Bacalaureat 2022 la mate M2: simulare

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Calculați termenul b4b_4 al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n\ge1}, știind că b1=2b_1=\sqrt2 și b2=4b_2=4.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: b4=32b_4=32

Barem oficial

  1. Rația 2 sqrt 2.2 p
  2. Termenul 32.3 p

I.25 p

Fie f(x)=mx2−2x+1f(x)=mx^2-2x+1, cu m real nenul. Determinați m pentru c are axa Ox este tangentă graficului.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=1m=1

Barem oficial

  1. Condiția de tangență și discriminantul.3 p
  2. m=1.2 p

I.35 p

Rezolvați în numere reale ecuația 3x+2−3x−6⋅3x−1=63^{x+2}-3^x-6\cdot3^{x-1}=6.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=0x=0

Barem oficial

  1. Factorizarea și ecuația exponențială.3 p
  2. x=0.2 p

I.45 p

Fie A mulțimea numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând n din A, numărul 2 n-60 să aparțină lui A.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1/21/2

Barem oficial

  1. 90 de cazuri posibile.2 p
  2. 45 favorabile și probabilitatea 1/2.3 p

I.55 p

Fie A(−1,4)A(-1,4), B(5,2)B(5,2) și C mijlocul lui AB. Determinați dreapta prin C perpendiculară pe AB.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=3x−3y=3x-3

Barem oficial

  1. Pantele și perpendicularitatea.2 p
  2. Mijlocul și ecuația dreptei.3 p

I.65 p

Fie ABC isoscel cu A=120∘A=120^\circ și AB=6AB=6. Arătați că aria este 939\sqrt3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Laturile egale.2 p
  2. Formula și aria 9 sqrt 3.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(01−10)A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} și B(x)=xI2+iAB(x)=xI_2+iA, unde x∈Rx\in\mathbb R și i2=−1i^2=-1.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A=1\det A=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Formula determinantului.3 p
  2. Valoarea 1.2 p

II.1.b5 p

Determinați x real pentru c are B(3)B(5)=8B(x)B(3)B(5)=8B(x).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Barem oficial

  1. Calculul produsului și forma 8 B(2).3 p
  2. x=2.2 p

II.1.c5 p

Determinați perechile întregi (m,n)(m,n) pentru c are B(m)+iB(n)B(m)+iB(n) nu este inversabilă.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (−1,−1)(-1,-1) și (1,1)(1,1)

Barem oficial

  1. Matricea și determinantul complex.2 p
  2. Ecuațiile reale și cele două perechi.3 p

II.2

Pe M=[1,+∞)M=[1,+\infty) se definește x∗y=xy−(x−1)(y−1)x*y=xy-\sqrt{(x-1)(y-1)}.

II.2.a5 p

Arătați că 2∗5=82*5=8.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea.3 p
  2. Rezultatul 8.2 p

II.2.b5 p

Arătați că e=1e=1 este elementul neutru al legii *.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. x*1=x.2 p
  2. 1*x=x și concluzia.3 p

II.2.c5 p

Demonstrați că (nx)∗y≥x(n∗y)(nx)*y\ge x(n*y) pentru orice x,y∈Mx,y\in M și n∈Nn\in\mathbb N, n≥2n\ge2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Scrierea diferenței sau raționalizarea.2 p
  2. Pozitivitatea factorilor și inegalitatea.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=4xx2+3f(x)=\dfrac{4\sqrt x}{x^2+3}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=6(1−x2)x(x2+3)2f\prime(x)=\dfrac{6(1-x^2)}{\sqrt x(x^2+3)^2} pentru x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea raportului.3 p
  2. Simplificarea.2 p

III.1.b5 p

Determinați a>0a>0, știind că tangenta la grafic în (a,f(a))(a,f(a)) este paralelă cu Ox.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=1a=1

Barem oficial

  1. Condiția de tangentă și ecuația.3 p
  2. Valoarea pozitivă 1.2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că xx2+3>x+1/xx2+1/x2+5\dfrac{\sqrt x}{x^2+3}>\dfrac{\sqrt{x+1/x}}{x^2+1/x^2+5} pentru orice x>1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Monotonia strictă.2 p
  2. Comparația argumentelor și rescrierea.3 p

III.2

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=ex+2xexf(x)=\dfrac{e^x+2x}{e^x}.

III.2.a5 p

Arătați că ∫01exf(x) dx=e\int_0^1e^xf(x)\,dx=e.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea și primitiva.3 p
  2. Evaluarea e.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫−10f(x) dx=−1\int_{-1}^0f(x)\,dx=-1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Primitiva și evaluarea la capete.3 p
  2. Valoarea-1.2 p

III.2.c5 p

Determinați a∈Ra\in\mathbb R pentru c are ∫01F(x)f′′(x) dx=a(e+1)/e2\int_0^1F(x)f\prime\prime(x)\,dx=a(e+1)/e^2, unde F′=fF\prime=f și F(0)=0F(0)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−2a=-2

Barem oficial

  1. Integrarea prin părți și primitiva lui f fprime.3 p
  2. Anularea termenilor de frontieră, evaluarea și a=-2.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.