Bacalaureat 2024 la matematică M2: sesiunea a doua (august)

Subiectul oficial M2, sesiunea a doua (august) 2024, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că $2-5i+i(5-3i)=5$ , unde $i^2=-1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$2-5i+i(5-3i)=2-5i+5i-3i^2=$ 3 p
$=2+3=5$ 2 p

I.25 p

Se consideră funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=6x+m$ , unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(2)=15$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $m=3$

Criterii (după barem)

$f(2)=12+m$ , deci $12+m=15$ 3 p
$m=3$ 2 p

I.35 p

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{2x+1}=7^x\cdot7^2$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=1$

Criterii (după barem)

$7^{2x+1}=7^{x+2}$ , de unde obținem $2x+1=x+2$ 3 p
$x=1$ 2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu $1$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $p=\dfrac15$

Criterii (după barem)

Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile2 p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $18$ numere care au cel puțin una dintre cifre egală cu $1$ , deci sunt $18$ cazuri favorabile, de unde obținem $p=\dfrac{18}{90}=\dfrac15$ 3 p

I.55 p

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,5)$ și $B(4,2)$ . Determinați distanța dintre punctul $A$ și mijlocul segmentului $OB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $AM=4$

Criterii (după barem)

$M(2,1)$ este mijlocul segmentului $OB$ 3 p
$AM=4$ 2 p

I.65 p

Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB=5$ și $BC=5\sqrt5$ . Arătați că $\sin C=\dfrac{\sqrt5}{5}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{5\sqrt5}=$ 3 p
$=\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$ 2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ , $A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}$ și $B(x)=\begin{pmatrix}x&x-3\\3-x&x-4\end{pmatrix}$ , unde $x$ este număr real.

II.1.a5 p

Arătați că $\det A=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\det A=\begin{vmatrix}2&-1\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot0-(-1)\cdot1=$ 3 p
$=0+1=1$ 2 p

II.1.b5 p

Determinați numărul real $a$ pentru care $B(4)\cdot B(4)+I_2=aB(4)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=4$

Criterii (după barem)

$B(4)=\begin{pmatrix}4&1\\-1&0\end{pmatrix}$ , $B(4)\cdot B(4)=\begin{pmatrix}15&4\\-4&-1\end{pmatrix}$ 3 p
$B(4)\cdot B(4)+I_2=\begin{pmatrix}16&4\\-4&0\end{pmatrix}=4B(4)$ , deci $4B(4)=aB(4)$ , de unde obținem $a=4$ 2 p

II.1.c5 p

Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot B(x)=B(x)\cdot A$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=1$

Criterii (după barem)

$A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}3x-3&x-2\\x&x-3\end{pmatrix}$ , $B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}3x-3&-x\\-x+2&x-3\end{pmatrix}$ , pentru orice număr real $x$ 3 p
Cum $\begin{pmatrix}3x-3&x-2\\x&x-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-3&-x\\-x+2&x-3\end{pmatrix}$ , obținem $x=1$ 2 p

II.2

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x*y=(x+y)(4-x-y)$ .

II.2.a5 p

Arătați că $0*3=3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$0*3=(0+3)(4-0-3)=$ 3 p
$=3\cdot1=3$ 2 p

II.2.b5 p

Determinați numerele reale $x$ pentru care $x*1=0$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=-1$ sau $x=3$

Criterii (după barem)

$x*1=(x+1)(3-x)$ , pentru orice număr real $x$ 2 p
$(x+1)(3-x)=0$ , de unde obținem $x=-1$ sau $x=3$ 3 p

II.2.c5 p

Determinați numerele naturale $n$ pentru care numărul $N=(n+5)*(n-5)$ este natural.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $n=0$ , $n=1$ și $n=2$

Criterii (după barem)

$(n+5)*(n-5)=4n(2-n)$ , pentru orice număr natural $n$ 2 p
Cum $n$ și $N=4n(2-n)$ sunt numere naturale, obținem $n=0$ , $n=1$ și $n=2$ 3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=x^2-x-2\ln(x+1)$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f'(x)=\dfrac{2x^2+x-3}{x+1}$ , $x\in(-1,+\infty)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f'(x)=2x-1-\dfrac2{x+1}=$ 3 p
$=\dfrac{2x^2+2x-x-1-2}{x+1}=\dfrac{2x^2+x-3}{x+1}$ , $x\in(-1,+\infty)$ 2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$ , situat pe graficul funcției $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=-3x$

Criterii (după barem)

$f(0)=0$ , $f'(0)=-3$ 2 p
Ecuația tangentei este $y-f(0)=f'(0)(x-0)$ , adică $y=-3x$ 3 p

III.1.c5 p

Arătați că $x^2-x\ge2\ln\dfrac{x+1}{2}$ , pentru orice $x\in(-1,+\infty)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$f'(x)=0\Rightarrow x=1$ ; pentru orice $x\in(-1,1]$ , $f'(x)\le0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $(-1,1]$ și, pentru orice $x\in[1,+\infty)$ , $f'(x)\ge0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[1,+\infty)$ 2 p
Pentru orice $x\in(-1,+\infty)$ , $f(x)\ge f(1)$ și, cum $f(1)=-2\ln2$ , obținem $x^2-x\ge2\ln\dfrac{x+1}{2}$ , pentru orice $x\in(-1,+\infty)$ 3 p

III.2

Se consideră funcția $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=x^2+3x+1$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\displaystyle\int_0^3\big(f(x)-3x\big)dx=12$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\displaystyle\int_0^3\big(f(x)-3x\big)dx=\int_0^3\left(x^2+1\right)dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\right|_0^3=$ 3 p
$=\dfrac{27}{3}+3=12$ 2 p

III.2.b5 p

Arătați că $\displaystyle\int_0^1\frac1{\left(f(x)-x^2\right)^2}\,dx=\frac14$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$\displaystyle\int_0^1\frac1{\left(f(x)-x^2\right)^2}\,dx=\int_0^1\frac1{(3x+1)^2}\,dx=\frac13\int_0^1\frac{(3x+1)'}{(3x+1)^2}\,dx=\left.-\frac1{3(3x+1)}\right|_0^1=$ 3 p
$=-\dfrac1{12}+\dfrac13=\dfrac14$ 2 p

III.2.c5 p

Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:\mathbb R\to\mathbb R$ , $g(x)=\dfrac{f(x)-x^2-1}{e^x}$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ este egală cu $3\left(1-\dfrac2e\right)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

$g(x)=3xe^{-x}$ , $x\in\mathbb R$ , deci $\mathcal A=\displaystyle\int_0^1|g(x)|\,dx=\int_0^1 3x\left(-e^{-x}\right)'dx=$ 2 p
$=\left.-3e^{-x}(x+1)\right|_0^1=3\left(1-\dfrac2e\right)$ 3 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică M2.

Bacalaureat 2024 la matematică M2: sesiunea a doua (august)

Subiectul I 30 p

I.15 p

Criterii (după barem)

I.25 p

Criterii (după barem)

I.35 p

Criterii (după barem)

I.45 p

Criterii (după barem)

I.55 p

Criterii (după barem)

I.65 p

Criterii (după barem)

Subiectul al II-lea 30 p

II.1.a5 p

Criterii (după barem)

II.1.b5 p

Criterii (după barem)

II.1.c5 p

Criterii (după barem)

II.2.a5 p

Criterii (după barem)

II.2.b5 p

Criterii (după barem)

II.2.c5 p

Criterii (după barem)

Subiectul al III-lea 30 p

III.1.a5 p

Criterii (după barem)

III.1.b5 p

Criterii (după barem)

III.1.c5 p

Criterii (după barem)

III.2.a5 p

Criterii (după barem)

III.2.b5 p

Criterii (după barem)

III.2.c5 p

Criterii (după barem)

Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?