Vectori și geometrie analitică în plan: Matematică M2 la Bacalaureat

26 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.

Bacalaureat 2026, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

În reperul $xOy$ se consideră $A(2,8)$ , $B(0,4)$ și $C(a,b)$ . Determinați $a,b\in\mathbb R$ , știind că segmentele $OA$ și $BC$ au același mijloc.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=2$ , $b=4$

Criterii (după barem)

Mijlocul OA este(1,4).2 p
Egalarea coordonatelor și a=2,b=4.3 p

Bacalaureat 2026, simularea, I.55 p

I.55 p

În reperul $xOy$ se consideră $A(1,0)$ , $B(5,4)$ și dreapta $d:2x+ay=0$ , unde $a\in\mathbb R$ . Determinați a pentru care mijlocul lui AB aparține lui d.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=-3$

Criterii (după barem)

Mijlocul M(3,2).3 p
Apartenența la d și a=-3.2 p

Bacalaureat 2026, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$ , $B(1,5)$ și $C(6,0)$ . Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$m_{AB}=2$ 2 p
$m_{AC}=-\dfrac12$ și, cum $m_{AB}\cdot m_{AC}=-1$ , obținem că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ 3 p

Bacalaureat 2026, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

În reperul $xOy$ , $A(0,5)$ , $B(2,0)$ și $C(4,2)$ . Arătați că $ADC$ este isoscel, unde $D$ este mijlocul lui $BC$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Mijlocul $D(3,1)$ și lungimea $AD=5$ .3 p
Lungimea $AC=5$ și concluzia isoscel.2 p

Bacalaureat 2026, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,0)$ , $B(8,2)$ și $C(1,9)$ . Determinați distanța dintre punctul $C$ și mijlocul segmentului $AB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $CM=10$

Criterii (după barem)

Mijlocul segmentului $AB$ este $M(7,1)$ 3 p
$CM=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ 2 p

Bacalaureat 2026, rezerva din august, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,2)$ , $B(7,4)$ și $C$ , astfel încât $A$ este mijlocul segmentului $BC$ . Determinați lungimea segmentului $OC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $OC=3$

Criterii (după barem)

$\dfrac{7+x_C}{2}=5$ , $\dfrac{4+y_C}{2}=2$ , unde $x_C$ și $y_C$ sunt coordonatele punctului $C$ 2 p
$x_C=3$ , $y_C=0$ , de unde obținem $OC=3$ 3 p

Bacalaureat 2025, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

Fie $A(2,2)$ , $B(2,0)$ , $C(8,2)$ . Determinați DE, unde D și E sunt mijloacele segmentelor OA, respectiv BC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $DE=4$

Criterii (după barem)

Coordonatele D și E.2 p
Distanța 4.3 p

Bacalaureat 2025, simularea, I.55 p

I.55 p

În reperul xOy se consideră $A(3,1)$ și $B(2,4)$ . Arătați că triunghiul OAB este dreptunghic în A.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Calculul unei pante sau unui vector relevant.2 p
Perpendicularitatea celor două laturi și unghiul drept.3 p

Bacalaureat 2025, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4)$ , $B(2,0)$ și $C(8,2)$ . Determinați distanța dintre punctul $A$ și mijlocul segmentului $BC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $AM=5$

Criterii (după barem)

$M(5,1)$ , unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ 3 p
$AM=5$ 2 p

Bacalaureat 2025, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

Fie $A(0,5)$ , $B(8,4)$ și $C$ mijlocul lui $OB$ . Arătați că $AO=AC$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Mijlocul $C(4,2)$ .2 p
Calcularea celor două distanțe egale cu 5.3 p

Bacalaureat 2025, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$ , $B(2,5)$ și $C$ , astfel încât $B$ este mijlocul segmentului $AC$ . Determinați coordonatele punctului $C$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $C(4,8)$

Criterii (după barem)

$2=\dfrac{0+x_C}{2}$ și $5=\dfrac{2+y_C}{2}$ 3 p
$C(4,8)$ 2 p

Bacalaureat 2024, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

Fie $A(1,1)$ , $B(2,2)$ și $C(4,0)$ . Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic în B.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Panta AB=1 sau primul vector echivalent.2 p
Panta BC=-1 și perpendicularitatea sau produsul scalar echivalent.3 p

Bacalaureat 2024, simularea, I.55 p

I.55 p

Fie $A(0,3)$ , $B(2,0)$ , iar $B$ este mijlocul segmentului $OC$ . Determinați distanța $AC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $5$

Criterii (după barem)

Coordonatele C(4, 0).2 p
Distanța AC=5.3 p

Bacalaureat 2024, sesiunea specială, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,6)$ și $B(6,0)$ . Determinați distanța dintre punctele $B$ și $M$ , unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $OA$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $BM=5$

Criterii (după barem)

$M(2,3)$ 2 p
$BM=5$ 3 p

Bacalaureat 2024, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

Fie $A(1,0)$ , $B(4,4)$ , $C(5,2)$ . Arătați că $ABC$ este dreptunghic în $C$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Panta dreptei $AC$ egală cu $1/2$ , sau calcul vectorial echivalent.2 p
Panta $BC=-2$ și perpendicularitatea, sau produs scalar nul echivalent.3 p

Bacalaureat 2024, varianta de rezervă, I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,8)$ , $B(4,2)$ și $C$ , mijlocul segmentului $OA$ . Determinați coordonatele mijlocului segmentului $BC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $(2,3)$

Criterii (după barem)

$C(0,4)$ 2 p
Mijlocul segmentului $BC$ are coordonatele $(2,3)$ 3 p

Bacalaureat 2024, sesiunea a doua (august), I.55 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,5)$ și $B(4,2)$ . Determinați distanța dintre punctul $A$ și mijlocul segmentului $OB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $AM=4$

Criterii (după barem)

$M(2,1)$ este mijlocul segmentului $OB$ 3 p
$AM=4$ 2 p

Bacalaureat 2023, modelul oficial, I.55 p

I.55 p

Fie A(-2, 1), B(2, 5). Determinați dreapta prin B perpendiculară pe AB.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x+y-7=0$

Criterii (după barem)

Panta lui AB și panta perpendicularei.3 p
Ecuația dreptei y=-x+7.2 p

Bacalaureat 2023, simularea, I.55 p

I.55 p

Determinați a real astfel încât vectorii $\vec u=(a,a-1)$ și $\vec v=(1,2)$ să fie coliniari.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=-1$

Criterii (după barem)

Criteriul de coliniaritate aplicat coordonatelor.3 p
Rezolvarea condiției și a=-1.2 p

Bacalaureat 2023, examenul din vară, I.55 p

I.55 p

Pentru $A(4,0),B(0,2),C(3,3)$ și M mijlocul lui AB, arătați că $MO=MC$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

Calcularea lui $M(2,1)$ și $MO=\sqrt5$ .3 p
Calcularea lui $MC=\sqrt5$ și egalitatea lungimilor.2 p

Alte teme

Toate temele →

Vectori și geometrie analitică în plan: Matematică M2 la Bacalaureat

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

Alte teme

Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?