Bacalaureat 2021 la mate M2: model

Subiectul oficial M2, științele naturii, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați că $\log_2 3$ , $\log_2 6$ și $\log_2 12$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Combinarea $\log_2 3+\log_2 12=\log_2 36=\log_2 6^2$ .3 p
Obținerea lui $2\log_2 6$ și concluzia de progresie aritmetică.2 p

I.25 p

Fie $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=x^2-x+1$ . Determinați $x\in\mathbb R$ pentru care $f(x)=x$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=1$

Barem oficial

Ecuația $f(x)=x$ și reducerea la $x^2-2x+1=0$ .3 p
Soluția $x=1$ .2 p

I.35 p

Rezolvați în $\mathbb R$ ecuația $|2x-1|=2x+1$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x=0$

Barem oficial

Desfacerea modulului în cele două posibilități $2x-1=2x+1$ sau $2x-1=-2x-1$ .3 p
Obținerea unicei soluții $x=0$ .2 p

I.45 p

Calculați probabilitatea ca un număr ales uniform dintre numerele naturale de două cifre să aibă cifra zecilor pară și cifra unităților impară.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac29$

Barem oficial

Numărarea celor $90$ de numere de două cifre.2 p
Numărarea celor $4\cdot5=20$ cazuri favorabile.2 p
Calculul $P=20/90=2/9$ .1 p

I.55 p

Determinați $a\in\mathbb R$ pentru care vectorii $\vec u=a\vec i+\vec j$ și $\vec v=8\vec i+2\vec j$ sunt coliniari.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $a=4$

Barem oficial

Condiția de coliniaritate $a/8=1/2$ .3 p
Obținerea lui $a=4$ .2 p

I.65 p

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ , $BC=12$ și $B=\pi/6$ . Arătați că aria este $18\sqrt3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Folosirea lui $\cos B=AB/BC$ și calculul $AB=6\sqrt3$ .3 p
Calculul ariei $\tfrac12AB\cdot BC\sin B=18\sqrt3$ .2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

Se consideră $A(a)=\begin{pmatrix}2a-1&4a-4\\1-a&3-2a\end{pmatrix}$ , unde $a\in\mathbb R$ .

II.1.a5 p

Arătați că $\det A(2)=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul lui $A(2)=\begin{pmatrix}3&4\\-1&-1\end{pmatrix}$ și aplicarea formulei determinantului.3 p
Rezultatul $1$ .2 p

II.1.b5 p

Demonstrați că $A(a)A(b)=A(a+b-1)$ pentru orice $a,b\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Calculul elementelor produsului $A(a)A(b)$ .3 p
Rescrierea lor și identificarea matricei $A(a+b-1)$ .2 p

II.1.c5 p

Determinați $n\in\mathbb N$ , știind că $A(1)A(2)A(2^2)A(2^3)A(2^4)=A(32)A(-n)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $n=4$

Barem oficial

Aplicarea repetată a legii produsului pentru a obține $A(27)$ în stânga.3 p
Egalitatea cu $A(31-n)$ și obținerea lui $n=4$ .2 p

II.2

Pe $\mathbb R$ se definește legea de compoziție $x\circ y=3x^2-5xy+2y^2$ .

II.2.a5 p

Arătați că $1\circ2=1$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea $1\circ2=3\cdot1^2-5\cdot1\cdot2+2\cdot2^2$ .3 p
Calculul $3-10+8=1$ .2 p

II.2.b5 p

Demonstrați că $x\circ x=0$ pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Înlocuirea operanzilor egali: $3x^2-5x^2+2x^2$ .3 p
Reducerea termenilor la $0$ .2 p

II.2.c5 p

Determinați $x\in\mathbb R$ pentru care $2^x\circ3^x=0$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $x\in\{0,1\}$

Barem oficial

Factorizarea expresiei ca $(2^x-3^x)(3\cdot2^x-2\cdot3^x)=0$ .3 p
Rezolvarea celor două ecuații și soluțiile $x=0$ sau $x=1$ .2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

Se consideră $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x$ .

III.1.a5 p

Arătați că $f\prime(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1$ pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Aplicarea regulii radicalului și derivarea termenului $-x$ .3 p
Simplificarea în forma $(x+1)/\sqrt{x^2+2x+2}-1$ .2 p

III.1.b5 p

Determinați ecuația tangentei la graficul lui $f$ în punctul de abscisă $-1$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $y=1-x$

Barem oficial

Calculul $f(-1)=2$ , $f\prime(-1)=-1$ .2 p
Scrierea ecuației tangentei și forma $y=-x+1$ .3 p

III.1.c5 p

Demonstrați că $\sqrt{(x^2+1)^2+2(x^2+1)+2}-\sqrt{4x^2+4x+2}\le(x-1)^2$ pentru orice $x\in\mathbb R$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Stabilirea descreșterii lui $f$ și folosirea lui $x^2+1\ge2x$ pentru $f(x^2+1)\le f(2x)$ .3 p
Dezvoltarea valorilor funcției și rescrierea în inegalitatea cerută.2 p

III.2

Se consideră $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , $f(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

III.2.a5 p

Arătați că $\displaystyle\int_0^1(4-f^2(x))\,dx=\pi$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea lui $4-f^2$ la $4/(x^2+1)$ și primitiva $4\arctan x$ .3 p
Rezultatul $\pi$ .2 p

III.2.b5 p

Demonstrați că aria suprafeței delimitate de graficul lui $f$ , axa $Ox$ și dreptele $x=0$ , $x=1$ este $2(\sqrt2-1)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Scrierea ariei ca integrala lui $f$ pe $[0,1]$ și simplificarea pentru integrare.3 p
Evaluarea primitivei $2\sqrt{x^2+1}$ la $2(\sqrt2-1)$ .2 p

III.2.c5 p

Arătați că $\displaystyle\int_1^2\dfrac{f(x^2)}x\,dx=\ln(\sqrt{34}-\sqrt{17}+4\sqrt2-4)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Simplificarea la $2x/\sqrt{x^4+1}$ și recunoașterea substituției $x^2$ .3 p
Evaluarea primitivei logaritmice și raționalizarea pentru forma $\ln(\sqrt{34}-\sqrt{17}+4\sqrt2-4)$ .2 p

Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Mate M2.