Bacalaureat 2023 la mate M2: model

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 5−265-2\sqrt6, 1 și 5+245+\sqrt{24} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea produsului extremelor.3 p
  2. Produsul 1, egal cu pătratul termenului din mijloc, și concluzia.2 p

I.25 p

Pentru f(x)=ax+1 f(x)=ax+1, a≠0 a\ne0, determinați a astfel încât (f∘f)(1)=1(f\circ f)(1)=1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−1 a=-1

Barem oficial

  1. Calcularea lui f(1) și f(f(1)).3 p
  2. Ecuația și singura valoare nenulă a=-1.2 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația 2x(1/4)2−x=322^x(1/4)^{2-x}=32.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=3 x=3

Barem oficial

  1. Scrierea în baza 2 și egalarea exponenților.3 p
  2. Rezultatul x=3.2 p

I.45 p

Câte submulțimi ordonate cu două elemente se formează din M={0,1,2,3,4} M=\{0,1,2,3,4\}?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 2020

Barem oficial

  1. Formula aranjamentelor A₅²=5!/3!.3 p
  2. Calculul rezultatului 20.2 p

I.55 p

Fie A(-2, 1), B(2, 5). Determinați dreapta prin B perpendiculară pe AB.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x+y−7=0 x+y-7=0

Barem oficial

  1. Panta lui AB și panta perpendicularei.3 p
  2. Ecuația dreptei y=-x+7.2 p

I.65 p

Arătați că (tan⁡x+1)(cot⁡x−1)=2cot⁡(2x)(\tan x+1)(\cot x-1)=2\cot(2x) pentru x∈(0,π/2) x\in(0,\pi/2).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea expresiei la (cos²x-sin²x)/(sin x cos x).2 p
  2. Formulele unghiului dublu și rezultatul 2 cot(2 x).3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Fie A(a)=(a1a+11a−12−a4) A(a)=\begin{pmatrix}a&1&a+1\\1&a&-1\\2&-a&4\end{pmatrix} și sistemul {ax+y+(a+1)z=ax+ay−z=42x−ay+4z=−4\begin{cases}ax+y+(a+1)z=a\\x+ay-z=4\\2x-ay+4z=-4\end{cases}, a∈R a\in\mathbb R .

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(1)=−9\det A(1)=-9.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Matricea A(1) și formula determinantului.2 p
  2. Calculul rezultatului -9.3 p

II.1.b5 p

Determinați a pentru care sistemul are soluție unică.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈R∖{−2} a\in\mathbb R\setminus\{-2\}

Barem oficial

  1. Calcularea determinantului -3 a -6.2 p
  2. Condiția de soluție unică a≠-2.3 p

II.1.c5 p

Arătați că, dacă sistemul are soluția unică (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0), atunci x0+y0+z0=2 x_0+y_0+z_0=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Suma ultimelor două ecuații și x+z=0.2 p
  2. Eliminarea și y=2, apoi suma soluțiilor egală cu 2.3 p

II.2

Fie f=X3−3X2+2X+m f=X^3-3X^2+2X+m , m∈R m\in\mathbb R .

II.2.a5 p

Pentru m=6, arătați că f(-1)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea lui -1 și m=6 în polinom.3 p
  2. Calculul rezultatului 0.2 p

II.2.b5 p

Determinați m astfel încât f să fie divizibil cu g=X2+2 g=X^2+2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=−6 m=-6

Barem oficial

  1. Împărțirea f=(X -3)(X²+2)+m+6.3 p
  2. Restul nul și m=-6.2 p

II.2.c5 p

Determinați m astfel încât x13+x23+x33=0 x_1^3+x_2^3+x_3^3=0, unde xᵢ sunt rădăcinile lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=3 m=3

Barem oficial

  1. Relațiile lui Viète și suma cuburilor 9-3 m.3 p
  2. Ecuația și rezultatul m=3.2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Fie f:(−1,+∞)→R f:(-1,+\infty)\to\mathbb R , f(x)=x+x+1ex f(x)=x+\frac{\sqrt{x+1}}{e^x}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=1−2x+12exx+1 f\prime(x)=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}} pentru x>-1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea câtului cu radical.3 p
  2. Reducerea la formula cerută.2 p

III.1.b5 p

Determinați asimptota oblică spre +∞ la graficul lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=x y=x

Barem oficial

  1. Panta, limita f(x)/x=1.2 p
  2. Termenul liber și asimptota y=x.3 p

III.1.c5 p

Demonstrați că f(x)−x≤e/2 f(x)-x\le\sqrt{e/2} pentru orice x>-1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivata lui h=f-x și punctul critic -1/2.2 p
  2. Monotonia, maximul √(e/2) și concluzia.3 p

III.2

Fie f:(0,+∞)→R f:(0,+\infty)\to\mathbb R , f(x)=x2+xln⁡x f(x)=x^2+x\ln x .

III.2.a5 p

Arătați că ∫123(f(x)−xln⁡x) dx=7\int_1^2 3(f(x)-x\ln x)\,dx=7.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea integrandului și primitiva x³.3 p
  2. Calculul rezultatului 7.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫1ef(x)x3 dx=2(1−1/e)\int_1^e\frac{f(x)}{x^3}\,dx=2(1-1/e).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Descompunerea integrandului și integrarea prin părți.3 p
  2. Calculul final 2(1-1/e).2 p

III.2.c5 p

Pentru g:[1,+∞)→R g:[1,+\infty)\to\mathbb R , g(x)=(x+1)/f(x) g(x)=(x+1)/f(x), arătați că aria dintre grafic, Ox, x=1 și x=e este strict mai mare decât 1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Pozitivitatea lui g și exprimarea ariei prin integrală.2 p
  2. În barem: primitiva ln(x+ln x), aria ln(e+1)>1. Se acceptă și o estimare strictă corectă.3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.