați numerele naturale $m$ și $p$ pentru care $2^m\circ 3^p=4$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=3$ și $p=1$

Criterii (după barem)

$2^m\circ 3^p=\frac{1}{3}\left(2^m-2\right)\left(3^p-2\right)+2$ , deci $\frac{1}{3}\left(2^m-2\right)\left(3^p-2\right)+2=4$ 2 p
$\left(2^m-2\right)\left(3^p-2\right)=6$ și, cum $m$ și $p$ sunt numere naturale, obținem $m=3$ și $p=1$ 3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix}2&0\\x&x-3\end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

III.15 p

Arătați că $\det\left(A(5)\right)=4$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$A(5)=\begin{pmatrix}2&0\\5&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A(5)\right)=\begin{vmatrix}2&0\\5&2\end{vmatrix}=2\cdot 2-0\cdot 5=$ 3 p
$=4-0=4$ 2 p

III.25 p

Determinați numărul real $x$ pentru care $3A(5)-A(1)=2A(x)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=7$

Criterii (după barem)

$3A(5)-A(1)=\begin{pmatrix}6&0\\15&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\14&8\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2&0\\7&4\end{pmatrix}=2A(7)$ 3 p
$2A(x)=2A(7)$ , de unde obținem $x=7$ 2 p

III.35 p

Determinați numărul real $m$ pentru care $A(4)\cdot A(4)+2I_2=mA(4)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=3$

Criterii (după barem)

$A(4)=\begin{pmatrix}2&0\\4&1\end{pmatrix}$ , $A(4)\cdot A(4)+2I_2=\begin{pmatrix}4&0\\12&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0\\12&3\end{pmatrix}=3A(4)$ 3 p
$3A(4)=mA(4)$ , de unde obținem $m=3$ 2 p

III.45 p

Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det\left(A(x)+A\left(x^2\right)\right)=0$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=-3$ sau $x=2$

Criterii (după barem)

$A(x)+A\left(x^2\right)=\begin{pmatrix}4&0\\x+x^2&x+x^2-6\end{pmatrix}$ , de unde obținem $\det\left(A(x)+A\left(x^2\right)\right)=4\left(x+x^2-6\right)$ , pentru orice număr real $x$ 2 p
$4\left(x^2+x-6\right)=0$ , de unde obținem $x=-3$ sau $x=2$ 3 p

III.55 p

Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care suma elementelor matricei $A(x)\cdot A(a)$ este egală cu $b$ , pentru orice număr real $x$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=\frac{1}{2}$ și $b=10$

Criterii (după barem)

$A(x)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}4&0\\2x+ax-3a&ax-3a-3x+9\end{pmatrix}$ , deci suma elementelor matricei $A(x)\cdot A(a)$ este egală cu $2ax-x-6a+13$ , pentru orice numere reale $x$ și $a$ 2 p
$x(2a-1)-6a+13=b$ , pentru orice număr real $x$ , de unde obținem $a=\frac{1}{2}$ și $b=10$ 3 p

III.65 p

Se consideră matricea $B=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$ . Determinați matricea $C\in\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ pentru care $A(5)\cdot C=B$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $C=\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$

Criterii (după barem)

$C=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale, de unde obținem $A(5)\cdot C=\begin{pmatrix}2a\\5a+2b\end{pmatrix}$ 2 p
$\begin{pmatrix}2a\\5a+2b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$ , de unde obținem $a=2$ și $b=-5$ , deci $C=\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$ 3 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.

Bacalaureat 2026 la matematică pedagogic: sesiunea a doua (august)

Subiectul I 30 p

I.15 p

Criterii (după barem)

I.25 p

Criterii (după barem)

I.35 p

Criterii (după barem)

I.45 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.65 p

Criterii (după barem)

Subiectul al II-lea 30 p

II.15 p

Criterii (după barem)

II.25 p

Criterii (după barem)

II.35 p

Criterii (după barem)

II.45 p

Criterii (după barem)

II.55 p

Criterii (după barem)

II.65 p

Criterii (după barem)

Subiectul al III-lea 30 p

III.15 p

Criterii (după barem)

III.25 p

Criterii (după barem)

III.35 p

Criterii (după barem)

III.45 p

Criterii (după barem)

III.55 p

Criterii (după barem)

III.65 p

Criterii (după barem)

Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?