Bacalaureat 2024 la mate M2: model

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 0,5+10(1−0,75)=30{,}5+10(1-0{,}75)=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea parantezei și a produsului cu 10.2 p
  2. Adunarea finală, rezultat 3.3 p

I.25 p

Fie f(x)=2x−1 f(x)=2x-1, g(x)=x+1 g(x)=x+1. Arătați că f(m)+g(−m)=m f(m)+g(-m)=m pentru orice m∈R m\in\mathbb R .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea lui f(m).2 p
  2. Calcularea lui g(-m) și suma egală cu m.3 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația x2+6=5x\sqrt{x^2+6}=\sqrt{5x}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{2,3} x\in\{2,3\}

Barem oficial

  1. Pătrarea și ecuația x²-5 x+6=0.2 p
  2. Cele două soluții admise 2 și 3.3 p

I.45 p

Fie A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Calculați probabilitatea ca un număr ales din A să fie divizor al lui 30.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 59\frac59

Barem oficial

  1. Cele nouă cazuri posibile.2 p
  2. Cei cinci divizori și probabilitatea 5/9.3 p

I.55 p

Fie A(1,1) A(1,1), B(2,2) B(2,2) și C(4,0) C(4,0). Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic în B.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Panta AB=1 sau primul vector echivalent.2 p
  2. Panta BC=-1 și perpendicularitatea sau produsul scalar echivalent.3 p

I.65 p

Pentru E(x)=3cos⁡2x−cos⁡(x/2)sin⁡x E(x)=3\cos^2x-\cos(x/2)\sin x , arătați că E(π/3)=0 E(\pi/3)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Cele trei valori trigonometrice.3 p
  2. Calculul expresiei, rezultat 0.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Fie A(x)=(x−2x1x−6) A(x)=\begin{pmatrix}x&-2x\\1&x-6\end{pmatrix}, x∈R x\in\mathbb R .

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(6)=12\det A(6)=12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Matricea A(6) și formula determinantului.3 p
  2. Calculul rezultatului 12.2 p

II.1.b5 p

Determinați a∈R a\in\mathbb R astfel încât A(4)A(4)=aA(4) A(4)A(4)=aA(4).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2 a=2

Barem oficial

  1. Calcularea lui A(4) și A(4)²=2 A(4).3 p
  2. Identificarea scalarului a=2.2 p

II.1.c5 p

Determinați (m,n)∈(N∗)2(m,n)\in(\mathbb N^*)^2, m<n m<n , astfel încât det⁡(A(m)+A(n))=0\det(A(m)+A(n))=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: {(1,7),(2,6),(3,5)}\{(1,7),(2,6),(3,5)\}

Barem oficial

  1. Suma matricelor și determinantul (m+n)(m+n -8).2 p
  2. Suma 8 și cele trei perechi admise.3 p

II.2

Pe R\mathbb R se definește x∗y=xy(x+y−xy) x*y=xy(x+y-xy).

II.2.a5 p

Arătați că 1∗3=31*3=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea în lege.3 p
  2. Calculul rezultatului 3.2 p

II.2.b5 p

Determinați x∈R x\in\mathbb R astfel încât x∗2=−x2 x*2=-x^2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{0,4} x\in\{0,4\}

Barem oficial

  1. Calcularea lui x*2.2 p
  2. Ecuația și soluțiile 0 și 4.3 p

II.2.c5 p

Determinați m∈Z∗ m\in\mathbb Z^* astfel încât 12m∗m=m\frac1{2m}*m=m .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=−1 m=-1

Barem oficial

  1. Calcularea lui (1/(2 m))*m.2 p
  2. Ecuația și singura rădăcină întreagă nenulă m=-1.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Fie f:(0,+∞)→R f:(0,+\infty)\to\mathbb R , f(x)=x2−2x−3ln⁡x f(x)=\frac{x^2-2}{x}-3\ln x .

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=x2−3x+2x2 f\prime(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2} pentru x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea câtului și logaritmului.3 p
  2. Simplificarea la formula cerută.2 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)+3ln⁡xx+1=1\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea logaritmilor și împărțirea la x.3 p
  2. Calculul limitei 1.2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că x2+x−2x≤3ln⁡x\frac{x^2+x-2}{x}\le3\ln x pentru x∈(0,2] x\in(0,2].

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Monotonia și maximul în x=1 pe (0, 2].3 p
  2. Valoarea maximă -1 și inegalitatea cerută.2 p

III.2

Fie f:R→R f:\mathbb R\to\mathbb R , f(x)=x3+x+1 f(x)=x^3+x+1.

III.2.a5 p

Arătați că ∫02(f(x)−x3) dx=4\int_0^2(f(x)-x^3)\,dx=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea integrandului și integrarea lui x+1.3 p
  2. Calculul final 4.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫01x2f(x)−x dx=ln⁡23\int_0^1\frac{x^2}{f(x)-x}\,dx=\frac{\ln2}3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Primitiva (1/3)ln(x³+1).3 p
  2. Calculul final ln 2/3.2 p

III.2.c5 p

Determinați a<0 a<0 astfel încât ∫a0e−x(f′(x)−f(x)) dx=1−a3e−a\int_a^0 e^{-x}(f\prime(x)-f(x))\,dx=1-a^3e^{-a}.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−1 a=-1

Barem oficial

  1. Recunoașterea derivatei e⁻ˣf(x) și calculul la capete.3 p
  2. Ecuația și valoarea admisă a=-1.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.