Bacalaureat 2023 la matematică pedagogic: modelul oficial

Subiectul oficial pedagogic, modelul oficial 2023, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați (2/5)−1+212=5(2/5)^{-1}+2\frac12=5.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Reciproca lui 2/5 este 5/2. Numărul mixt 2½ este tot 5/2.3 p
  2. Suma este 10/2=5.2 p

I.25 p

f(x)=x+1. Determinați a cu f(a) media aritmetică a lui f(1),f(5).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=3a=3

Criterii (după barem)

  1. f(1)=2 și f(5)=6; media este (2+6)/2=4.3 p
  2. a+1=4, deci a=3.2 p

I.35 p

Rezolvați 2x−1+3=52\sqrt{x-1}+3=5.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Criterii (după barem)

  1. Domeniul este x≥1. Ecuația dă √(x-1)=1.3 p
  2. x-1=1, deci x=2; verificarea dă 2·1+3=5.2 p

I.45 p

Alegi uniform un număr din {1,2,...,2022}. Probabilitatea să fie multiplu de 2?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1/21/2

Criterii (după barem)

  1. Numerele pare sunt 2,4,...,2022, în număr de 1011.2 p
  2. p=1011/2022=1/2.3 p

I.55 p

A(1,3),B(-2,-1),C(1,-1). Arătați ABC dreptunghic.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. AC este vertical, deoarece A și C au aceeași abscisă 1. BC este orizontal, deoarece B și C au aceeași ordonată -1.3 p
  2. Cele două segmente sunt perpendiculare și nenule, deci unghiul C este drept.2 p

I.65 p

Raza cercului circumscris lui ABC este 5, iar BC=10. Calculați sin A.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1

Criterii (după barem)

  1. Teorema sinusurilor dă BC/sin A=2R.3 p
  2. sin A=10/(2·5)=1.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II

Pe R\mathbb R, legea asociativă x∘y=xy+8(x+y)+56x\circ y=xy+8(x+y)+56.

II.15 p

Arătați (−5)∘(−6)=−2(-5)\circ(-6)=-2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Produsul este 30, iar 8(-5-6)=-88.3 p
  2. 30-88+56=-2.2 p

II.25 p

Demonstrați x∘y=(x+8)(y+8)−8x\circ y=(x+8)(y+8)-8.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Dezvoltarea dă xy+8x+8y+64-8.3 p
  2. Rămâne xy+8(x+y)+56, exact definiția.2 p

II.35 p

Arătați că e=-7 este element neutru.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Forma factorizată dă (x+8)·1-8=x.2 p
  2. Formula simetrică dă același rezultat și în ordinea inversă, deci -7 este neutru.3 p

II.45 p

Rezolvați x∘(x+2)≤−8x\circ(x+2)\le-8.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈[−10,−8]x\in[-10,-8]

Criterii (după barem)

  1. Forma factorizată dă (x+8)(x+10)-8≤-8.2 p
  2. Produsul (x+8)(x+10)≤0 exact între rădăcinile -10 și -8, inclusiv capetele.3 p

II.55 p

Rezolvați 2x∘(−7)=162^x\circ(-7)=16.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=4x=4

Criterii (după barem)

  1. -7 este neutru, deci stânga este 2^x.3 p
  2. 2^x=16=2⁴, de unde x=4.2 p

II.65 p

Determinați a cu 2(a∘1)=a+(a∘2)2(a\circ1)=a+(a\circ2).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−8a=-8

Criterii (după barem)

  1. a∘1=9a+64 și a∘2=10a+72.3 p
  2. 18a+128=11a+72 dă 7a=-56, deci a=-8.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

A=(0321)A=\begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix}, M(x)=I2+xAM(x)=I_2+xA, x∈Rx\in\mathbb R.

III.15 p

Arătați det⁡A=−6\det A=-6.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Aplică ad-bc: 0·1-3·2.3 p
  2. Rezultatul este -6.2 p

III.25 p

Demonstrați M(x)=(13x2xx+1)M(x)=\begin{pmatrix}1&3x\\2x&x+1\end{pmatrix}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. xA are liniile (0,3x),(2x,x).3 p
  2. Adunarea lui I₂ adaugă 1 numai pe diagonală, rezultând matricea indicată.2 p

III.35 p

B=(−1)M(−1)M(1)B=(-1)M(-1)M(1). Arătați că suma elementelor lui B este pătratul unui natural.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. B=-(I-A)(I+A)=A²-I=[[5,3],[2,6]].3 p
  2. Suma este 5+3+2+6=16=4², pătratul naturalului 4.2 p

III.45 p

Determinați x cu det⁡M(x)=0\det M(x)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{−1/3,1/2}x\in\{-1/3,1/2\}

Criterii (după barem)

  1. Determinantul este 1+x-6x².2 p
  2. Factorizează (1-2x)(1+3x)=0, de unde x=1/2 sau -1/3.3 p

III.55 p

Arătați C inversabilă, C=M(1)−M(2)+M(3)−M(4)C=M(1)-M(2)+M(3)-M(4).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Termenii I₂ se anulează, iar coeficienții lui A dau 1-2+3-4=-2, deci C=-2A.3 p
  2. det C=(-2)²det A=4·(-6)=-24≠0, deci inversa există.2 p

III.65 p

Determinați a,b naturale cu aM(b)+bM(a)=I2aM(b)+bM(a)=I_2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (a,b)=(0,1), (1,0)(a,b)=(0,1),\ (1,0)

Criterii (după barem)

  1. Stânga este (a+b)I₂+2abA. Elementele nediagonale impun ab=0, iar diagonala apoi a+b=1.2 p
  2. Perechile naturale care satisfac ambele sunt (0,1) și (1,0).3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.