Bacalaureat 2025 la mate M2: model

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați primul termen al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n\ge1}, știind că a3=19a_3=19 și a4=25a_4=25.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a1=7a_1=7

Barem oficial

  1. Rația 6.3 p
  2. Primul termen 7.2 p

I.25 p

Fie f(x)=2x+af(x)=2x+a. Determinați a∈Ra\in\mathbb R, știind că f(2)=8f(2)=8.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=4a=4

Barem oficial

  1. Calculul f(2)=4+a.2 p
  2. Ecuația și a=4.3 p

I.35 p

Rezolvați în numere reale ecuația 52−x−1625⋅25x=05^{2-x}-\dfrac1{625}\cdot25^x=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Barem oficial

  1. Rescrierea în baza 5 și egalarea exponenților.3 p
  2. x=2.2 p

I.45 p

Determinați câte submulțimi cu două elemente are A={1,2,3,4,5,6}A=\{1,2,3,4,5,6\}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 15

Barem oficial

  1. Formula combinărilor 6 alege 2.3 p
  2. Valoarea 15.2 p

I.55 p

Fie A(2,2)A(2,2), B(2,0)B(2,0), C(8,2)C(8,2). Determinați DE, unde D și E sunt mijloacele segmentelor OA, respectiv BC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: DE=4DE=4

Barem oficial

  1. Coordonatele D și E.2 p
  2. Distanța 4.3 p

I.65 p

Fie ABC dreptunghic în A, cu AB=6AB=6 și B^=π/6\widehat B=\pi/6. Arătați că raza cercului circumscris este 232\sqrt3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calculul ipotenuzei 4 sqrt 3.3 p
  2. Raza 2 sqrt 3.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0−124)A=\begin{pmatrix}0&-1\\2&4\end{pmatrix} și M(a)=(a12−2a2−a)M(a)=\begin{pmatrix}a&1\\2-2a&2-a\end{pmatrix}, unde a∈Ra\in\mathbb R.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A=2\det A=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Formula determinantului.3 p
  2. Rezultatul 2.2 p

II.1.b5 p

Determinați numărul real x pentru care M(2)A=xM(1)M(2)A=xM(1).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Barem oficial

  1. Calculul produsului și scrierea 2 M(1).3 p
  2. x=2.2 p

II.1.c5 p

Determinați a∈Ra\in\mathbb R pentru care (M(a)−2I2)M(a)=(a+2)I2(M(a)-2I_2)M(a)=(a+2)I_2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈{0,5}a\in\{0,5\}

Barem oficial

  1. Calculul produsului scalar al identității.3 p
  2. Ecuația scalară și soluțiile 0,5.2 p

II.2

Pe R\mathbb R se definește legea de compoziție x∘y=(x−6)(y−6)+6x\circ y=(x-6)(y-6)+6.

II.2.a5 p

Arătați că 9∘8=129\circ8=12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea în lege.3 p
  2. Rezultatul 12.2 p

II.2.b5 p

Arătați că e=7e=7 este elementul neutru al legii ∘\circ.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. x∘7=x.2 p
  2. 7∘x=x și concluzia.3 p

II.2.c5 p

Determinați numerele reale nenule x pentru care x∘(6/x)=6xx\circ(6/x)=6x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{1,3}x\in\{1,3\}

Barem oficial

  1. Înlocuirea și expresia operației.2 p
  2. Ecuația și soluțiile 1,3.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=(x2−5)xf(x)=(x^2-5)\sqrt x.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=5(x−1)(x+1)2xf\prime(x)=\dfrac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt x}, pentru x>0x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea produsului.3 p
  2. Simplificarea și factorizarea.2 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→+∞f′(x)xx=5/2\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f\prime(x)}{x\sqrt x}=5/2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea raportului.3 p
  2. Limita 5/2.2 p

III.1.c5 p

Arătați că f(x+2)−f(x)≤26f(x+2)-f(x)\le26, pentru orice x∈(0,2]x\in(0,2].

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Studiul monotoniei.2 p
  2. Compararea cu f(1),f(4) și borna 26.3 p

III.2

Se consideră f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=x2+4ln⁡xf(x)=x^2+4\ln x.

III.2.a5 p

Arătați că ∫12(f(x)−4ln⁡x) dx=7/3\int_1^2(f(x)-4\ln x)\,dx=7/3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea și primitiva.3 p
  2. Valoarea 7/3.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫1ef(x)−x2x dx=2\int_1^e\dfrac{f(x)-x^2}{x}\,dx=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea și primitiva.3 p
  2. Valoarea 2.2 p

III.2.c5 p

Determinați m∈Rm\in\mathbb R pentru care ∫12(f(x)f′′(x)+(f′(x))2) dx=m(f(2)−f(1))\int_1^2\bigl(f(x)f\prime\prime(x)+(f\prime(x))^2\bigr)\,dx=m(f(2)-f(1)).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=6m=6

Barem oficial

  1. Recunoașterea derivatei produsului și evaluarea la capete.3 p
  2. Derivatele egale cu 6 și m=6.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.