Bacalaureat 2023 la mate M2: iunie

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că 4−63+3(23−1)=14-6\sqrt3+3(2\sqrt3-1)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Desfacerea parantezei și scrierea expresiei cu 63−36\sqrt3-3.3 p
  2. Reducerea termenilor și rezultatul 1.2 p

I.25 p

Pentru f(x)=5x−3f(x)=5x-3 și g(x)=2x+3g(x)=2x+3, determinați a real pentru care f(a)=g(a)f(a)=g(a).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Barem oficial

  1. Scrierea ecuației 5 a -3=2 a+3.3 p
  2. Obținerea lui a=2.2 p

I.35 p

Rezolvați în R\mathbb R ecuația 22x+1⋅23=12^{2x+1}\cdot2^3=1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−2x=-2

Barem oficial

  1. Obținerea ecuației 2 x+4=0 prin egalarea exponenților.3 p
  2. Soluția x=-2.2 p

I.45 p

Câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifre din {3,4,5,6}\{3,4,5,6\}?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1212

Barem oficial

  1. Cele 4 posibilități pentru cifra zecilor.2 p
  2. Cele 3 posibilități pentru unități și produsul 12.3 p

I.55 p

Pentru A(4,0),B(0,2),C(3,3)A(4,0),B(0,2),C(3,3) și M mijlocul lui AB, arătați că MO=MCMO=MC.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea lui M(2,1)M(2,1) și MO=5MO=\sqrt5.3 p
  2. Calcularea lui MC=5MC=\sqrt5 și egalitatea lungimilor.2 p

I.65 p

Pentru E(x)=2sin⁡xsin⁡2x−cos⁡xE(x)=2\sin x\sin2x-\cos x, arătați că E(π/6)=0E(\pi/6)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Valorile sinusului și cosinusului pentru unghiurile remarcabile.3 p
  2. Înlocuirea și obținerea valorii 0.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră I2=(1001)I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(3+a2−2a1−a1+3a)A(a)=\begin{pmatrix}3+a&2-2a\\1-a&1+3a\end{pmatrix}, unde a∈Ra\in\mathbb R.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(0)=1\det A(0)=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea lui a=0 și scrierea produselor determinantului.3 p
  2. Determinantul egal cu 1.2 p

II.1.b5 p

Arătați că A(0)(A(a)−A(0))=aI2A(0)(A(a)-A(0))=aI_2 pentru orice real a.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea matricei diferență A(a)-A(0).2 p
  2. Calcularea produsului și identificarea lui aI 2.3 p

II.1.c5 p

Demonstrați că det⁡(A(a2)−aA(a))≥0\det(A(a^2)-aA(a))\ge0 pentru orice real a.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calcularea lui A(a²)-aA(a)=(1-a)A(0).2 p
  2. Determinantul (1-a)² și concluzia de nenegativitate.3 p

II.2

Pe R\mathbb R se definește legea x∘y=x2−4xy+3y2x\circ y=x^2-4xy+3y^2.

II.2.a5 p

Arătați că 0∘2=120\circ2=12.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea argumentelor 0 și 2 în lege.3 p
  2. Calcularea rezultatului 12.2 p

II.2.b5 p

Determinați x real pentru care (2x)∘x=−1(2x)\circ x=-1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{−1,1}x\in\{-1,1\}

Barem oficial

  1. Calcularea expresiei (2x)∘x=−x2(2x)\circ x=-x^2.2 p
  2. Rezolvarea ecuației și ambele valori -1, 1.3 p

II.2.c5 p

Determinați perechile întregi (m,n)(m,n) cu m<nm<n și m∘n=3m\circ n=3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (m,n)∈{(0,1),(−4,−1)}(m,n)\in\{(0,1),(-4,-1)\}

Barem oficial

  1. Factorizarea m∘n=(m−n)(m−3n)m\circ n=(m-n)(m-3n).2 p
  2. Enumerarea completă a perechilor întregi admise (-4, -1) și (0, 1).3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=5+4x−4x2f(x)=5+\frac{4x-4}{x^2}.

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=4(2−x)/x3f'(x)=4(2-x)/x^3 pentru x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Derivarea funcției prin regula raportului sau o formă echivalentă.3 p
  2. Simplificarea la 4(2-x)/x³.2 p

III.1.b5 p

Determinați asimptota orizontală spre +∞+\infty a graficului lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=5y=5

Barem oficial

  1. Calcularea limitei la infinit egale cu 5.3 p
  2. Identificarea asimptotei y=5.2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că ∣f(x)−f(y)∣≤1|f(x)-f(y)|\le1 pentru orice x,y∈[1,+∞)x,y\in[1,+\infty).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Determinarea monotoniei pe [1, 2] și [2, ∞).2 p
  2. Încadrarea valorilor între 5 și 6 și estimarea diferenței absolute.3 p

III.2

Se consideră f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=3x2+4ln⁡xf(x)=3x^2+4\ln x.

III.2.a5 p

Arătați că ∫12(f(x)−4ln⁡x) dx=7\int_1^2(f(x)-4\ln x)\,dx=7.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea la integrala lui 3 x² și primitiva x³.3 p
  2. Evaluarea la capete și rezultatul 7.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫1ex(f(x)−3x2) dx=e2+1\int_1^e x(f(x)-3x^2)\,dx=e^2+1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea la 4 xlnx și integrarea prin părți.3 p
  2. Calcularea rezultatului e²+1.2 p

III.2.c5 p

Demonstrați că ∫1ef(x)F′′(x) dx=(3e−1)(3e+5)2\int_1^{\sqrt e} f(x)F''(x)\,dx=\frac{(3e-1)(3e+5)}2 pentru orice primitivă F a lui f.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Din F'=f se deduce F''=f'.2 p
  2. Integrarea lui ff', evaluarea la 1 și √e și rezultatul factorizat.3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.