Acasă Bacalaureat Matematică M2 Pe teme Matrice și determinanți Matrice și determinanți: Matematică M2 la Bacalaureat
78 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II.1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( x ) = ( x − 1 1 1 − x x − 5 ) A(x)=\begin{pmatrix}x-1&1\\1-x&x-5\end{pmatrix} A ( x ) = ( x − 1 1 − x 1 x − 5 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A ( 6 ) = 10 \det A(6)=10 det A ( 6 ) = 10
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea și expresia determinantului. 3 p Rezultatul 10. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Determinați numărul real a a a A ( 3 ) ⋅ A ( 3 ) = a I 2 A(3)\cdot A(3)=aI_2 A ( 3 ) ⋅ A ( 3 ) = a I 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 2 a=2 a = 2
Criterii (după barem) Calculul pătratului matricei A(3). 3 p Identificarea scalarului a=2. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Demonstrați că N = det ( A ( m ) ⋅ A ( 2 ) − A ( m − 1 ) ) N=\det(A(m)\cdot A(2)-A(m-1)) N = det ( A ( m ) ⋅ A ( 2 ) − A ( m − 1 )) m m m
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calculul matricei și determinantul(m-4)(m-5). 3 p Produs întreg nenegativ pentru fiecare m întreg. 2 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( 1 a − a 1 − a ) A(a)=\begin{pmatrix}1&a\\-a&1-a\end{pmatrix} A ( a ) = ( 1 − a a 1 − a ) a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A ( 1 ) = 1 \det A(1)=1 det A ( 1 ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea și formula determinantului. 3 p Rezultatul 1. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că A ( a + b ) − A ( a ) ⋅ A ( b ) = a b A ( 1 ) A(a+b)-A(a)\cdot A(b)=abA(1) A ( a + b ) − A ( a ) ⋅ A ( b ) = ab A ( 1 ) a , b ∈ R a,b\in\mathbb R a , b ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calcularea produsului și a diferenței. 3 p Identificarea matricei abA(1). 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați numerele reale a pentru care 2 A ( 2 a ) − A ( a ) ⋅ A ( a ) − A ( 1 ) ⋅ A ( 2 a − 1 ) = 2 A ( 1 ) 2A(2a)-A(a)\cdot A(a)-A(1)\cdot A(2a-1)=2A(1) 2 A ( 2 a ) − A ( a ) ⋅ A ( a ) − A ( 1 ) ⋅ A ( 2 a − 1 ) = 2 A ( 1 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a ∈ { − 3 , 1 } a\in\{-3,1\} a ∈ { − 3 , 1 }
Criterii (după barem) Folosirea identității de două ori și reducerea. 2 p Ecuația scalară și rădăcinile-3,1. 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( x ) = ( 2 x + 1 0 4 x x + 1 ) A(x)=\begin{pmatrix}2x+1&0\\4x&x+1\end{pmatrix} A ( x ) = ( 2 x + 1 4 x 0 x + 1 ) x x x
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 1 ) ) = 6 \det\big(A(1)\big)=6 det ( A ( 1 ) ) = 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 1 ) = ( 3 0 4 2 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = ∣ 3 0 4 2 ∣ = 3 ⋅ 2 − 0 ⋅ 4 = A(1)=\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1)\big)=\begin{vmatrix}3&0\\4&2\end{vmatrix}=3\cdot2-0\cdot4= A ( 1 ) = ( 3 4 0 2 ) ⇒ det ( A ( 1 ) ) = 3 4 0 2 = 3 ⋅ 2 − 0 ⋅ 4 = 3 p = 6 − 0 = 6 =6-0=6 = 6 − 0 = 6 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Determinați numărul real x x x A ( − 2 ) ⋅ A ( 1 ) − 4 I 2 = A ( x ) A(-2)\cdot A(1)-4I_2=A(x) A ( − 2 ) ⋅ A ( 1 ) − 4 I 2 = A ( x )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 7 x=-7 x = − 7
Criterii (după barem) A ( − 2 ) = ( − 3 0 − 8 − 1 ) A(-2)=\begin{pmatrix}-3&0\\-8&-1\end{pmatrix} A ( − 2 ) = ( − 3 − 8 0 − 1 ) A ( − 2 ) ⋅ A ( 1 ) − 4 I 2 = ( − 9 0 − 28 − 2 ) − ( 4 0 0 4 ) = A(-2)\cdot A(1)-4I_2=\begin{pmatrix}-9&0\\-28&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}= A ( − 2 ) ⋅ A ( 1 ) − 4 I 2 = ( − 9 − 28 0 − 2 ) − ( 4 0 0 4 ) = 2 p = ( − 13 0 − 28 − 6 ) = ( 2 ⋅ ( − 7 ) + 1 0 4 ⋅ ( − 7 ) − 7 + 1 ) = A ( − 7 ) =\begin{pmatrix}-13&0\\-28&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot(-7)+1&0\\4\cdot(-7)&-7+1\end{pmatrix}=A(-7) = ( − 13 − 28 0 − 6 ) = ( 2 ⋅ ( − 7 ) + 1 4 ⋅ ( − 7 ) 0 − 7 + 1 ) = A ( − 7 ) A ( x ) = A ( − 7 ) A(x)=A(-7) A ( x ) = A ( − 7 ) x = − 7 x=-7 x = − 7 3 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Demonstrați că det ( A ( x ) + A ( 1 x ) − 2 I 2 ) ≥ 8 \det\left(A(x)+A\left(\dfrac1x\right)-2I_2\right)\ge8 det ( A ( x ) + A ( x 1 ) − 2 I 2 ) ≥ 8 x x x
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( x ) + A ( 1 x ) − 2 I 2 = ( 2 x + 2 x 0 4 x + 4 x x + 1 x ) A(x)+A\left(\dfrac1x\right)-2I_2=\begin{pmatrix}2x+\dfrac2x&0\\4x+\dfrac4x&x+\dfrac1x\end{pmatrix} A ( x ) + A ( x 1 ) − 2 I 2 = 2 x + x 2 4 x + x 4 0 x + x 1 det ( A ( x ) + A ( 1 x ) − 2 I 2 ) = ( 2 x + 2 x ) ( x + 1 x ) = \det\left(A(x)+A\left(\dfrac1x\right)-2I_2\right)=\left(2x+\dfrac2x\right)\left(x+\dfrac1x\right)= det ( A ( x ) + A ( x 1 ) − 2 I 2 ) = ( 2 x + x 2 ) ( x + x 1 ) = 2 p = 2 ( x 2 + 1 x 2 + 2 ) = 2 ( ( x − 1 x ) 2 + 4 ) ≥ 8 =2\left(x^2+\dfrac1{x^2}+2\right)=2\left(\left(x-\dfrac1x\right)^2+4\right)\ge8 = 2 ( x 2 + x 2 1 + 2 ) = 2 ( ( x − x 1 ) 2 + 4 ) ≥ 8 x x x 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( a ) = ( 2 a + 2 − a a − 3 1 ) A(a)=\begin{pmatrix}2a+2&-a\\a-3&1\end{pmatrix} A ( a ) = ( 2 a + 2 a − 3 − a 1 ) a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A ( 1 ) = 2 \det A(1)=2 det A ( 1 ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea și formula determinantului de ordin 2. 3 p Calcularea rezultatului 2. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Determinați x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R A ( 0 ) ( 6 I 2 − A ( 2 ) − A ( − 2 ) ) = x I 2 A(0)(6I_2-A(2)-A(-2))=xI_2 A ( 0 ) ( 6 I 2 − A ( 2 ) − A ( − 2 )) = x I 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 4 x=4 x = 4
Criterii (după barem) Calcularea matricelor și a produsului egal cu 4 I 2 4I_2 4 I 2 3 p Identificarea lui x = 4 x=4 x = 4 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați X ∈ M 2 ( R ) X\in\mathcal M_2(\mathbb R) X ∈ M 2 ( R ) A ( 1 ) X A ( 1 ) = 4 I 2 A(1)XA(1)=4I_2 A ( 1 ) X A ( 1 ) = 4 I 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: X = ( 3 5 10 18 ) X=\begin{pmatrix}3&5\\10&18\end{pmatrix} X = ( 3 10 5 18 )
Criterii (după barem) Inversabilitatea și exprimarea X = 4 A ( 1 ) − 2 X=4A(1)^{-2} X = 4 A ( 1 ) − 2 2 p Inversa și calcularea matricei X X X 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricea A ( x , y ) = ( x + y x y 4 x + y ) A(x,y)=\begin{pmatrix}x+y&xy\\4&x+y\end{pmatrix} A ( x , y ) = ( x + y 4 x y x + y ) x x x y y y
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 1 , 2 ) ) = 1 \det\big(A(1,2)\big)=1 det ( A ( 1 , 2 ) ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 1 , 2 ) = ( 3 2 4 3 ) ⇒ det ( A ( 1 , 2 ) ) = ∣ 3 2 4 3 ∣ = 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 = A(1,2)=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(1,2)\big)=\begin{vmatrix}3&2\\4&3\end{vmatrix}=3\cdot3-2\cdot4= A ( 1 , 2 ) = ( 3 4 2 3 ) ⇒ det ( A ( 1 , 2 ) ) = 3 4 2 3 = 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 = 3 p = 9 − 8 = 1 =9-8=1 = 9 − 8 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că matricea A ( x , y ) A(x,y) A ( x , y ) x x x y y y
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) det ( A ( x , y ) ) = ∣ x + y x y 4 x + y ∣ = ( x + y ) 2 − 4 x y = ( x − y ) 2 \det\big(A(x,y)\big)=\begin{vmatrix}x+y&xy\\4&x+y\end{vmatrix}=(x+y)^2-4xy=(x-y)^2 det ( A ( x , y ) ) = x + y 4 x y x + y = ( x + y ) 2 − 4 x y = ( x − y ) 2 x x x y y y 3 p Cum x ≠ y x\ne y x = y det ( A ( x , y ) ) ≠ 0 \det\big(A(x,y)\big)\ne0 det ( A ( x , y ) ) = 0 A ( x , y ) A(x,y) A ( x , y ) x x x y y y 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați numerele reale x x x y y y A ( x , 2 ) ⋅ A ( x , 2 ) = 4 A ( y , 0 ) A(x,2)\cdot A(x,2)=4A(y,0) A ( x , 2 ) ⋅ A ( x , 2 ) = 4 A ( y , 0 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 0 x=0 x = 0 y = 1 y=1 y = 1
Criterii (după barem) A ( x , 2 ) = ( x + 2 2 x 4 x + 2 ) A(x,2)=\begin{pmatrix}x+2&2x\\4&x+2\end{pmatrix} A ( x , 2 ) = ( x + 2 4 2 x x + 2 ) A ( x , 2 ) ⋅ A ( x , 2 ) = ( x 2 + 12 x + 4 4 x 2 + 8 x 8 x + 16 x 2 + 12 x + 4 ) A(x,2)\cdot A(x,2)=\begin{pmatrix}x^2+12x+4&4x^2+8x\\8x+16&x^2+12x+4\end{pmatrix} A ( x , 2 ) ⋅ A ( x , 2 ) = ( x 2 + 12 x + 4 8 x + 16 4 x 2 + 8 x x 2 + 12 x + 4 ) 4 A ( y , 0 ) = ( 4 y 0 16 4 y ) 4A(y,0)=\begin{pmatrix}4y&0\\16&4y\end{pmatrix} 4 A ( y , 0 ) = ( 4 y 16 0 4 y ) x x x y y y 3 p x = 0 x=0 x = 0 y = 1 y=1 y = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A ( x ) = ( x − 2 − 1 − x 3 x x + 4 ) A(x)=\begin{pmatrix}x-2&-1-x\\3x&x+4\end{pmatrix} A ( x ) = ( x − 2 3 x − 1 − x x + 4 ) x x x
II.1.a 5 p Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 18 \det\big(A(2)\big)=18 det ( A ( 2 ) ) = 18
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 2 ) = ( 0 − 3 6 6 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = ∣ 0 − 3 6 6 ∣ = 0 ⋅ 6 − ( − 3 ) ⋅ 6 = A(2)=\begin{pmatrix}0&-3\\6&6\end{pmatrix}\Rightarrow\det\big(A(2)\big)=\begin{vmatrix}0&-3\\6&6\end{vmatrix}=0\cdot6-(-3)\cdot6= A ( 2 ) = ( 0 6 − 3 6 ) ⇒ det ( A ( 2 ) ) = 0 6 − 3 6 = 0 ⋅ 6 − ( − 3 ) ⋅ 6 = 3 p = 0 + 18 = 18 =0+18=18 = 0 + 18 = 18 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați că matricea B = 4 I 2 − A ( 1 ) B=4I_2-A(1) B = 4 I 2 − A ( 1 ) A ( 1 ) A(1) A ( 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A ( 1 ) = ( − 1 − 2 3 5 ) A(1)=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&5\end{pmatrix} A ( 1 ) = ( − 1 3 − 2 5 ) B = ( 5 2 − 3 − 1 ) B=\begin{pmatrix}5&2\\-3&-1\end{pmatrix} B = ( 5 − 3 2 − 1 ) 2 p A ( 1 ) ⋅ B = B ⋅ A ( 1 ) = I 2 A(1)\cdot B=B\cdot A(1)=I_2 A ( 1 ) ⋅ B = B ⋅ A ( 1 ) = I 2 B B B A ( 1 ) A(1) A ( 1 ) 3 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați matricea X ∈ M 2 ( R ) X\in\mathcal M_2(\mathbb R) X ∈ M 2 ( R ) 12 X − 3 A ( 1 ) ⋅ X = A ( 5 ) 12X-3A(1)\cdot X=A(5) 12 X − 3 A ( 1 ) ⋅ X = A ( 5 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: X = ( − 11 − 4 28 9 ) X=\begin{pmatrix}-11&-4\\28&9\end{pmatrix} X = ( − 11 28 − 4 9 )
Criterii (după barem) 3 ( 4 I 2 − A ( 1 ) ) ⋅ X = A ( 5 ) 3\big(4I_2-A(1)\big)\cdot X=A(5) 3 ( 4 I 2 − A ( 1 ) ) ⋅ X = A ( 5 ) A ( 5 ) = ( 3 − 6 15 9 ) A(5)=\begin{pmatrix}3&-6\\15&9\end{pmatrix} A ( 5 ) = ( 3 15 − 6 9 ) 2 p ( 4 I 2 − A ( 1 ) ) − 1 = A ( 1 ) \big(4I_2-A(1)\big)^{-1}=A(1) ( 4 I 2 − A ( 1 ) ) − 1 = A ( 1 ) X = 1 3 A ( 1 ) ⋅ A ( 5 ) X=\dfrac13A(1)\cdot A(5) X = 3 1 A ( 1 ) ⋅ A ( 5 ) X = ( − 11 − 4 28 9 ) X=\begin{pmatrix}-11&-4\\28&9\end{pmatrix} X = ( − 11 28 − 4 9 ) 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră I 2 = ( 1 0 0 1 ) I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} I 2 = ( 1 0 0 1 ) A = ( 0 − 1 2 4 ) A=\begin{pmatrix}0&-1\\2&4\end{pmatrix} A = ( 0 2 − 1 4 ) M ( a ) = ( a 1 2 − 2 a 2 − a ) M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2-2a&2-a\end{pmatrix} M ( a ) = ( a 2 − 2 a 1 2 − a ) a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.a 5 p Arătați că det A = 2 \det A=2 det A = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Formula determinantului. 3 p Rezultatul 2. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Determinați numărul real x pentru care M ( 2 ) A = x M ( 1 ) M(2)A=xM(1) M ( 2 ) A = x M ( 1 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 2 x=2 x = 2
Criterii (după barem) Calculul produsului și scrierea 2 M(1). 3 p x=2. 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.