Acasă Bacalaureat Matematică M2 Pe teme Derivate, monotonie, extreme și tangente Derivate, monotonie, extreme și tangente: Matematică M2 la Bacalaureat
61 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = e x ( x 2 + x − 1 ) f(x)=e^x(x^2+x-1) f ( x ) = e x ( x 2 + x − 1 )
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = e x ( x 2 + 3 x ) f\prime(x)=e^x(x^2+3x) f ′ ( x ) = e x ( x 2 + 3 x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivarea produsului. 3 p Simplificarea în forma cerută. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că e x + 3 ( x 2 + x − 1 ) ≤ 5 e^{x+3}(x^2+x-1)\le5 e x + 3 ( x 2 + x − 1 ) ≤ 5 x ∈ ( − ∞ , 0 ] x\in(-\infty,0] x ∈ ( − ∞ , 0 ]
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Studiul monotoniei până la-3 și apoi până la 0. 3 p Valoarea maximă 5/e^3 și inegalitatea cerută. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 1 x − 1 + 4 ln ( x + 3 ) f(x)=\dfrac1x-1+4\ln(x+3) f ( x ) = x 1 − 1 + 4 ln ( x + 3 )
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = ( x − 1 ) ( 4 x + 3 ) x 2 ( x + 3 ) f\prime(x)=\dfrac{(x-1)(4x+3)}{x^2(x+3)} f ′ ( x ) = x 2 ( x + 3 ) ( x − 1 ) ( 4 x + 3 ) x > 0 x>0 x > 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivarea termenilor. 3 p Aducerea la numitor comun și factorizarea. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că 1 x 2 − 1 x ≥ 4 ln x + 3 x 2 + 3 \dfrac1{x^2}-\dfrac1x\ge4\ln\dfrac{x+3}{x^2+3} x 2 1 − x 1 ≥ 4 ln x 2 + 3 x + 3 x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0,1] x ∈ ( 0 , 1 ]
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Monotonia descrescătoare pe(0,1]. 2 p Comparația x^2≤x și rearanjarea relației f(x^2)≥f(x). 3 p Semnalează o greșeală
III.2
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = ( x 2 + 4 x ) e − x f(x)=(x^2+4x)e^{-x} f ( x ) = ( x 2 + 4 x ) e − x
III.2.c 5 p Se consideră g : ( 0 , + ∞ ) → R g:(0,+\infty)\to\mathbb R g : ( 0 , + ∞ ) → R g ( x ) = f ( x 2 ) / x 2 g(x)=f(x^2)/x^2 g ( x ) = f ( x 2 ) / x 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calcularea lui Gprime=g și derivarea. 3 p Semnul negativ al derivatei a doua și concavitatea. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( x − 1 ) x + 2 x f(x)=(x-1)\sqrt x+\dfrac{2}{\sqrt x} f ( x ) = ( x − 1 ) x + x 2
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 3 x 2 − x − 2 2 x x f'(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt x} f ′ ( x ) = 2 x x 3 x 2 − x − 2 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = x + ( x − 1 ) ⋅ 1 2 x + − 2 ⋅ 1 2 x x = f'(x)=\sqrt x+(x-1)\cdot\dfrac1{2\sqrt x}+\dfrac{-2\cdot\dfrac1{2\sqrt x}}{x}= f ′ ( x ) = x + ( x − 1 ) ⋅ 2 x 1 + x − 2 ⋅ 2 x 1 = 3 p = 2 x 2 + x 2 − x − 2 2 x x = 3 x 2 − x − 2 2 x x =\dfrac{2x^2+x^2-x-2}{2x\sqrt x}=\dfrac{3x^2-x-2}{2x\sqrt x} = 2 x x 2 x 2 + x 2 − x − 2 = 2 x x 3 x 2 − x − 2 x ∈ ( 0 , + ∞ ) x\in(0,+\infty) x ∈ ( 0 , + ∞ ) 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați imaginea funcției f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: [ 2 , + ∞ ) [2,+\infty) [ 2 , + ∞ )
Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 f'(x)=0\Leftrightarrow x=1 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 x ∈ ( 0 , 1 ] x\in(0,1] x ∈ ( 0 , 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f ( 0 , 1 ] (0,1] ( 0 , 1 ] x ∈ [ 1 , + ∞ ) x\in[1,+\infty) x ∈ [ 1 , + ∞ ) f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ ) 2 p lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty x → + ∞ lim f ( x ) = + ∞ f ( 1 ) = 2 f(1)=2 f ( 1 ) = 2 f f f f f f [ 2 , + ∞ ) [2,+\infty) [ 2 , + ∞ ) 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x ) f(x)=e^x(2x^2-3x) f ( x ) = e x ( 2 x 2 − 3 x )
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) f\prime(x)=e^x(2x+3)(x-1) f ′ ( x ) = e x ( 2 x + 3 ) ( x − 1 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivarea produsului. 3 p Factorizarea derivatei la expresia cerută. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Determinați a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R a a a
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a ∈ { − 3 2 , 1 } a\in\{-\frac32,1\} a ∈ { − 2 3 , 1 }
Criterii (după barem) Impunerea condiției f ′ ( a ) = 0 f\prime(a)=0 f ′ ( a ) = 0 3 p Rezolvarea și cele două abscise − 3 / 2 -3/2 − 3/2 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x 2 + 8 x − 2 x 2 + 2 f(x)=\dfrac{x^2+8x-2}{x^2+2} f ( x ) = x 2 + 2 x 2 + 8 x − 2
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 8 ( x + 1 ) ( 2 − x ) ( x 2 + 2 ) 2 f'(x)=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{\left(x^2+2\right)^2} f ′ ( x ) = ( x 2 + 2 ) 2 8 ( x + 1 ) ( 2 − x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = ( 2 x + 8 ) ( x 2 + 2 ) − ( x 2 + 8 x − 2 ) ⋅ 2 x ( x 2 + 2 ) 2 = f'(x)=\dfrac{(2x+8)\left(x^2+2\right)-\left(x^2+8x-2\right)\cdot2x}{\left(x^2+2\right)^2}= f ′ ( x ) = ( x 2 + 2 ) 2 ( 2 x + 8 ) ( x 2 + 2 ) − ( x 2 + 8 x − 2 ) ⋅ 2 x = 3 p = − 8 x 2 + 8 x + 16 ( x 2 + 2 ) 2 = 8 ( x + 1 ) ( 2 − x ) ( x 2 + 2 ) 2 =\dfrac{-8x^2+8x+16}{\left(x^2+2\right)^2}=\dfrac{8(x+1)(2-x)}{\left(x^2+2\right)^2} = ( x 2 + 2 ) 2 − 8 x 2 + 8 x + 16 = ( x 2 + 2 ) 2 8 ( x + 1 ) ( 2 − x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că − 2 ≤ f ( x ) − f ( y ) ≤ 2 -2\le f(x)-f(y)\le2 − 2 ≤ f ( x ) − f ( y ) ≤ 2 x , y ∈ [ − 4 , 0 ] x,y\in[-4,0] x , y ∈ [ − 4 , 0 ]
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 1 f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 1 x = 2 x=2 x = 2 x ∈ [ − 4 , − 1 ] x\in[-4,-1] x ∈ [ − 4 , − 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f [ − 4 , − 1 ] [-4,-1] [ − 4 , − 1 ] x ∈ [ − 1 , 0 ] x\in[-1,0] x ∈ [ − 1 , 0 ] f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge0 f ′ ( x ) ≥ 0 f f f [ − 1 , 0 ] [-1,0] [ − 1 , 0 ] 2 p x , y ∈ [ − 4 , 0 ] x,y\in[-4,0] x , y ∈ [ − 4 , 0 ] f ( − 4 ) = − 1 f(-4)=-1 f ( − 4 ) = − 1 f ( − 1 ) = − 3 f(-1)=-3 f ( − 1 ) = − 3 f ( 0 ) = − 1 f(0)=-1 f ( 0 ) = − 1 − 3 ≤ f ( x ) ≤ − 1 -3\le f(x)\le-1 − 3 ≤ f ( x ) ≤ − 1 − 3 ≤ f ( y ) ≤ − 1 -3\le f(y)\le-1 − 3 ≤ f ( y ) ≤ − 1 − 2 ≤ f ( x ) − f ( y ) ≤ 2 -2\le f(x)-f(y)\le2 − 2 ≤ f ( x ) − f ( y ) ≤ 2 x , y ∈ [ − 4 , 0 ] x,y\in[-4,0] x , y ∈ [ − 4 , 0 ] 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( − 1 , + ∞ ) → R f:(-1,+\infty)\to\mathbb R f : ( − 1 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 + 3 x + 1 x + 1 f(x)=\dfrac{x^2+3x+1}{x+1} f ( x ) = x + 1 x 2 + 3 x + 1
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = x 2 + 2 x + 2 ( x + 1 ) 2 f'(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2} f ′ ( x ) = ( x + 1 ) 2 x 2 + 2 x + 2 x ∈ ( − 1 , + ∞ ) x\in(-1,+\infty) x ∈ ( − 1 , + ∞ )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = ( 2 x + 3 ) ( x + 1 ) − ( x 2 + 3 x + 1 ) ⋅ 1 ( x + 1 ) 2 = f'(x)=\dfrac{(2x+3)(x+1)-\left(x^2+3x+1\right)\cdot1}{(x+1)^2}= f ′ ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( 2 x + 3 ) ( x + 1 ) − ( x 2 + 3 x + 1 ) ⋅ 1 = 3 p = 2 x 2 + 5 x + 3 − x 2 − 3 x − 1 ( x + 1 ) 2 = x 2 + 2 x + 2 ( x + 1 ) 2 =\dfrac{2x^2+5x+3-x^2-3x-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2} = ( x + 1 ) 2 2 x 2 + 5 x + 3 − x 2 − 3 x − 1 = ( x + 1 ) 2 x 2 + 2 x + 2 x ∈ ( − 1 , + ∞ ) x\in(-1,+\infty) x ∈ ( − 1 , + ∞ ) 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = 0 x=0 x = 0 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 2 x + 1 y=2x+1 y = 2 x + 1
Criterii (după barem) f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1 f ′ ( 0 ) = 2 f'(0)=2 f ′ ( 0 ) = 2 2 p Ecuația tangentei este y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y-f(0)=f'(0)(x-0) y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y = 2 x + 1 y=2x+1 y = 2 x + 1 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că funcția f f f
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ′ ( x ) = ( x 2 + 2 x + 2 ( x + 1 ) 2 ) ′ = − 2 ( x + 1 ) 3 f''(x)=\left(\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}\right)'=-\dfrac{2}{(x+1)^3} f ′′ ( x ) = ( ( x + 1 ) 2 x 2 + 2 x + 2 ) ′ = − ( x + 1 ) 3 2 x ∈ ( − 1 , + ∞ ) x\in(-1,+\infty) x ∈ ( − 1 , + ∞ ) 3 p f ′ ′ ( x ) ≤ 0 f''(x)\le0 f ′′ ( x ) ≤ 0 x ∈ ( − 1 , + ∞ ) x\in(-1,+\infty) x ∈ ( − 1 , + ∞ ) f f f 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( x 2 − 5 ) x f(x)=(x^2-5)\sqrt x f ( x ) = ( x 2 − 5 ) x
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 x f\prime(x)=\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt x} f ′ ( x ) = 2 x 5 ( x − 1 ) ( x + 1 ) x > 0 x>0 x > 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivarea produsului. 3 p Simplificarea și factorizarea. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Arătați că f ( x + 2 ) − f ( x ) ≤ 26 f(x+2)-f(x)\le26 f ( x + 2 ) − f ( x ) ≤ 26 x ∈ ( 0 , 2 ] x\in(0,2] x ∈ ( 0 , 2 ]
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Studiul monotoniei. 2 p Compararea cu f(1),f(4) și borna 26. 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = e x x 2 + 3 x + 3 f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+3x+3} f ( x ) = x 2 + 3 x + 3 e x
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = e x ( x 2 + x ) ( x 2 + 3 x + 3 ) 2 f\prime(x)=\dfrac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2} f ′ ( x ) = ( x 2 + 3 x + 3 ) 2 e x ( x 2 + x )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivarea raportului. 3 p Simplificarea în forma cerută. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați că f ( x ) − f ( y ) ≤ 3 − e 3 e f(x)-f(y)\le\dfrac{3-e}{3e} f ( x ) − f ( y ) ≤ 3 e 3 − e x ≤ 0 ≤ y x\le0\le y x ≤ 0 ≤ y
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Monotonia pe cele trei intervale. 2 p Compararea cu f(-1),f(0) și inegalitatea. 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = x 2 − 8 e x f(x)=\dfrac{x^2-8}{e^x} f ( x ) = e x x 2 − 8
III.1.a 5 p Arătați că f ′ ( x ) = ( x + 2 ) ( 4 − x ) e x f'(x)=\dfrac{(x+2)(4-x)}{e^x} f ′ ( x ) = e x ( x + 2 ) ( 4 − x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ′ ( x ) = 2 x e x − ( x 2 − 8 ) e x ( e x ) 2 = f'(x)=\dfrac{2xe^x-\left(x^2-8\right)e^x}{\left(e^x\right)^2}= f ′ ( x ) = ( e x ) 2 2 x e x − ( x 2 − 8 ) e x = 3 p = − x 2 + 2 x + 8 e x = ( x + 2 ) ( 4 − x ) e x =\dfrac{-x^2+2x+8}{e^x}=\dfrac{(x+2)(4-x)}{e^x} = e x − x 2 + 2 x + 8 = e x ( x + 2 ) ( 4 − x ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f f f x = 0 x=0 x = 0 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 8 x − 8 y=8x-8 y = 8 x − 8
Criterii (după barem) f ( 0 ) = − 8 f(0)=-8 f ( 0 ) = − 8 f ′ ( 0 ) = 8 f'(0)=8 f ′ ( 0 ) = 8 2 p Ecuația tangentei este y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y-f(0)=f'(0)(x-0) y − f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y = 8 x − 8 y=8x-8 y = 8 x − 8 3 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.