Bacalaureat 2023 la mate M2: simulare

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 2(1+i)−i(2−i)=12(1+i)-i(2-i)=1, unde i2=−1i^2=-1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Desfacerea parantezelor și reducerea termenilor imaginari.3 p
  2. Folosirea lui i²=-1 și rezultatul 1.2 p

I.25 p

Pentru f(x)=3x+10f(x)=3x+10, determinați a real astfel încât A(2a,a)A(2a,a) să aparțină graficului.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−2a=-2

Barem oficial

  1. Condiția a=f(2 a) și ecuația 6 a+10=a.3 p
  2. Soluția a=-2.2 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația 2x2+2=2x\sqrt{2x^2+2}=2x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1

Barem oficial

  1. Ridicarea la pătrat și ecuația x²=1.2 p
  2. Verificarea admisibilității și păstrarea numai a lui 1.3 p

I.45 p

Câte numere naturale impare de trei cifre se pot forma cu cifre din {0,1,2,3,4}\{0,1,2,3,4\}?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 4040

Barem oficial

  1. Cele două opțiuni pentru cifra unităților.2 p
  2. Cele 5 opțiuni la zeci, 4 la sute și totalul 40.3 p

I.55 p

Determinați a real astfel încât vectorii u⃗=(a,a−1)\vec u=(a,a-1) și v⃗=(1,2)\vec v=(1,2) să fie coliniari.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−1a=-1

Barem oficial

  1. Criteriul de coliniaritate aplicat coordonatelor.3 p
  2. Rezolvarea condiției și a=-1.2 p

I.65 p

ABC este dreptunghic în A, ∠B=π/6\angle B=\pi/6 și BC=24. Bisectoarea lui C întâlnește AB în D. Determinați CD.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: CD=83CD=8\sqrt3

Barem oficial

  1. Calcularea lui AC=12 și a unghiului ACD=π/6.3 p
  2. Relația cosinusului și lungimea 8√3.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră I3I_3 identitatea de ordin 3 și A(x)=(x+1−110x01−1x+1)A(x)=\begin{pmatrix}x+1&-1&1\\0&x&0\\1&-1&x+1\end{pmatrix}, unde x este real.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(1)=3\det A(1)=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Scrierea și dezvoltarea determinantului lui A(1).3 p
  2. Rezultatul 3.2 p

II.1.b5 p

Determinați x real pentru care A(0)A(x)=A(0)A(0)A(x)=A(0).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−1x=-1

Barem oficial

  1. Calcularea lui A(0) și a produsului A(0)A(x).3 p
  2. Soluția x=-1.2 p

II.1.c5 p

Determinați a, b reali astfel încât A(1)−1=aA(1)+bI3A(1)^{-1}=aA(1)+bI_3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−1/3, b=4/3a=-1/3,\ b=4/3

Barem oficial

  1. Înmulțirea relației cu A(1), calcularea pătratului și condițiile asupra coeficienților.3 p
  2. Coeficienții a=-1/3, b=4/3.2 p

II.2

Pe R\mathbb R se definește legea x∗y=xy+x+y−1+2xyx*y=xy+x+y-1+2^{xy}.

II.2.a5 p

Arătați că 1∗2=81*2=8.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea argumentelor în formula legii.3 p
  2. Rezultatul 8.2 p

II.2.b5 p

Arătați că e=0 este elementul neutru al legii *.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Verificarea egalității x*0=x.2 p
  2. Verificarea egalității 0*x=x și concluzia privind neutrul.3 p

II.2.c5 p

Determinați n natural nenul pentru care n∗(−1/n)=0n*(-1/n)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n=2n=2

Barem oficial

  1. Calcularea lui n*(-1/n)=(2 n²-3 n -2)/(2 n).2 p
  2. Rezolvarea ecuației și alegerea naturalului nenul n=2.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=2x+1+ln⁡xxf(x)=\frac{2x+1+\ln x}{x}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=−ln⁡x/x2f'(x)=-\ln x/x^2 pentru x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea raportului prin regula corespunzătoare.3 p
  2. Simplificarea la-ln x/x².2 p

III.1.b5 p

Determinați asimptota orizontală spre +∞+\infty a graficului lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=2y=2

Barem oficial

  1. Limita funcției la infinit egală cu 2.3 p
  2. Asimptota orizontală y=2.2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că ln⁡yy−ln⁡xx<1x−1y\frac{\ln y}{y}-\frac{\ln x}{x}<\frac1x-\frac1y pentru orice 1<x<y1<x<y.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivata negativă și monotonia strictă pe(1, ∞).2 p
  2. Compararea lui f(x), f(y) și rearanjarea inegalității.3 p

III.2

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x3+xf(x)=x^3+x.

III.2.a5 p

Arătați că ∫35(f(x)−x3) dx=8\int_3^5(f(x)-x^3)\,dx=8.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea integrandului la x și primitiva x²/2.3 p
  2. Evaluarea și rezultatul 8.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫02x2f(x)−x+2 dx=ln⁡53\int_0^2\frac{x^2}{f(x)-x+2}\,dx=\frac{\ln5}{3}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea la x²/(x³+2) și primitiva ln(x³+2)/3.3 p
  2. Evaluarea și rezultatul ln 5/3.2 p

III.2.c5 p

Se definește g(x)=f(x)e−x/xg(x)=f(x)e^{-x}/x pentru x>0. Arătați că orice primitivă G a lui g este concavă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea lui g și calcularea lui G''=g'.3 p
  2. Forma-(x -1)²e^(-x)≤0 și concluzia de concavitate.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.