Bacalaureat 2022 la mate M2: model

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că N=log⁡224−log⁡212+3N=\log_2 24-\log_2 12+3 este pătratul unui număr natural.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Combinarea logaritmilor.3 p
  2. N=4=2^2.2 p

I.25 p

Determinați a real pentru c are A(a,a2)A(a,a^2) aparține graficului lui f(x)=2x−1f(x)=2x-1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=1a=1

Barem oficial

  1. Ecuația de apartenență.3 p
  2. a=1.2 p

I.35 p

Rezolvați în numere reale ecuația x2−2x−2=x−2\sqrt{x^2-2x-2}=x-2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=3x=3

Barem oficial

  1. Pătrarea și ecuația liniară.3 p
  2. x=3 și verificarea.2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca un număr ales din A={1!,2!,3!,…,10!}A=\{1!,2!,3!,\ldots,10!\} să fie divizibil cu 9.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1/21/2

Barem oficial

  1. 10 posibile.2 p
  2. 5 favorabile.2 p
  3. Probabilitatea 1/2.1 p

I.55 p

Fie ABC triunghi și D mijlocul lui BC. Arătați că, pentru orice E, F cu AE→=FD→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}, avem 2(EB→+FC→)=AB→+AC→2(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Descompunerea vectorilor și anularea EA+FD.2 p
  2. Mijlocul D și relația finală.3 p

I.65 p

Arătați că (sin⁡x+cos⁡x)2−(sin⁡x−cos⁡x)2=2cos⁡(π/2−2x)(\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=2\cos(\pi/2-2x) pentru orice x real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Dezvoltarea și 4 sinxcosx.2 p
  2. Unghiul dublu și complementar.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră A(x)=(x21x−11)A(x)=\begin{pmatrix}x^2&1\\x-1&1\end{pmatrix}, unde x∈Rx\in\mathbb R.

II.1.a5 p

Arătați că det⁡A(−1)=3\det A(-1)=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea.2 p
  2. Determinantul 3.3 p

II.1.b5 p

Demonstrați că A(x) este inversabilă pentru orice x real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Calculul determinantului.3 p
  2. Pozitivitatea și inversabilitatea.2 p

II.1.c5 p

Determinați matricea reală X de ordin 2 pentru c are A(1)XA(1)=A(2)A(1)XA(1)=A(2).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(3−310)X=\begin{pmatrix}3&-3\\1&0\end{pmatrix}

Barem oficial

  1. Calculul inversei lui A(1).2 p
  2. Produsul și matricea X.3 p

II.2

Pe R\mathbb R se definește legea asociativă și cu element neutru x∘y=xy−2(x+y−1)+2x\circ y=xy-\sqrt2(x+y-1)+2.

II.2.a5 p

Arătați că 2∘0=2\sqrt2\circ0=\sqrt2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Înlocuirea.3 p
  2. Rezultatul sqrt 2.2 p

II.2.b5 p

Determinați x real pentru c are (x−2)∘(x+2)=x(x-\sqrt2)\circ(x+\sqrt2)=x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{2−1,2+2}x\in\{\sqrt2-1,\sqrt2+2\}

Barem oficial

  1. Ecuația după înlocuire.3 p
  2. Cele două rădăcini.2 p

II.2.c5 p

Determinați numerele raționale al căror simetric în raport cu ∘\circ este rațional.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: {−1,1}\{-1,1\}

Barem oficial

  1. Elementul neutru și ecuația simetricului.2 p
  2. Iraționalitatea lui sqrt 2 și valorile±1.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră f:(0,+∞)→(0,+∞)f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), f(x)=x(1−1xln⁡(x2+1))f(x)=x\left(1-\dfrac1x\ln(x^2+1)\right).

III.1.a5 p

Arătați că f′(x)=(x−1)2/(x2+1)f\prime(x)=(x-1)^2/(x^2+1) pentru x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Simplificarea și derivarea.3 p
  2. Pătratul la numărător.2 p

III.1.b5 p

Determinați n∈N∗n\in\mathbb N^*, știind că tangenta la (n,f(n))(n,f(n)) este paralelă cu y=x/5+1y=x/5+1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n=2n=2

Barem oficial

  1. Condiția de pante egale.3 p
  2. Ecuația și n=2.2 p

III.1.c5 p

Demonstrați că f este bijectivă.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Injectivitatea prin creștere strictă și continuitate.2 p
  2. Limitele și surjectivitatea pe(0, inf).3 p

III.2

Se consideră f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=(1−2ln⁡x)/x3f(x)=(1-2\ln x)/x^3, și primitiva sa F(x)=ln⁡x/x2F(x)=\ln x/x^2.

III.2.a5 p

Arătați că ∫1ex2(f(x)+2ln⁡x/x3) dx=1\int_1^e x^2(f(x)+2\ln x/x^3)\,dx=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Reducerea și primitiva.3 p
  2. Valoarea 1.2 p

III.2.b5 p

Arătați că ∫15xf(x2+3) dx=−5ln⁡2/128\int_1^{\sqrt5}xf(x^2+3)\,dx=-5\ln2/128.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. Regula lanțului/primitiva compusă.3 p
  2. Evaluarea și rezultatul.2 p

III.2.c5 p

Determinați a∈Ra\in\mathbb R pentru c are ∫ee2xF(x) dx=(a2−1)/2\int_e^{e^2}xF(x)\,dx=(a^2-1)/2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈{−2,2}a\in\{-2,2\}

Barem oficial

  1. Simplificarea și integrala 3/2.3 p
  2. Ecuația și cele două rădăcini.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.