Bacalaureat 2021 la mate M2: iunie

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați al treilea termen al progresiei geometrice $(b_n)_{n\ge1}$ , știind că $b_1=2$ și $b_2=6$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $b_3=18$

Barem oficial

Calculul rației $q=3$ .3 p
Calculul $b_3=2\cdot3^2=18$ .2 p

I.25 p

Fie $f(x)=x+7$ și $g(x)=x-7$ , ambele definite pe $\mathbb R$ . Calculați $(f\circ g)(7)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $7$

Barem oficial

Calculul $g(7)=0$ .2 p
Calculul $(f\circ g)(7)=f(0)=7$ .3 p

I.35 p

Rezolvați în $\mathbb R$ ecuația $\sqrt{2x-1}=x-2$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=5$

Barem oficial

Ridicarea la pătrat și ecuația $x^2-6x+5=0$ .3 p
Obținerea rădăcinilor $1$ și $5$ , excluderea lui $1$ și păstrarea lui $5$ .2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca un număr $n$ ales uniform dintre numerele naturale de o cifră să verifice $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)>0$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac12$

Barem oficial

Numărarea celor $10$ numere naturale de o cifră.2 p
Numărarea celor $5$ cazuri favorabile.2 p
Calculul $P=5/10=1/2$ .1 p

I.55 p

Fie $A(1,1)$ , $B(-1,0)$ , $C(3,5)$ și $D(5,6)$ . Demonstrați că $B$ , $D$ și mijlocul segmentului $AC$ sunt coliniare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul mijlocului $M(2,3)$ și al pantei $m_{BM}=1$ .3 p
Calculul $m_{BD}=1$ și concluzia de coliniaritate.2 p

I.65 p

Determinați $x\in(0,\pi)$ , știind că $(\sin x-\cos x)^2=2$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=\dfrac{3\pi}4$

Barem oficial

Dezvoltarea și reducerea ecuației la $\sin2x=-1$ .3 p
Folosirea intervalului și obținerea lui $x=3\pi/4$ .2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix}1+2^a&2^a\\-2^a&1-2^a\end{pmatrix}$ , unde $a\in\mathbb R$ .

II.1.a5 p

Arătați că $\det A(0)=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul lui $A(0)=\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}$ și aplicarea formulei determinantului.3 p
Rezultatul $1$ .2 p

II.1.b5 p

Arătați că $A(1)+A(2)-A(1)A(2)=I_2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul matricelor $A(1)$ , $A(2)$ și $A(1)A(2)$ .3 p
Verificarea că suma primelor două minus produsul este $I_2$ .2 p

II.1.c5 p

Fie $m,n\in\mathbb N$ astfel încât $A(m)A(n)=A(m+n)$ . Arătați că $m=n=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul lui $A(m)A(n)$ și al lui $A(m+n)$ .2 p
Reducerea la $(2^m-1)(2^n-1)=1$ și obținerea lui $m=n=1$ .3 p

II.2

Pe $\mathbb R$ se definește legea de compoziție $x*y=x^2+y^2+x+y$ .

II.2.a5 p

Arătați că $(-1)*(-1)=0$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea operanzilor: $(-1)^2+(-1)^2-1-1$ .3 p
Calculul rezultatului $0$ .2 p

II.2.b5 p

Demonstrați că $x*y=(x+\tfrac12)^2+(y+\tfrac12)^2-\tfrac12$ , pentru orice $x,y\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Adăugarea și scăderea constantelor $1/4$ pentru completarea pătratelor.3 p
Obținerea identității $(x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2$ .2 p

II.2.c5 p

Determinați $x\in\mathbb R$ pentru care $x^2*x^2\le4$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x\in[-1,1]$

Barem oficial

Reducerea inegalității la $x^2+1/2\le3/2$ .3 p
Obținerea intervalului $x\in[-1,1]$ .2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră $f:(-2,+\infty)\to\mathbb R$ , $f(x)=x^2+4x-\dfrac12\ln(x+2)$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f\prime(x)=\dfrac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}$ , pentru $x\in(-2,+\infty)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul derivatei $2x+4-1/(2(x+2))$ și aducerea la același numitor.3 p
Factorizarea numărătorului în $(2x+3)(2x+5)$ .2 p

III.1.b5 p

Calculați $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+4x-f(x)}x$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $0$

Barem oficial

Simplificarea expresiei la $\ln(x+2)/(2x)$ .2 p
Calculul limitei $0$ .3 p

III.1.c5 p

Demonstrați că $x^2+4x+\dfrac{15}4\ge\dfrac12\ln(2x+4)$ pentru orice $x\in(-2,+\infty)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Studiul variației și calculul minimului $f(-3/2)=-15/4+\tfrac12\ln2$ .3 p
Folosirea bornei de minim și rescrierea în inegalitatea cerută.2 p

III.2

Se consideră $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=1+\dfrac2{x^2+1}$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\displaystyle\int_0^3(x^2+1)f(x)\,dx=18$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea la $x^2+3$ și primitiva $x^3/3+3x$ .3 p
Calculul rezultatului $18$ .2 p

III.2.b5 p

Arătați că $\displaystyle\int_1^3xf(x)\,dx=4+\ln5$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Scrierea $xf(x)=x+2x/(x^2+1)$ și primitiva $x^2/2+\ln(x^2+1)$ .3 p
Evaluarea la $4+\ln5$ .2 p

III.2.c5 p

Fie $F$ o primitivă a lui $f$ . Demonstrați că $F(x+1)\ge F(x)+1$ pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Folosirea continuității și a primitivei pentru $F(x+1)-F(x)=\int_x^{x+1}f(t)dt$ .2 p
Comparația cu integrala lui $1$ și concluzia $F(x+1)\ge F(x)+1$ .3 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.