Bacalaureat 2021 la mate M2: simulare

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Fie $z=3+2i$ . Arătați că $z+\dfrac{13}z=6$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Amplificarea cu conjugatul în $13/(3+2i)$ și simplificarea numitorului la $13$ .3 p
Obținerea lui $3+2i+3-2i=6$ .2 p

I.25 p

Fie $f(x)=3x-5$ și $g(x)=x^2+x$ pe $\mathbb R$ . Determinați $a\in\mathbb R$ pentru care $(f\circ g)(a)=(f\circ g)(-a)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=0$

Barem oficial

Reducerea condiției la $g(a)=g(-a)$ .3 p
Ecuația $a^2+a=a^2-a$ și rezultatul $a=0$ .2 p

I.35 p

Rezolvați în $\mathbb R$ ecuația $3^{3x+5}=9\cdot3^{x+1}$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=-1$

Barem oficial

Scrierea $9=3^2$ și a membrului drept ca $3^{x+3}$ .3 p
Egalarea exponenților și obținerea lui $x=-1$ .2 p

I.45 p

Fie $A$ o mulțime cu $4$ elemente. Calculați probabilitatea ca o submulțime aleasă uniform dintre toate submulțimile lui $A$ să aibă un număr impar de elemente.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac12$

Barem oficial

Numărarea celor $16$ submulțimi posibile.2 p
Numărarea celor $8$ submulțimi cu cardinal impar.2 p
Calculul $P=8/16=1/2$ .1 p

I.55 p

Fie $A(1,3)$ , $B(3,5)$ și $C(0,6)$ . Determinați dreapta $d$ prin $A$ paralelă cu mediana din $C$ a triunghiului $ABC$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=-x+4$

Barem oficial

Calculul mijlocului $M(2,4)$ și al pantei medianei $m_{CM}=-1$ .2 p
Impunerea paralelismului și trecerii prin $A$ , cu ecuația $y=-x+4$ .3 p

I.65 p

Calculați $BC$ în triunghiul $ABC$ , știind că $AB=2$ , $AC=2\sqrt3$ și $B=\pi/3$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $BC=4$

Barem oficial

Teorema cosinusului: $12=4+BC^2-2BC$ .3 p
Rezolvarea ecuației și obținerea lungimii $BC=4$ .2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Fie $a\in\mathbb R^*$ și $A(x)=\begin{pmatrix}1+2x&0&-4x\\0&a&0\\x&0&1-2x\end{pmatrix}$ , pentru $x\in\mathbb R$ .

II.1.a5 p

Arătați că $\det A(x)=a$ pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Dezvoltarea determinantului: $a(1+2x)(1-2x)+4ax^2$ .3 p
Reducerea termenilor și rezultatul $a$ .2 p

II.1.b5 p

Determinați $a\in\mathbb R^*$ astfel încât $A(x)A(y)=A(x+y)$ pentru orice $x,y\in\mathbb R$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=1$

Barem oficial

Calculul lui $A(x)A(y)$ și al lui $A(x+y)$ , cu diferența posibilă doar la elementul central $a^2$ , respectiv $a$ .3 p
Condiția $a^2=a$ și, deoarece $a\ne0$ , rezultatul $a=1$ .2 p

II.1.c5 p

Pentru $a=1$ , determinați $X\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ astfel încât $A(2)X=A(3)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $X=A(1)=\begin{pmatrix}3&0&-4\\0&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}$

Barem oficial

Identificarea inversei $A(-2)$ prin $A(-2)A(2)=I_3$ .2 p
Calculul $X=A(-2)A(3)=A(1)=\begin{pmatrix}3&0&-4\\0&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}$ .3 p

II.2

Pe $M=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $x*y=\log_2(2^x+2^y-1)$ .

II.2.a5 p

Arătați că $0*2021=2021$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea în lege: $\log_2(2^0+2^{2021}-1)$ .3 p
Simplificarea și rezultatul $2021$ .2 p

II.2.b5 p

Determinați elementul neutru al legii $*$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $e=0$

Barem oficial

Condiția $x*e=x$ , apoi $2^e=1$ și $e=0\in M$ .3 p
Verificarea $0*x=x$ și concluzia de element neutru.2 p

II.2.c5 p

Determinați $x\in M$ pentru care $x*(x+1)*(x+2)=\log_2 54$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=3$

Barem oficial

Calculul operației triple $\log_2(2^x+2^{x+1}+2^{x+2}-2)$ .3 p
Ecuația $7\cdot2^x-2=54$ , apoi $2^x=8$ și $x=3$ .2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f\prime(x)=\dfrac{1-x^2}{2(x^2+1)\sqrt{(x^2+x+1)(x^2+1)}}$ pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Aplicarea regulii de derivare a radicalului și a raportului interior.2 p
Simplificarea la $(1-x^2)/(2(x^2+1)\sqrt{(x^2+x+1)(x^2+1)})$ .3 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul lui $f$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=1$

Barem oficial

Calculul limitei $\lim_{x\to-\infty}f(x)=1$ .3 p
Identificarea asimptotei $y=1$ .2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că $\sqrt2\le\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}}\le\sqrt6$ pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Studiul monotoniei pe intervalele separate de $-1$ și $1$ .2 p
Folosirea valorilor $f(-1)=\sqrt2/2$ , $f(1)=\sqrt6/2$ și a limitelor pentru încadrarea fiecărui radical, apoi adunarea bornelor.3 p

III.2

Se consideră $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=2x+3-2\ln x$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\displaystyle\int_1^3(f(x)+2\ln x)\,dx=14$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea logaritmilor și integrarea lui $2x+3$ .3 p
Evaluarea la $14$ .2 p

III.2.b5 p

Calculați $\displaystyle\int_1^e(2x+3-f(x))\,dx$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $2$

Barem oficial

Simplificarea la $2\int_1^e\ln x\,dx$ și integrarea prin părți.3 p
Evaluarea rezultatului $2$ .2 p

III.2.c5 p

Arătați că $\displaystyle\int_0^1x^2f(x^3+1)\,dx=\dfrac{4(2-\ln2)}3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Substituția $t=x^3+1$ și rescrierea ca $\tfrac13\int_1^2f(t)dt$ .3 p
Calculul la capete și rezultatul $4(2-\ln2)/3$ .2 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.