Bacalaureat 2022 la mate M2: iunie

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Determinați primul termen al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n\ge1}, știind că a2=6a_2=6 și a3=12a_3=12.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a1=0a_1=0

Barem oficial

  1. Rația 6.2 p
  2. Primul termen 0.3 p

I.25 p

Fie f(x)=x−5f(x)=x-5. Determinați a∈Ra\in\mathbb R pentru c are f(a)+f(2a)=2f(a)+f(2a)=2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=4a=4

Barem oficial

  1. Ecuația și 3 a=12.3 p
  2. a=4.2 p

I.35 p

Rezolvați în numere reale ecuația 5x⋅15=255^x\cdot\dfrac15=25.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=3x=3

Barem oficial

  1. Rescrierea și egalarea exponenților.3 p
  2. x=3.2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca un număr ales dintre numerele naturale de două cifre să fie multiplu de 16.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1/151/15

Barem oficial

  1. 90 de cazuri posibile.2 p
  2. Șase favorabile și probabilitatea 1/15.3 p

I.55 p

Fie A(3,2)A(3,2) și B(1,4)B(1,4). Determinați C astfel încât A să fie mijlocul segmentului BC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: C(5,0)C(5,0)

Barem oficial

  1. Formula mijlocului și abscisa 5.3 p
  2. Ordonata 0.2 p

I.65 p

Fie E(x)=sin⁡x+sin⁡(3x/2)−cos⁡(x/2)E(x)=\sin x+\sin(3x/2)-\cos(x/2). Arătați că E(π/3)=1E(\pi/3)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Valorile trigonometrice.3 p
  2. Rezultatul 1.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră A=(1−1−11)A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(x3−x2−xx)B(x)=\begin{pmatrix}x&3-x\\2-x&x\end{pmatrix}, unde x∈Rx\in\mathbb R.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A=0\det A=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Formula determinantului.3 p
  2. Valoarea 0.2 p

II.1.b5 p

Arătați că B(x)−B(0)=xAB(x)-B(0)=xA pentru orice x real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calculul diferenței.3 p
  2. Identificarea lui xA.2 p

II.1.c5 p

Arătați că C(a)=B(a)B(1)−B(a+1)C(a)=B(a)B(1)-B(a+1) este inversabilă pentru orice întreg a.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calculul matricei și al determinantului.3 p
  2. Excluderea rădăcinii 1/2 din Z.2 p

II.2

Pe R\mathbb R se definește x∗y=(2x−1)(2y−1)+1x*y=(2x-1)(2y-1)+1.

II.2.a5 p

Arătați că 1∗2=41*2=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea.3 p
  2. Valoarea 4.2 p

II.2.b5 p

Determinați numerele reale x pentru c are x∗x=2x*x=2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{0,1}x\in\{0,1\}

Barem oficial

  1. Simplificarea lui x*x.2 p
  2. Ecuația și rădăcinile 0,1.3 p

II.2.c5 p

Determinați întregul nenul m pentru c are m∗(1+1/m)=1m*(1+1/m)=1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=−2m=-2

Barem oficial

  1. Înlocuirea și expresia operației.2 p
  2. Analiza produsului și m=-2.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=2x2+1+ln⁡xf(x)=2x^2+1+\ln x.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=(4x2+1)/xf\prime(x)=(4x^2+1)/x, pentru x>0x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea termenilor.2 p
  2. Aducerea la numitor comun.3 p

III.1.b5 p

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)−ln⁡xx2+x+4=2\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4}=2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea și împărțirea la x^2.3 p
  2. Limita 2.2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că f este bijectivă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Injectivitatea prin derivată.2 p
  2. Surjectivitatea prin continuitate și limite.3 p

III.2

Se consideră f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x(ex+2x2)f(x)=x(e^x+2x^2).

III.2.a5 p

Arătați că ∫04f(x)ex+2x2 dx=8\int_0^4\dfrac{f(x)}{e^x+2x^2}\,dx=8.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea și primitiva.3 p
  2. Valoarea 8.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫01(f(x)−2x3) dx=1\int_0^1(f(x)-2x^3)\,dx=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Integrarea prin părți.3 p
  2. Valoarea 1.2 p

III.2.c5 p

Determinați a∈Ra\in\mathbb R pentru c are ∫12f(x2)/x dx=(e4−e)/2+a\int_1^2f(x^2)/x\,dx=(e^4-e)/2+a.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=21a=21

Barem oficial

  1. Simplificarea și integrarea.3 p
  2. Evaluarea și a=21.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.